Από το βιβλίο «Οι προσωκρατικοί» του Θεόφιλου Βείκου. καθηγητή της ιστορίας της φιλοσοφίας στα Πανεπιστήμια Ιωαννίνων και Αθηνών
Αριθµός
Τι είναι όµως οι αριθµοί και πώς αναπτύχθηκε η ιδέα του αριθµού
; Αντίθετα
προς τα θρησκευτικά και καλλιτεχνικά σύµβολα, ο αριθµός είναι ένα
επιστηµονικό σύµβολο, και µάλιστα το πιο σηµαντικό. O αριθµός, το πιο λογικό
προϊόν του ανθρώπινου πνεύµατος, φαίνεται να είναι επίσης η πιο κοινή
αφηρηµένη ιδέα στη συνηθισµένη καθηµερινή σκέψη. Έτσι δικαιολογείται γιατί
ο υπολογισµός έχει γίνει το πρότυπο και το µέτρο της ακριβούς σκέψης, και
πρέπει να ήταν έτσι από την αρχή. Όταν όµως τα µαθηµατικά θεωρούνται σαν
επιστήµη πού θεµελιώθηκε από τον αρχαίο πυθαγορισµό, δεν θα πρέπει να
αγνοούµε ότι η αρίθµηση και ο υπολογισµός είχαν αναπτυχθεί πιο παλιά, σε
ανατολικούς πολιτισµούς. Οι Βαβυλώνιοι είχαν ανακαλύψει τη σειρά των
τακτικών αριθµών και ήξεραν να τακτοποιούν τα πράγµατα αριθµητικά.
Αλλά τα
µαθηµατικά δεν αναπτύχθηκαν σαν αυστηρή επιστήµη στους ανατολικούς
πολιτισµούς. Αυτό ήταν µάλλον έργο των Ελλήνων. Οι Πυθαγόρειοι
ανακάλυψαν τον αριθµό σαν σύµβολο, τον απόλυτο δηλαδή αριθµό πού έχει
µέσα του νόηµα πού ξεπερνά το ρόλο του σαν όριο µιας απλής αρίθµησης και
υπολογισµού. Η ανακάλυψη αυτή επέτρεψε τη θεµελίωση των µαθηµατικών σαν
επιστήµη, δηλαδή σαν ένα σύστηµα συµβόλων, πού είναι και το πιο αξιόλογο
επιστηµονικό σύστηµα. Ενώ οι ανατολικοί λαοί είχαν φτάσει σε υψηλό βαθµό
τεχνικής στον υπολογισµό, πράγµα πού συντελέστηκε µε τη συσσώρευση
εµπειριών πολλών αιώνων, η στάση τους παρέµεινε πρακτική και τα
αποτελέσµατα εξυπηρετούσαν τρέχουσες µόνο πρακτικές ανάγκες.
Έτσι δεν ήταν
σε θέση να προχωρήσουν στην αφαίρεση. Αντίθετα, στην Ελλάδα οι αριθµοί
είχαν συλληφθεί όχι µε βάση ένα σύµβολο, όπως ήταν λ.χ. η βαβυλωνιακή σφήνα
(▼) πού επαναλαµβάνεται στον σχηµατισµό µεγάλων αριθµών, αλλά µε βάση τη
στιγµή ( • ) -αρχικά πέτρα η ψήφο- πού δίνει οπτικό σχήµα στην παράσταση των
αριθµών, όπως π.χ.
Με τη µέθοδο αυτή δινόταν πρωταρχική σηµασία στη λειτουργία της όρασης,
γιατί τα σχήµατα ήταν τα πιο κατάλληλα για να δείξουν τις σχέσεις ανάµεσα στους
αριθµούς και η µόνη αίσθηση πού µας επιτρέπει να αφαιρέσουµε ένα σχήµα η έναν
τύπο από ένα οποιοδήποτε αντικείµενο, έναν τύπο µάλιστα πού είναι δυνατό να
χρησιµοποιείται επανειληµµένα, είναι η όραση. Έτσι ο οπτικός τύπος οδηγεί στην
αφαίρεση και εξυπηρετεί την ανάπτυξη των µαθηµατικών σαν επιστήµη. Η
πορεία, µάλιστα, της αφαίρεσης µπορεί να βαίνει συνεχώς προχωρητικά, πράγµα
πού είναι φανερό αν σκεφτούµε πώς εξελίχθηκε ο αριθµός από το απλό σύµβολο,
πού χρησιµοποιόταν για τη µέτρηση, ως τον ασύµµετρο, τον φανταστικό άπειρο
αριθµό.
Τι ήταν, λοιπόν, οι αριθµοί; Ο εικονογραφικός τρόπος παράστασης των
αριθµών οδηγούσε τους Πυθαγόρειους σε υψηλό επίπεδο σκέψης, καθώς αυτοί
συζητούσαν τις ιδιότητες ενός σχήµατος η τύπου πού αποτελούνταν από στιγµές.
∆εν φαίνεται να υπάρχει κανένας λόγος για να αµφισβητήσουµε την παράδοση ότι
αυτοί οι «εικονικοί» αριθµοί ανάγονται στη γενιά του Πυθαγόρα. Το 1 είναι η
τελεία, το 2 η γραµµή, το 3 το τρίγωνο, το 4 το τετράεδρο, το πρώτο δηλαδή
ευθύγραµµο στερεό σχήµα. Η γεωµετρική παράσταση του αριθµού ήταν πολύ
κατάλληλη για να ερευνηθούν οι σχέσ κατάλληλη για να ερευνηθούν οι σχέσεις των αριθµών µεταξύ τους. Αυτό γίνεται
κατανοητό αν αφήσουµε κατά µέρος όλη τη συµβολική της άλγεβρας, πού
χρησιµοποιούµε σήµερα, και καταφύγουµε σε σχήµατα.
Έτσι µιά αριθµητική αναγκαιότητα παριστάνεται γεωµετρικά. Μ' ένα άλλο
παράδειγµα, εκφράζουµε αριθµητικά έναν νόµο καθολικά αποδεκτό µε τύπο της
αλγεβρικής µας συµβολικής, λέµε δηλαδή ότι για όλα τα x, y, w, για τα όποια
αληθεύει η σχέση
ισχύει:
Αυτό, λοιπόν, µπορούσε να εκφραστεί διαφορετικά. Οι µαθητές του Πυθαγόρα
έλεγαν, αντί χ, «ο πρώτος αριθµός», αντί ψ «ο δεύτερος αριθµός», αντί ω «ο
τρίτος αριθµός».
Για την έκφραση όµως ενός νόµου, όπως αυτός διατυπώνεται µε
αριθµητική γλώσσα, δηλαδή αφηρηµένα, δεν είναι δυνατή µια έκφραση
αντίστοιχη πού να παριστάνει την ιδέα γεωµετρικά. Ωστόσο, υπάρχει και η
περίπτωση όπου η αριθµητική παρουσιάζεται αδύναµη να εκφράσει τα πράγµατα,
κι έτσι καταφεύγουµε στη γλώσσα της γεωµετρίας. Πρόκειται γι' αυτό πού οι
µαθητές του Πυθαγόρα ονόµαζαν άλογους αριθµούς.
Η ανακάλυψη ότι η
διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι ασύµµετρη προς τις πλευρές του, έγινε δυνατή
µέσα από την οπτική λειτουργία του νου. Αυτό πού δεν µπορούµε να εκφράσουµε
µε αριθµητικούς όρους, µπορούµε να το παραστήσουµε γεωµετρικά φέρνοντας
έναν κύκλο πάνω στη διαγώνιο. Κατ' αυτόν τον τρόπο παριστάνεται µπροστά στα
µάτια µας αυτό πού δεν εκφράζεται, το άλογο, το όποιο έγκειται σ' αυτό πού
υπολείπεται του τετραγώνου, µια και ο κύκλος εγγράφεται πάνω στη διαγώνιο
πού είναι ασύµµετρη προς τις πλευρές του τετραγώνου:
Αν αντέτεινε κανένας την άποψη πώς οι πλευρές του τετραγώνου και η διαγώνιος
έχουν ένα κοινό µέτρο, δει δηλαδή αυτά είναι συµµετρικά, φερόταν αναγκαστικά
στην αντίφαση, γιατί οι πλευρές του τετραγώνου θα έπρεπε τότε να είναι ένας
άρτιος και ένας περιττός αριθµός, πράγµα πού είναι αδιανόητο και πού µόνο την
ασυµµετρία επιτρέπει να είναι νοητή
.
Η καθολικότερη επίσης επιστηµονική θεωρία για τον αριθµό σαν έσχατη
πραγµατικότητα δεν πρέπει να παρουσιάζεται από τη σκοπιά της καθαρής
αριθµητικής. Αυτή δεν πρέπει επίσης να συλλαµβάνεται µε τις αναλογίες της δικής
µας µαθηµατικής φυσικής. Οπωσδήποτε, η εξέλιξη των µαθηµατικών µπορεί να
παραλληλιστεί και να θεωρηθεί συνυφασµένη, από µερικές απόψεις, µ' εκείνη της
φυσικής. Το πέρασµα από τη µαθηµατική συµβολική της µιλήσιας κοσµολογίας
στον ατοµισµό του Λεύκιππου και του ∆ηµόκριτου, πού παριστάνει το τέλος µιας
πρώτης ανάπτυξης της φυσικής, είναι ανάλογο µε το πέρασµα από τη µαθηµατική
συµβολική στο αξίωµα του Ευκλείδη, πού µπορεί να θεωρηθεί σαν η πρώτη
επιστηµονική θεωρία και το πρότυπο µιας τέτοιας θεωρίας
. Η πυθαγόρεια
θεωρία για τον αριθµό σαν έσχατη πραγµατικότητα δεν ήταν, βέβαια, τόσο
αυστηρή επιστηµονική θεωρία, αλλά οπωσδήποτε αυτή προέκυψε από την
ανακάλυψη νέων κανονικοτήτων µέσα στη φύση.
Η κανονικότητα του κόσµου δεν ερµηνεύεται εδώ µε µιαν αρχή δικαιοσύνης,
όπως στον Αναξίµανδρο, αλλά µε µιαν αρχή αρµονίας πού συνίσταται στη σχέση
µερών και όλου. Όταν γίνεται λόγος για κοσµική αρµονία, πρέπει να εννοείται η
µουσική αρµονία, η ταιριαστή συνήχηση των τόνων, και παράλληλα η γεωµετρική
κανονικότητα και η τεκτονική άρθρωση του κόσµου
. Ο αριθµός, λοιπόν, δεν είναι
αρχή στο νόηµα ενός υποστρώµατος όλων των µεταβολών πού λαµβάνουν χώρα
µέσα στον κόσµο αλλά στο νόηµα της έσχατης πραγµατικότητας, στο νόηµα ενός
καθολικού µέτρου όλων των σχέσεων πού υπάρχουν ανάµεσα στα µέρη και στα
σύνολα και συνακόλουθα στο νόηµα µιας κανονικότητας και αρµονίας.
Οι ανακαλύψεις και οι θεωρίες αυτές είναι δυνατό να εκτιµηθούν σαν θεµέλια και
κίνητρα του πυθαγορισµού του 5ου αιώνα, πού µια συνοπτική του εικόνα µας δίνει
ο Αριστοτέλης
.
Η πρώτη γενιά των Πυθαγορείων πού διατηρούσε ακόµα νωπή τη µνήµη του
µεγάλου δασκάλου και ιδρυτή της σχολής είναι εκείνη πού προηγείται της γενιάς
των Πυθαγορείων πού ήκµασαν µε τον Φιλόλαο αρχηγό µετά το τέλος του 5ου
π.Χ. αιώνα.
Οι κύριες ιδέες του πρώτου αυτού πυθαγορισµού µπορούν να αναλυθούν κάτω
από τα ακόλουθα θέµατα: πέρας και άπειρο, φύση του αριθµού, αριθµός και
κόσµος, αριθµογονία και κοσµογονία, αρµονία των σφαιρών, ψυχή.
(συνεχίζεται)
Αριθµός
Τι είναι όµως οι αριθµοί και πώς αναπτύχθηκε η ιδέα του αριθµού
; Αντίθετα
προς τα θρησκευτικά και καλλιτεχνικά σύµβολα, ο αριθµός είναι ένα
επιστηµονικό σύµβολο, και µάλιστα το πιο σηµαντικό. O αριθµός, το πιο λογικό
προϊόν του ανθρώπινου πνεύµατος, φαίνεται να είναι επίσης η πιο κοινή
αφηρηµένη ιδέα στη συνηθισµένη καθηµερινή σκέψη. Έτσι δικαιολογείται γιατί
ο υπολογισµός έχει γίνει το πρότυπο και το µέτρο της ακριβούς σκέψης, και
πρέπει να ήταν έτσι από την αρχή. Όταν όµως τα µαθηµατικά θεωρούνται σαν
επιστήµη πού θεµελιώθηκε από τον αρχαίο πυθαγορισµό, δεν θα πρέπει να
αγνοούµε ότι η αρίθµηση και ο υπολογισµός είχαν αναπτυχθεί πιο παλιά, σε
ανατολικούς πολιτισµούς. Οι Βαβυλώνιοι είχαν ανακαλύψει τη σειρά των
τακτικών αριθµών και ήξεραν να τακτοποιούν τα πράγµατα αριθµητικά.
Αλλά τα
µαθηµατικά δεν αναπτύχθηκαν σαν αυστηρή επιστήµη στους ανατολικούς
πολιτισµούς. Αυτό ήταν µάλλον έργο των Ελλήνων. Οι Πυθαγόρειοι
ανακάλυψαν τον αριθµό σαν σύµβολο, τον απόλυτο δηλαδή αριθµό πού έχει
µέσα του νόηµα πού ξεπερνά το ρόλο του σαν όριο µιας απλής αρίθµησης και
υπολογισµού. Η ανακάλυψη αυτή επέτρεψε τη θεµελίωση των µαθηµατικών σαν
επιστήµη, δηλαδή σαν ένα σύστηµα συµβόλων, πού είναι και το πιο αξιόλογο
επιστηµονικό σύστηµα. Ενώ οι ανατολικοί λαοί είχαν φτάσει σε υψηλό βαθµό
τεχνικής στον υπολογισµό, πράγµα πού συντελέστηκε µε τη συσσώρευση
εµπειριών πολλών αιώνων, η στάση τους παρέµεινε πρακτική και τα
αποτελέσµατα εξυπηρετούσαν τρέχουσες µόνο πρακτικές ανάγκες.
Έτσι δεν ήταν
σε θέση να προχωρήσουν στην αφαίρεση. Αντίθετα, στην Ελλάδα οι αριθµοί
είχαν συλληφθεί όχι µε βάση ένα σύµβολο, όπως ήταν λ.χ. η βαβυλωνιακή σφήνα
(▼) πού επαναλαµβάνεται στον σχηµατισµό µεγάλων αριθµών, αλλά µε βάση τη
στιγµή ( • ) -αρχικά πέτρα η ψήφο- πού δίνει οπτικό σχήµα στην παράσταση των
αριθµών, όπως π.χ.
Με τη µέθοδο αυτή δινόταν πρωταρχική σηµασία στη λειτουργία της όρασης,
γιατί τα σχήµατα ήταν τα πιο κατάλληλα για να δείξουν τις σχέσεις ανάµεσα στους
αριθµούς και η µόνη αίσθηση πού µας επιτρέπει να αφαιρέσουµε ένα σχήµα η έναν
τύπο από ένα οποιοδήποτε αντικείµενο, έναν τύπο µάλιστα πού είναι δυνατό να
χρησιµοποιείται επανειληµµένα, είναι η όραση. Έτσι ο οπτικός τύπος οδηγεί στην
αφαίρεση και εξυπηρετεί την ανάπτυξη των µαθηµατικών σαν επιστήµη. Η
πορεία, µάλιστα, της αφαίρεσης µπορεί να βαίνει συνεχώς προχωρητικά, πράγµα
πού είναι φανερό αν σκεφτούµε πώς εξελίχθηκε ο αριθµός από το απλό σύµβολο,
πού χρησιµοποιόταν για τη µέτρηση, ως τον ασύµµετρο, τον φανταστικό άπειρο
αριθµό.
Τι ήταν, λοιπόν, οι αριθµοί; Ο εικονογραφικός τρόπος παράστασης των
αριθµών οδηγούσε τους Πυθαγόρειους σε υψηλό επίπεδο σκέψης, καθώς αυτοί
συζητούσαν τις ιδιότητες ενός σχήµατος η τύπου πού αποτελούνταν από στιγµές.
∆εν φαίνεται να υπάρχει κανένας λόγος για να αµφισβητήσουµε την παράδοση ότι
αυτοί οι «εικονικοί» αριθµοί ανάγονται στη γενιά του Πυθαγόρα. Το 1 είναι η
τελεία, το 2 η γραµµή, το 3 το τρίγωνο, το 4 το τετράεδρο, το πρώτο δηλαδή
ευθύγραµµο στερεό σχήµα. Η γεωµετρική παράσταση του αριθµού ήταν πολύ
κατάλληλη για να ερευνηθούν οι σχέσ κατάλληλη για να ερευνηθούν οι σχέσεις των αριθµών µεταξύ τους. Αυτό γίνεται
κατανοητό αν αφήσουµε κατά µέρος όλη τη συµβολική της άλγεβρας, πού
χρησιµοποιούµε σήµερα, και καταφύγουµε σε σχήµατα.
Έτσι µιά αριθµητική αναγκαιότητα παριστάνεται γεωµετρικά. Μ' ένα άλλο
παράδειγµα, εκφράζουµε αριθµητικά έναν νόµο καθολικά αποδεκτό µε τύπο της
αλγεβρικής µας συµβολικής, λέµε δηλαδή ότι για όλα τα x, y, w, για τα όποια
αληθεύει η σχέση
Αυτό, λοιπόν, µπορούσε να εκφραστεί διαφορετικά. Οι µαθητές του Πυθαγόρα
έλεγαν, αντί χ, «ο πρώτος αριθµός», αντί ψ «ο δεύτερος αριθµός», αντί ω «ο
τρίτος αριθµός».
Για την έκφραση όµως ενός νόµου, όπως αυτός διατυπώνεται µε
αριθµητική γλώσσα, δηλαδή αφηρηµένα, δεν είναι δυνατή µια έκφραση
αντίστοιχη πού να παριστάνει την ιδέα γεωµετρικά. Ωστόσο, υπάρχει και η
περίπτωση όπου η αριθµητική παρουσιάζεται αδύναµη να εκφράσει τα πράγµατα,
κι έτσι καταφεύγουµε στη γλώσσα της γεωµετρίας. Πρόκειται γι' αυτό πού οι
µαθητές του Πυθαγόρα ονόµαζαν άλογους αριθµούς.
Η ανακάλυψη ότι η
διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι ασύµµετρη προς τις πλευρές του, έγινε δυνατή
µέσα από την οπτική λειτουργία του νου. Αυτό πού δεν µπορούµε να εκφράσουµε
µε αριθµητικούς όρους, µπορούµε να το παραστήσουµε γεωµετρικά φέρνοντας
έναν κύκλο πάνω στη διαγώνιο. Κατ' αυτόν τον τρόπο παριστάνεται µπροστά στα
µάτια µας αυτό πού δεν εκφράζεται, το άλογο, το όποιο έγκειται σ' αυτό πού
υπολείπεται του τετραγώνου, µια και ο κύκλος εγγράφεται πάνω στη διαγώνιο
πού είναι ασύµµετρη προς τις πλευρές του τετραγώνου:
Αν αντέτεινε κανένας την άποψη πώς οι πλευρές του τετραγώνου και η διαγώνιος
έχουν ένα κοινό µέτρο, δει δηλαδή αυτά είναι συµµετρικά, φερόταν αναγκαστικά
στην αντίφαση, γιατί οι πλευρές του τετραγώνου θα έπρεπε τότε να είναι ένας
άρτιος και ένας περιττός αριθµός, πράγµα πού είναι αδιανόητο και πού µόνο την
ασυµµετρία επιτρέπει να είναι νοητή
.
Η καθολικότερη επίσης επιστηµονική θεωρία για τον αριθµό σαν έσχατη
πραγµατικότητα δεν πρέπει να παρουσιάζεται από τη σκοπιά της καθαρής
αριθµητικής. Αυτή δεν πρέπει επίσης να συλλαµβάνεται µε τις αναλογίες της δικής
µας µαθηµατικής φυσικής. Οπωσδήποτε, η εξέλιξη των µαθηµατικών µπορεί να
παραλληλιστεί και να θεωρηθεί συνυφασµένη, από µερικές απόψεις, µ' εκείνη της
φυσικής. Το πέρασµα από τη µαθηµατική συµβολική της µιλήσιας κοσµολογίας
στον ατοµισµό του Λεύκιππου και του ∆ηµόκριτου, πού παριστάνει το τέλος µιας
πρώτης ανάπτυξης της φυσικής, είναι ανάλογο µε το πέρασµα από τη µαθηµατική
συµβολική στο αξίωµα του Ευκλείδη, πού µπορεί να θεωρηθεί σαν η πρώτη
επιστηµονική θεωρία και το πρότυπο µιας τέτοιας θεωρίας
. Η πυθαγόρεια
θεωρία για τον αριθµό σαν έσχατη πραγµατικότητα δεν ήταν, βέβαια, τόσο
αυστηρή επιστηµονική θεωρία, αλλά οπωσδήποτε αυτή προέκυψε από την
ανακάλυψη νέων κανονικοτήτων µέσα στη φύση.
Η κανονικότητα του κόσµου δεν ερµηνεύεται εδώ µε µιαν αρχή δικαιοσύνης,
όπως στον Αναξίµανδρο, αλλά µε µιαν αρχή αρµονίας πού συνίσταται στη σχέση
µερών και όλου. Όταν γίνεται λόγος για κοσµική αρµονία, πρέπει να εννοείται η
µουσική αρµονία, η ταιριαστή συνήχηση των τόνων, και παράλληλα η γεωµετρική
κανονικότητα και η τεκτονική άρθρωση του κόσµου
. Ο αριθµός, λοιπόν, δεν είναι
αρχή στο νόηµα ενός υποστρώµατος όλων των µεταβολών πού λαµβάνουν χώρα
µέσα στον κόσµο αλλά στο νόηµα της έσχατης πραγµατικότητας, στο νόηµα ενός
καθολικού µέτρου όλων των σχέσεων πού υπάρχουν ανάµεσα στα µέρη και στα
σύνολα και συνακόλουθα στο νόηµα µιας κανονικότητας και αρµονίας.
Οι ανακαλύψεις και οι θεωρίες αυτές είναι δυνατό να εκτιµηθούν σαν θεµέλια και
κίνητρα του πυθαγορισµού του 5ου αιώνα, πού µια συνοπτική του εικόνα µας δίνει
ο Αριστοτέλης
.
Η πρώτη γενιά των Πυθαγορείων πού διατηρούσε ακόµα νωπή τη µνήµη του
µεγάλου δασκάλου και ιδρυτή της σχολής είναι εκείνη πού προηγείται της γενιάς
των Πυθαγορείων πού ήκµασαν µε τον Φιλόλαο αρχηγό µετά το τέλος του 5ου
π.Χ. αιώνα.
Οι κύριες ιδέες του πρώτου αυτού πυθαγορισµού µπορούν να αναλυθούν κάτω
από τα ακόλουθα θέµατα: πέρας και άπειρο, φύση του αριθµού, αριθµός και
κόσµος, αριθµογονία και κοσµογονία, αρµονία των σφαιρών, ψυχή.
(συνεχίζεται)
ΤΩΝ ΓΑΡ ΗΛΙΘΙΩΝ ΑΠΕΙΡΑ ΓΕΝΕΘΛΑ
Πέρας και άπειρον. Περιττόν και αρτιον
Άριστ., Μεταφυσ., Α 5. 986 a 15:
«φαίνονται δη και ούτοι τον αριθµόν νοµίζοντες αρχήν είναι... του δε αριθµού
στοιχεία το τε άρτων και το περιττόν, τούτων δε το µεν πεπερασµένον το δε
άπειρον, το δ' εν εξ αµφοτέρων είναι τούτων (και γάρ άρτιον είναι και περιττόν),
τον δ' αριθµόν έκ του ενός, αριθµούς δε, καθάπερ εϊρηται, τον όλον ουρανόν. έτεροι
δε των αυτών τούτων τας αρχάς δέκα λέγουσιν είναι τας κατά συστοιχίαν λεγοµένας.»
περάς – άπειρον
περιττόν - άρτιον
εν - πλ ή θος
δεξιόν - αριστερόν
άρρεν - θήλυ5
ηρεµούν - κινούµενον
ευθύ - καµπύλον
φως - σκότος
αγαθόν – κακόν
τετράγωνον – έτερόµηκες
[Είναι φανερό πώς κι αυτοί (οι Πυθαγόρειοι) νοµίζουν ότι ο αριθµός είναι
αρχή... και ότι τα στοιχεία του αριθµού είναι το άρτιο και το περιττό, και απ' αυτά
το ένα είναι πεπερασµένο και το άλλο άπειρο και ότι το ένα αποτελείται και από τα
δύο αυτά (γιατί αυτό είναι και άρτιο και περιττό) και ο αριθµός βγαίνει από το ένα
και αριθµοί είναι, καθώς έχουµε πει, ολόκληρος ο κόσµος. Άλλοι έξαλλου απ'
αυτούς τους ίδιους θεωρούν δέκα τις αρχές, αυτές πού λέγονται κατά συστοιχία.
πέρας - άπειρο περιττό - άρτιο ένα - πολλά δεξιό - αριστερό αρσενικό -
θηλυκό ήρεµο - κινητό ευθύ - καµπύλο φως - σκοτάδι καλό - κακό τετράγωνο
- ετερόµηκες]
∆εν είναι παράξενο να είχαν δηµιουργηθεί από την πρώτη κιόλας περίοδο της
σχολής διαφορετικές τάσεις επιµέρους οµάδων και ο Αριστοτέλης αναγνωρίζει
τέτοιες διαφοροποιήσεις απόψεων (έτεροι δε των αυτών τούτων). Εκείνη όµως ή
άποψη πού φαίνεται πώς εξασφάλιζε γενική αποδοχή στον πρώτο πυθαγορισµό
είναι ο έσχατος δυαδισµός: πέρας - άπειρον και περιττόν - άρτιον.
Στον
παραπάνω πυθαγόρειο πίνακα των δέκα αντιθετικών άρχων τα πέρας-άπειρον και
περιττόν-άρτιον δεν κατέχουν απλά την πρώτη θέση παρά έχουν πρωταρχική
σηµασία. Όταν επιβάλλεται ένα πέρας στο άπειρο και αόριστο, το αποτέλεσµα
είναι ή δηµιουργία των αριθµών. Η µονάδα η το εν δεν είναι ένας αριθµός αλλά η
αρχή του αριθµού, γιατί περιλαµβάνει και το πέρας και το άπειρο και το άρτιο και
το περιττό. Εφόσον το ένα δεν είναι ένας αριθµός παρά η πηγή του αριθµού, το
πεπερασµένο και το άπειρο πού αυτό περιλαµβάνει είναι οι έσχατες αρχές όλων
των πραγµάτων.
Η αρχή του άρτιου είναι η δυάδα ή ο αριθµός 2. Φαίνεται πώς το άρτιο
εξισώνεται γενικά µε το άπειρο, όπως το πέρας µε το περιττό. Οι αρχές δηλαδή
περιττό-άρτιο δεν έχουν το νόηµα πού φαντάζεται κανένας, ότι δηλαδή όλοι οι
αριθµοί είναι είτε άρτιοι είτε περιττοί. Επειδή η σειρά των αριθµών είναι
ατέλειωτη, δεν µπορούµε να διαιρούµε συνεχώς τον καθένα απ' αυτούς µε το 2
και τελικά να σηµειώνουµε αν το υπόλοιπο είναι 0 ή 1. Είναι αδύνατο δηλαδή να
σχηµατίσουµε όλους τους άρτιους αριθµούς και, συνακόλουθα, δεν
δικαιολογείται η πρόταση ότι όλοι οι αριθµοί είναι είτε άρτιοι είτε περιττοί. Ένας
απεριόριστος αριθµός πράξεων, πού θα ήταν δυνατό να εκτελεστούν για να
αποδείξουν αυτή την πρόταση, είναι φυσικά κάτι το αδιανόητο
.
Οι Πυθαγόρειοι βρήκαν έναν τρόπο για να αντιµετωπίσουν αυτό το πρόβληµα
του απείρου, χρησιµοποιώντας τον «γνώµονα». Με τον γνώµονα το άπειρο
περιορίζεται βαθµηδόν. Ο περιορισµός όµως αυτός νοείται εδώ µ' ένα ειδικό
σχήµα πού αντιπροσωπεύει το περιττό .Πρόκειται,, για προσθήκη πιο πολλών «γνωµόνων»
γύρω
οπό το ένα, προσθήκη πού µπορεί να γίνεται διαδοχικά και να αυξάνει τους
αριθµούς έπ’ άπειρο, χωρίς να αλλοιώνεται το σχήµα (δηλαδή το τετράγωνο).
Κάθε σχηµατικός αριθµός πού προστίθεται δίνει τον επόµενο αριθµό του ίδιου
σχήµατος, κι αυτό µπορεί να συµβαίνει έπ’ άπειρο µε διαδοχικές προσθήκες
άρτιων αριθµών. Όταν όµως οι «γνώµονες» τοποθετούνται γύρω οπό το δύο, το
σχήµα πού αντιπροσωπεύει τη σειρά των άρτιων αριθµών οδηγεί ως το άπειρο,
αλλ' αυτό δεν παραµένει σταθερό, όπως συµβαίνει µε το σχήµα των περιττών
σχηµατικών αριθµών
. Με κάθε προσθήκη άρτιων αριθµών γύρω οπό το δύο, το
σχήµα αλλάζει, µια και κάθε φορά η αναλογία του µήκους και του ύψους του
µεταβάλλεται. Γι' αυτό, άλλωστε, συµπεριλαµβάνεται στον πίνακα των αντιθέτων
το ζεύγος τετράγωνον-ετερόµηκες. Το ετερόµηκες αναφέρεται σε µια ορθή γωνία
στην οποία η µια πλευρά υπερέχει οπό την άλλη κατά µια µονάχα µονάδα. Θα
πρέπει, λοιπόν, να είναι δικαιολογηµένη η εντύπωση του Αριστοτέλη ότι αυτό
µπορεί να αποτελεί ένα παράδειγµα πού δικαιώνει τις εξισώσεις περιττόν = πέρας
και άρτιον = άπειρον.
Έκτος απ' αυτό ήταν αξίωµα γνωστό σ' όλους τους Έλληνες
µαθηµατικούς ότι η µονάδα είναι αδιαίρετη και ότι κλάσµατα όπως 1/2, 1/4, ή 1/16
δεν αποτελούν παρά µια µονάδα οπό ένα σύνολο 2, 4, ή 16 µονάδων. Ο άρτιος
αριθµός δεν έχει µέσο και η απουσία ενός µέσου µπορεί να ήταν ένα άλλο
επιχείρηµα για την κατοχύρωση της εξίσωσης άρτιον = άπειρον, αντίθετα µε το
περιττό και ειδικά τον αριθµό 3 πού έχει αρχή, µέσο και τέλος και εξισώνεται έτσι
µε το πέρας: Φύση του αριθµού
Οι πρώτοι Πυθαγόρειοι είχαν συλλάβει τον αριθµό παριστάνοντας τον µε
ψήφους η στιγµές και σχηµατίζοντας έτσι γεωµετρικά σχήµατα, π.χ. τρίγωνα,
τετράγωνα, ορθογώνια. Με τη µέθοδο αυτή, η αριθµητική φύση του αριθµού
συγχεόταν µε τη γεωµετρική του φύση. Ο αριθµός 10 λ.χ., πού είναι ο τελειότατος
αριθµός, παριστάνεται µε στιγµές διατεταγµένες σ' ένα ισοσκελές τρίγωνο κατά
όπως παραπάνω.
Αυτή η ονοµαζόµενη από τους Πυθαγόρειους τετρακτύς της δεκάδος
θεωρούνταν κάτι το ιερό, η πηγή της αιώνιας φύσης. Βάση είναι η µονάδα πού µε
διαδοχικές προσθέσεις ως το 4 σχηµατίζει τον αριθµό δέκα: 1+2+3+4=10. Ήδη οι
µαθητές του Πυθαγόρα είχαν δείξει την αποτελεσµατικότητα της µεθόδου αυτής
πού επινόησαν, και είχαν κάνει φανερό πώς το σχήµα γεννά οπό µέσα του συνεχώς
νέες δυνατότητες συσχέτισης των αριθµών µεταξύ τους και σχηµατισµού νέων
αριθµητικών και γεωµετρικών αναλογιών. Η µέθοδος αυτή, όσο απλοϊκή κι αν
είναι, αναπληρώνει την έλλειψη τύπων για αριθµητικές σχέσεις. Οι Πυθαγόρειοι
ανέπτυξαν τη µέθοδο παράστασης των αριθµών µε τη µορφή σχεδίων σαν αυτά πού
συναντώνται σήµερα στα ντόµινο η στους κύβους
και κατόρθωσαν να
θεµελιώσουν τα µαθηµατικά σαν επιστήµη. Οι σχηµατικοί αριθµοί µπορούν να
αναπτύσσονται σηµαντικά και να ποικίλλουν έπ’ άπειρο, αποκαλύπτοντας στο
ασκηµένο ανθρώπινο µάτι απεριόριστες δυνατότητες σκέψης. Ο νους είναι εδώ
κατ' εξοχήν οπτικός, γιατί λειτουργεί µέσα οπό σχήµατα.
Ο αριθµός είναι, βέβαια, κάτι πού υπάρχει, αλλά δεν θα έπρεπε να θεωρείται
πώς αυτός υπάρχει µε τον ίδιο τρόπο όπως ένα φυσικό πράγµα. "Αν λ.χ. έχουµε
πέντε ψηφίδια, ο αριθµός 5 δεν υπάρχει στο ίδιο επίπεδο πού υπάρχουν και τα
ψηφίδια. Θα ήταν σαφής σύγχυση διαφόρων επιπέδων πραγµατικότητας να πούµε
πώς υπάρχουν έξι πράγµατα, τα πέντε ψηφίδια και ο αριθµός 5. Η πραγµατική
σχέση ανάµεσα στα πράγµατα και στους αριθµούς έγκειται σε µια διερεύνηση του
αριθµού σαν βάση της φυσικής ύλης.
Ακολουθεί:"Αριθµός και κόσµος"
Άριστ., Μεταφυσ., Α 5. 986 a 15:
«φαίνονται δη και ούτοι τον αριθµόν νοµίζοντες αρχήν είναι... του δε αριθµού
στοιχεία το τε άρτων και το περιττόν, τούτων δε το µεν πεπερασµένον το δε
άπειρον, το δ' εν εξ αµφοτέρων είναι τούτων (και γάρ άρτιον είναι και περιττόν),
τον δ' αριθµόν έκ του ενός, αριθµούς δε, καθάπερ εϊρηται, τον όλον ουρανόν. έτεροι
δε των αυτών τούτων τας αρχάς δέκα λέγουσιν είναι τας κατά συστοιχίαν λεγοµένας.»
περάς – άπειρον
περιττόν - άρτιον
εν - πλ ή θος
δεξιόν - αριστερόν
άρρεν - θήλυ5
ηρεµούν - κινούµενον
ευθύ - καµπύλον
φως - σκότος
αγαθόν – κακόν
τετράγωνον – έτερόµηκες
[Είναι φανερό πώς κι αυτοί (οι Πυθαγόρειοι) νοµίζουν ότι ο αριθµός είναι
αρχή... και ότι τα στοιχεία του αριθµού είναι το άρτιο και το περιττό, και απ' αυτά
το ένα είναι πεπερασµένο και το άλλο άπειρο και ότι το ένα αποτελείται και από τα
δύο αυτά (γιατί αυτό είναι και άρτιο και περιττό) και ο αριθµός βγαίνει από το ένα
και αριθµοί είναι, καθώς έχουµε πει, ολόκληρος ο κόσµος. Άλλοι έξαλλου απ'
αυτούς τους ίδιους θεωρούν δέκα τις αρχές, αυτές πού λέγονται κατά συστοιχία.
πέρας - άπειρο περιττό - άρτιο ένα - πολλά δεξιό - αριστερό αρσενικό -
θηλυκό ήρεµο - κινητό ευθύ - καµπύλο φως - σκοτάδι καλό - κακό τετράγωνο
- ετερόµηκες]
∆εν είναι παράξενο να είχαν δηµιουργηθεί από την πρώτη κιόλας περίοδο της
σχολής διαφορετικές τάσεις επιµέρους οµάδων και ο Αριστοτέλης αναγνωρίζει
τέτοιες διαφοροποιήσεις απόψεων (έτεροι δε των αυτών τούτων). Εκείνη όµως ή
άποψη πού φαίνεται πώς εξασφάλιζε γενική αποδοχή στον πρώτο πυθαγορισµό
είναι ο έσχατος δυαδισµός: πέρας - άπειρον και περιττόν - άρτιον.
Στον
παραπάνω πυθαγόρειο πίνακα των δέκα αντιθετικών άρχων τα πέρας-άπειρον και
περιττόν-άρτιον δεν κατέχουν απλά την πρώτη θέση παρά έχουν πρωταρχική
σηµασία. Όταν επιβάλλεται ένα πέρας στο άπειρο και αόριστο, το αποτέλεσµα
είναι ή δηµιουργία των αριθµών. Η µονάδα η το εν δεν είναι ένας αριθµός αλλά η
αρχή του αριθµού, γιατί περιλαµβάνει και το πέρας και το άπειρο και το άρτιο και
το περιττό. Εφόσον το ένα δεν είναι ένας αριθµός παρά η πηγή του αριθµού, το
πεπερασµένο και το άπειρο πού αυτό περιλαµβάνει είναι οι έσχατες αρχές όλων
των πραγµάτων.
Η αρχή του άρτιου είναι η δυάδα ή ο αριθµός 2. Φαίνεται πώς το άρτιο
εξισώνεται γενικά µε το άπειρο, όπως το πέρας µε το περιττό. Οι αρχές δηλαδή
περιττό-άρτιο δεν έχουν το νόηµα πού φαντάζεται κανένας, ότι δηλαδή όλοι οι
αριθµοί είναι είτε άρτιοι είτε περιττοί. Επειδή η σειρά των αριθµών είναι
ατέλειωτη, δεν µπορούµε να διαιρούµε συνεχώς τον καθένα απ' αυτούς µε το 2
και τελικά να σηµειώνουµε αν το υπόλοιπο είναι 0 ή 1. Είναι αδύνατο δηλαδή να
σχηµατίσουµε όλους τους άρτιους αριθµούς και, συνακόλουθα, δεν
δικαιολογείται η πρόταση ότι όλοι οι αριθµοί είναι είτε άρτιοι είτε περιττοί. Ένας
απεριόριστος αριθµός πράξεων, πού θα ήταν δυνατό να εκτελεστούν για να
αποδείξουν αυτή την πρόταση, είναι φυσικά κάτι το αδιανόητο
.
Οι Πυθαγόρειοι βρήκαν έναν τρόπο για να αντιµετωπίσουν αυτό το πρόβληµα
του απείρου, χρησιµοποιώντας τον «γνώµονα». Με τον γνώµονα το άπειρο
περιορίζεται βαθµηδόν. Ο περιορισµός όµως αυτός νοείται εδώ µ' ένα ειδικό
σχήµα πού αντιπροσωπεύει το περιττό .Πρόκειται,, για προσθήκη πιο πολλών «γνωµόνων»
γύρω
οπό το ένα, προσθήκη πού µπορεί να γίνεται διαδοχικά και να αυξάνει τους
αριθµούς έπ’ άπειρο, χωρίς να αλλοιώνεται το σχήµα (δηλαδή το τετράγωνο).
Κάθε σχηµατικός αριθµός πού προστίθεται δίνει τον επόµενο αριθµό του ίδιου
σχήµατος, κι αυτό µπορεί να συµβαίνει έπ’ άπειρο µε διαδοχικές προσθήκες
άρτιων αριθµών. Όταν όµως οι «γνώµονες» τοποθετούνται γύρω οπό το δύο, το
σχήµα πού αντιπροσωπεύει τη σειρά των άρτιων αριθµών οδηγεί ως το άπειρο,
αλλ' αυτό δεν παραµένει σταθερό, όπως συµβαίνει µε το σχήµα των περιττών
σχηµατικών αριθµών
. Με κάθε προσθήκη άρτιων αριθµών γύρω οπό το δύο, το
σχήµα αλλάζει, µια και κάθε φορά η αναλογία του µήκους και του ύψους του
µεταβάλλεται. Γι' αυτό, άλλωστε, συµπεριλαµβάνεται στον πίνακα των αντιθέτων
το ζεύγος τετράγωνον-ετερόµηκες. Το ετερόµηκες αναφέρεται σε µια ορθή γωνία
στην οποία η µια πλευρά υπερέχει οπό την άλλη κατά µια µονάχα µονάδα. Θα
πρέπει, λοιπόν, να είναι δικαιολογηµένη η εντύπωση του Αριστοτέλη ότι αυτό
µπορεί να αποτελεί ένα παράδειγµα πού δικαιώνει τις εξισώσεις περιττόν = πέρας
και άρτιον = άπειρον.
Έκτος απ' αυτό ήταν αξίωµα γνωστό σ' όλους τους Έλληνες
µαθηµατικούς ότι η µονάδα είναι αδιαίρετη και ότι κλάσµατα όπως 1/2, 1/4, ή 1/16
δεν αποτελούν παρά µια µονάδα οπό ένα σύνολο 2, 4, ή 16 µονάδων. Ο άρτιος
αριθµός δεν έχει µέσο και η απουσία ενός µέσου µπορεί να ήταν ένα άλλο
επιχείρηµα για την κατοχύρωση της εξίσωσης άρτιον = άπειρον, αντίθετα µε το
περιττό και ειδικά τον αριθµό 3 πού έχει αρχή, µέσο και τέλος και εξισώνεται έτσι
µε το πέρας: Φύση του αριθµού
Οι πρώτοι Πυθαγόρειοι είχαν συλλάβει τον αριθµό παριστάνοντας τον µε
ψήφους η στιγµές και σχηµατίζοντας έτσι γεωµετρικά σχήµατα, π.χ. τρίγωνα,
τετράγωνα, ορθογώνια. Με τη µέθοδο αυτή, η αριθµητική φύση του αριθµού
συγχεόταν µε τη γεωµετρική του φύση. Ο αριθµός 10 λ.χ., πού είναι ο τελειότατος
αριθµός, παριστάνεται µε στιγµές διατεταγµένες σ' ένα ισοσκελές τρίγωνο κατά
όπως παραπάνω.
Αυτή η ονοµαζόµενη από τους Πυθαγόρειους τετρακτύς της δεκάδος
θεωρούνταν κάτι το ιερό, η πηγή της αιώνιας φύσης. Βάση είναι η µονάδα πού µε
διαδοχικές προσθέσεις ως το 4 σχηµατίζει τον αριθµό δέκα: 1+2+3+4=10. Ήδη οι
µαθητές του Πυθαγόρα είχαν δείξει την αποτελεσµατικότητα της µεθόδου αυτής
πού επινόησαν, και είχαν κάνει φανερό πώς το σχήµα γεννά οπό µέσα του συνεχώς
νέες δυνατότητες συσχέτισης των αριθµών µεταξύ τους και σχηµατισµού νέων
αριθµητικών και γεωµετρικών αναλογιών. Η µέθοδος αυτή, όσο απλοϊκή κι αν
είναι, αναπληρώνει την έλλειψη τύπων για αριθµητικές σχέσεις. Οι Πυθαγόρειοι
ανέπτυξαν τη µέθοδο παράστασης των αριθµών µε τη µορφή σχεδίων σαν αυτά πού
συναντώνται σήµερα στα ντόµινο η στους κύβους
και κατόρθωσαν να
θεµελιώσουν τα µαθηµατικά σαν επιστήµη. Οι σχηµατικοί αριθµοί µπορούν να
αναπτύσσονται σηµαντικά και να ποικίλλουν έπ’ άπειρο, αποκαλύπτοντας στο
ασκηµένο ανθρώπινο µάτι απεριόριστες δυνατότητες σκέψης. Ο νους είναι εδώ
κατ' εξοχήν οπτικός, γιατί λειτουργεί µέσα οπό σχήµατα.
Ο αριθµός είναι, βέβαια, κάτι πού υπάρχει, αλλά δεν θα έπρεπε να θεωρείται
πώς αυτός υπάρχει µε τον ίδιο τρόπο όπως ένα φυσικό πράγµα. "Αν λ.χ. έχουµε
πέντε ψηφίδια, ο αριθµός 5 δεν υπάρχει στο ίδιο επίπεδο πού υπάρχουν και τα
ψηφίδια. Θα ήταν σαφής σύγχυση διαφόρων επιπέδων πραγµατικότητας να πούµε
πώς υπάρχουν έξι πράγµατα, τα πέντε ψηφίδια και ο αριθµός 5. Η πραγµατική
σχέση ανάµεσα στα πράγµατα και στους αριθµούς έγκειται σε µια διερεύνηση του
αριθµού σαν βάση της φυσικής ύλης.
Ακολουθεί:"Αριθµός και κόσµος"
ΤΩΝ ΓΑΡ ΗΛΙΘΙΩΝ ΑΠΕΙΡΑ ΓΕΝΕΘΛΑ
Αριθµός και κόσµος
Η πυθαγόρεια σύλληψη του αριθµού βασιζόταν, βέβαια, στη γεωµετρική
παράσταση του αριθµού. Αυτό είχε σαν αποτέλεσµα να συνδεθεί ο αριθµός µε την
έννοια του χώρου και της έκτασης, γιατί η αριθµητική µονάδα είναι εδώ κάτι πού
δεν διακρίνεται από το γεωµετρικό σηµείο. Οι µονάδες - σηµεία θεωρούνται
οντότητες µε µέγεθος, χωρικά έκτατες. Και επειδή οι µονάδες και τα σηµεία δεν
υπόκεινται σε διαίρεση, θεωρούνται σαν έσχατα στοιχειακά υλικά των πραγµάτων,
αυτά πού θα ονοµαστούν αργότερα από τον Λεύκιππο και τον ∆ηµόκριτο άτοµα.
Όταν, λοιπόν, γίνεται λόγος εδώ για τους αριθµούς σαν συστατικά στοιχεία του
κόσµου, θα πρέπει να εννοούµε ότι τα επιµέρους πράγµατα δεν είναι παρά
συνδυασµοί και συνθέσεις µονάδων - σηµείων - ατόµων. ∆υσκολία υπάρχει στην
περίπτωση ειδικών αριθµών πού έχουν ιδιάζουσες σηµασίες. Το 1 π.χ.
αντιπροσωπεύει τη νοηµοσύνη, γιατί αυτή είναι πάντοτε ακίνητη, ενώ η σκέψη
αντιπροσωπεύεται από το 2, µια και ταλαντεύεται συνεχώς. Η δικαιοσύνη
αντιπροσωπεύεται οπό τους αριθµούς πού είναι ισάκις ίσοι, το 4 και το 9, γιατί
αυτοί προκύπτουν οπό τον πολλαπλασιασµό του πρώτου άρτιου (2) και του
πρώτου περιττού (3) µε τον εαυτό τους. Ο γάµος παριστάνεται µε το 5 πού ενώνει
τον πρώτο άρτιο µε τον πρώτο περιττό (2+3). Το 2+3 είναι ο αρσενικός αριθµός
του γάµου ενώ το 2x3 είναι ο θηλυκός. Ο αριθµός 7 αντιπροσωπεύει τον καιρό, το
χρόνο δηλαδή των επτά ηµερών
. Η δυσχέρεια, σε τέτοιες περιπτώσεις, έγκειται
στη σύγχυση του συγκεκριµένου µε το αφηρηµένο. Αυτή, όµως, η σύγχυση
συνειδητοποιήθηκε και θεωρήθηκε σαν λογικό σφάλµα µόνον από τον Πλάτωνα
και ύστερα, η τουλάχιστον οπό τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη, πού διέκριναν
καθαρά το συγκεκριµένο οπό το αφηρηµένο. Για τους Πυθαγόρειους, όµως, όπως
και για όλους τους προσωκρατικούς, αυτή η διάκριση δεν γινόταν ποτέ και ό,τι
εµείς θεωρούµε αφηρηµένο, αυτοί το παρίσταναν µε µέγεθος και µε χωρικούς
προσδιορισµούς. Έτσι ο θεός του Ξενοφάνη, το όν του Παρµενίδη, η Φιλότης και
το Νείκος του Εµπεδοκλή, ο νους του Αναξαγόρα παριστάνονται σαν έκτατες
οντότητες. Πρώτος ο Πλάτων βρέθηκε σε θέση να σκεφτεί συνειδητά πώς
οποιοδήποτε πράγµα θα ήταν δυνατό να υπάρχει και διαφορετικά, εκτός οπό
χωρικά, και σ’ αυτό ακολουθήθηκε οπό τον Αριστοτέλη
.
Αλλά η σχέση αριθµού και κόσµου καθιερώνεται εδώ µέσα οπό την ίδια τη
διαδικασία της γένεσης τους. Έχουµε κιόλας επισηµάνει τη βασική πυθαγόρεια
ιδέα πώς η µονάδα, το ένα, δεν είναι ένας αριθµός αλλά η αρχή του αριθµού. Η
πρωταρχική µονάδα δεν αντιπροσωπεύει άπλα τη βάση µιας «αριθµογονίας», αλλά
είναι ταυτόχρονα και µια παράξενη κοσµογονική αρχή. Υπόκειται εδώ µια
βιολογική αντίληψη του κόσµου: ο κόσµος είναι ένας οργανισµός πού ζει και
αναπνέει, έχοντας σαν πηγή του ένα σπόρο πού αναπτύχθηκε ως τη σηµερινή
πλήρη του µορφή
. Η αρσενική αρχή του πέρατος εµφυτεύει στο µέσο του περι-
βάλλοντος άπειρου τον σπόρο πού θα αναπτυχθεί σιγά-σιγά για να δώσει τελικά το
ορατό σύµπαν. Πρόκειται για την πρωταρχική µονάδα. Αυτή συλλαµβάνεται να
λειτουργεί µε τις αναλογίες προς ένα έµβρυο λογικό πρότυπο. «Ίσως δεν θα είχε
νόηµα να ρωτήσουµε πώς ήρθε σε ύπαρξη αυτή η πρωταρχική µονάδα, όπως δεν θα
είχε νόηµα το ερώτηµα πώς δικαιολογείται η γένεση του ησιόδειου Χάους η του9
αναξιµάνδρειου απείρου. Εκείνο πού έχει εδώ σηµασία δεν είναι πώς ήρθε σε
ύπαρξη η πρωταρχική µονάδα, αλλά πώς ήρθε σε ύπαρξη ο κόσµος. Ό πρω-
ταρχικός σπόρος δεν «αποκρίνεται» εδώ, όπως στον Αναξίµανδρο, οπό µια
κοσµογονική µήτρα (το άπειρο), αλλ’ αυτός γίνεται γόνιµος και αναπτύσσεται µε
την επενέργεια των δύο αρχών, του πέρατος και του απείρου.
Η πρωταρχική µονάδα συνδυάζει τόσο τη λειτουργία του πέρατος, της αρσενικής αρχής, όσο και
του απείρου, της θηλυκής αρχής. Έτσι ακριβώς δικαιολογείται στον πίνακα των
αντιθέτων το ζευγάρι άρρεν – θήλυ. Η πρώτη, λοιπόν, µονάδα, αν και
αντιπροσωπεύει αρχικά το πέρας, δεν λειτουργεί σαν κοσµογονική αρχή παρά στη
σχέση της µε το άπειρο πού την περιβάλλει. Η σχέση αυτή συνίσταται σε µια
συνεχή εισπνοή κενού οπό µέρους της πρώτης αυτής µονάδας, πού άρχισε σιγά-
σιγά να αναπτύσσεται σαν ένα ζωντανό έµβρυο. Αποτέλεσµα της πρώτης αυτής
βαθµιαίας ανάπτυξης είναι µια απότοµη µεταβολή: η µονάδα διαρρηγνύεται σε
δύο. Η διάσπαση αυτή σηµαίνει πώς το κενό πού απορρόφησε η µονάδα
λειτούργησε δραστικά και πέτυχε όχι µόνο να την διαρρήξει αλλά και να κρατήσει
χωριστά τις δύο µονάδες πού προέκυψαν απ’ αυτή. Οι δύο όµως µονάδες έχουν κι
αυτές επίσης µέγεθος και δεν διακρίνονται από τα δύο γεωµετρικά σηµεία.
Εποµένως δεν γεννήθηκε απλά ο αριθµός 2 παρά και η γραµµή. Αυτή η πορεία
συνεχίζεται και δίνει το ορατό σύµπαν όπως µας είναι γνωστό. Η πρώτη δηλαδή
µονάδα προχωρεί µε τον ίδιο τρόπο στον αριθµό 3 και στους άλλους αριθµούς. Οι
πρώτοι Πυθαγόρειοι είχαν διδάξει ότι, όπως το 2 ισούται µε τη γραµµή, έτσι και το
3 ισούται µε το τρίγωνο, το απλούστερο επίπεδο σχήµα, και το 4 µε το τετράεδρο,
το απλούστερο ευθύγραµµο στερεό σχήµα κ.λπ.
.
Τόσο τα σηµεία όσο και οι γραµµές, τα επίπεδα και, φυσικά, τα στερεά δεν
προϋποτίθενται εδώ σαν αφηρηµένες κατασκευές, αλλά θεωρούνται ξεχωριστές
φυσικές οντότητες (φύσεις), µια πίστη πού έπαιζε ζωτικό ρόλο στην πυθαγόρεια
κοσµογονία. Τα αριθµητικά µεγέθη συγχέονται εδώ µε τα γεωµετρικά δοµηµένα
πράγµατα και έτσι δεν είναι παράξενο πώς η πορεία από το 1 στο 4 δεν σηµαίνει
απλά πώς η µονάδα έδωσε τους τρεις επόµενους αριθµούς παρά και τις τρεις
διαστάσεις, το µήκος (µε τη γραµµή), το ύψος (µε το τρίγωνο) και το πλάτος (µε το
τετράεδρο). Έτσι το δέκα είναι το τέλειο σχήµα, γιατί αποτελεί το τετραδιάστατο
όλων των φυσικών πραγµάτων. Η σύγχυση, λοιπόν, πού δεν συνειδητοποιείται, της
αριθµητικής µονάδας και του γεωµετρικού σηµείου, εξηγεί γιατί η πρώτη µονάδα
προχώρησε στη δηµιουργία τόσο των επόµενων τριών αριθµών όσο και των τριών
διαστάσεων. Η γένεση των αριθµητικών σειρών δεν διακρίνεται από τα γεγονότα
της κοσµογονίας.
Μ' αυτό, λοιπόν, το νόηµα εξισώνονται τα πράγµατα µε τους αριθµούς: η πρώτη
µονάδα αναπτύσσεται σε αριθµητικές σειρές και µαζί σε διαδοχικές κοσµογονικές
φάσεις πού εξηγούν πώς έφτασε το φυσικό σύµπαν στη σηµερινή κατάσταση
διαµόρφωσης του. Η συγκεκριµενοποίηση όµως της ύλης προϋποθέτει µια
διαφοροποίηση ποιοτήτων. Οπωσδήποτε, ασκεί εδώ λειτουργικό ρόλο η δυαδική
σχέση πέρας - άπειρον. Τα πράγµατα καθορίζονται ποιοτικά από τις ποικίλες
αναλογίες των δύο αυτών αρχών πού περιέχουν. Τα φυσικά σώµατα έχουν βάρος
ανάλογο µε την έκταση του κενού πού περιέχεται µέσα σ' αυτά: τα σώµατα είναι
ελαφρά όταν περιέχουν υψηλή αναλογία κενού και βαριά όταν η αναλογία του
κενού είναι µικρή
(συνεχίζεται)
Η πυθαγόρεια σύλληψη του αριθµού βασιζόταν, βέβαια, στη γεωµετρική
παράσταση του αριθµού. Αυτό είχε σαν αποτέλεσµα να συνδεθεί ο αριθµός µε την
έννοια του χώρου και της έκτασης, γιατί η αριθµητική µονάδα είναι εδώ κάτι πού
δεν διακρίνεται από το γεωµετρικό σηµείο. Οι µονάδες - σηµεία θεωρούνται
οντότητες µε µέγεθος, χωρικά έκτατες. Και επειδή οι µονάδες και τα σηµεία δεν
υπόκεινται σε διαίρεση, θεωρούνται σαν έσχατα στοιχειακά υλικά των πραγµάτων,
αυτά πού θα ονοµαστούν αργότερα από τον Λεύκιππο και τον ∆ηµόκριτο άτοµα.
Όταν, λοιπόν, γίνεται λόγος εδώ για τους αριθµούς σαν συστατικά στοιχεία του
κόσµου, θα πρέπει να εννοούµε ότι τα επιµέρους πράγµατα δεν είναι παρά
συνδυασµοί και συνθέσεις µονάδων - σηµείων - ατόµων. ∆υσκολία υπάρχει στην
περίπτωση ειδικών αριθµών πού έχουν ιδιάζουσες σηµασίες. Το 1 π.χ.
αντιπροσωπεύει τη νοηµοσύνη, γιατί αυτή είναι πάντοτε ακίνητη, ενώ η σκέψη
αντιπροσωπεύεται από το 2, µια και ταλαντεύεται συνεχώς. Η δικαιοσύνη
αντιπροσωπεύεται οπό τους αριθµούς πού είναι ισάκις ίσοι, το 4 και το 9, γιατί
αυτοί προκύπτουν οπό τον πολλαπλασιασµό του πρώτου άρτιου (2) και του
πρώτου περιττού (3) µε τον εαυτό τους. Ο γάµος παριστάνεται µε το 5 πού ενώνει
τον πρώτο άρτιο µε τον πρώτο περιττό (2+3). Το 2+3 είναι ο αρσενικός αριθµός
του γάµου ενώ το 2x3 είναι ο θηλυκός. Ο αριθµός 7 αντιπροσωπεύει τον καιρό, το
χρόνο δηλαδή των επτά ηµερών
. Η δυσχέρεια, σε τέτοιες περιπτώσεις, έγκειται
στη σύγχυση του συγκεκριµένου µε το αφηρηµένο. Αυτή, όµως, η σύγχυση
συνειδητοποιήθηκε και θεωρήθηκε σαν λογικό σφάλµα µόνον από τον Πλάτωνα
και ύστερα, η τουλάχιστον οπό τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη, πού διέκριναν
καθαρά το συγκεκριµένο οπό το αφηρηµένο. Για τους Πυθαγόρειους, όµως, όπως
και για όλους τους προσωκρατικούς, αυτή η διάκριση δεν γινόταν ποτέ και ό,τι
εµείς θεωρούµε αφηρηµένο, αυτοί το παρίσταναν µε µέγεθος και µε χωρικούς
προσδιορισµούς. Έτσι ο θεός του Ξενοφάνη, το όν του Παρµενίδη, η Φιλότης και
το Νείκος του Εµπεδοκλή, ο νους του Αναξαγόρα παριστάνονται σαν έκτατες
οντότητες. Πρώτος ο Πλάτων βρέθηκε σε θέση να σκεφτεί συνειδητά πώς
οποιοδήποτε πράγµα θα ήταν δυνατό να υπάρχει και διαφορετικά, εκτός οπό
χωρικά, και σ’ αυτό ακολουθήθηκε οπό τον Αριστοτέλη
.
Αλλά η σχέση αριθµού και κόσµου καθιερώνεται εδώ µέσα οπό την ίδια τη
διαδικασία της γένεσης τους. Έχουµε κιόλας επισηµάνει τη βασική πυθαγόρεια
ιδέα πώς η µονάδα, το ένα, δεν είναι ένας αριθµός αλλά η αρχή του αριθµού. Η
πρωταρχική µονάδα δεν αντιπροσωπεύει άπλα τη βάση µιας «αριθµογονίας», αλλά
είναι ταυτόχρονα και µια παράξενη κοσµογονική αρχή. Υπόκειται εδώ µια
βιολογική αντίληψη του κόσµου: ο κόσµος είναι ένας οργανισµός πού ζει και
αναπνέει, έχοντας σαν πηγή του ένα σπόρο πού αναπτύχθηκε ως τη σηµερινή
πλήρη του µορφή
. Η αρσενική αρχή του πέρατος εµφυτεύει στο µέσο του περι-
βάλλοντος άπειρου τον σπόρο πού θα αναπτυχθεί σιγά-σιγά για να δώσει τελικά το
ορατό σύµπαν. Πρόκειται για την πρωταρχική µονάδα. Αυτή συλλαµβάνεται να
λειτουργεί µε τις αναλογίες προς ένα έµβρυο λογικό πρότυπο. «Ίσως δεν θα είχε
νόηµα να ρωτήσουµε πώς ήρθε σε ύπαρξη αυτή η πρωταρχική µονάδα, όπως δεν θα
είχε νόηµα το ερώτηµα πώς δικαιολογείται η γένεση του ησιόδειου Χάους η του9
αναξιµάνδρειου απείρου. Εκείνο πού έχει εδώ σηµασία δεν είναι πώς ήρθε σε
ύπαρξη η πρωταρχική µονάδα, αλλά πώς ήρθε σε ύπαρξη ο κόσµος. Ό πρω-
ταρχικός σπόρος δεν «αποκρίνεται» εδώ, όπως στον Αναξίµανδρο, οπό µια
κοσµογονική µήτρα (το άπειρο), αλλ’ αυτός γίνεται γόνιµος και αναπτύσσεται µε
την επενέργεια των δύο αρχών, του πέρατος και του απείρου.
Η πρωταρχική µονάδα συνδυάζει τόσο τη λειτουργία του πέρατος, της αρσενικής αρχής, όσο και
του απείρου, της θηλυκής αρχής. Έτσι ακριβώς δικαιολογείται στον πίνακα των
αντιθέτων το ζευγάρι άρρεν – θήλυ. Η πρώτη, λοιπόν, µονάδα, αν και
αντιπροσωπεύει αρχικά το πέρας, δεν λειτουργεί σαν κοσµογονική αρχή παρά στη
σχέση της µε το άπειρο πού την περιβάλλει. Η σχέση αυτή συνίσταται σε µια
συνεχή εισπνοή κενού οπό µέρους της πρώτης αυτής µονάδας, πού άρχισε σιγά-
σιγά να αναπτύσσεται σαν ένα ζωντανό έµβρυο. Αποτέλεσµα της πρώτης αυτής
βαθµιαίας ανάπτυξης είναι µια απότοµη µεταβολή: η µονάδα διαρρηγνύεται σε
δύο. Η διάσπαση αυτή σηµαίνει πώς το κενό πού απορρόφησε η µονάδα
λειτούργησε δραστικά και πέτυχε όχι µόνο να την διαρρήξει αλλά και να κρατήσει
χωριστά τις δύο µονάδες πού προέκυψαν απ’ αυτή. Οι δύο όµως µονάδες έχουν κι
αυτές επίσης µέγεθος και δεν διακρίνονται από τα δύο γεωµετρικά σηµεία.
Εποµένως δεν γεννήθηκε απλά ο αριθµός 2 παρά και η γραµµή. Αυτή η πορεία
συνεχίζεται και δίνει το ορατό σύµπαν όπως µας είναι γνωστό. Η πρώτη δηλαδή
µονάδα προχωρεί µε τον ίδιο τρόπο στον αριθµό 3 και στους άλλους αριθµούς. Οι
πρώτοι Πυθαγόρειοι είχαν διδάξει ότι, όπως το 2 ισούται µε τη γραµµή, έτσι και το
3 ισούται µε το τρίγωνο, το απλούστερο επίπεδο σχήµα, και το 4 µε το τετράεδρο,
το απλούστερο ευθύγραµµο στερεό σχήµα κ.λπ.
.
Τόσο τα σηµεία όσο και οι γραµµές, τα επίπεδα και, φυσικά, τα στερεά δεν
προϋποτίθενται εδώ σαν αφηρηµένες κατασκευές, αλλά θεωρούνται ξεχωριστές
φυσικές οντότητες (φύσεις), µια πίστη πού έπαιζε ζωτικό ρόλο στην πυθαγόρεια
κοσµογονία. Τα αριθµητικά µεγέθη συγχέονται εδώ µε τα γεωµετρικά δοµηµένα
πράγµατα και έτσι δεν είναι παράξενο πώς η πορεία από το 1 στο 4 δεν σηµαίνει
απλά πώς η µονάδα έδωσε τους τρεις επόµενους αριθµούς παρά και τις τρεις
διαστάσεις, το µήκος (µε τη γραµµή), το ύψος (µε το τρίγωνο) και το πλάτος (µε το
τετράεδρο). Έτσι το δέκα είναι το τέλειο σχήµα, γιατί αποτελεί το τετραδιάστατο
όλων των φυσικών πραγµάτων. Η σύγχυση, λοιπόν, πού δεν συνειδητοποιείται, της
αριθµητικής µονάδας και του γεωµετρικού σηµείου, εξηγεί γιατί η πρώτη µονάδα
προχώρησε στη δηµιουργία τόσο των επόµενων τριών αριθµών όσο και των τριών
διαστάσεων. Η γένεση των αριθµητικών σειρών δεν διακρίνεται από τα γεγονότα
της κοσµογονίας.
Μ' αυτό, λοιπόν, το νόηµα εξισώνονται τα πράγµατα µε τους αριθµούς: η πρώτη
µονάδα αναπτύσσεται σε αριθµητικές σειρές και µαζί σε διαδοχικές κοσµογονικές
φάσεις πού εξηγούν πώς έφτασε το φυσικό σύµπαν στη σηµερινή κατάσταση
διαµόρφωσης του. Η συγκεκριµενοποίηση όµως της ύλης προϋποθέτει µια
διαφοροποίηση ποιοτήτων. Οπωσδήποτε, ασκεί εδώ λειτουργικό ρόλο η δυαδική
σχέση πέρας - άπειρον. Τα πράγµατα καθορίζονται ποιοτικά από τις ποικίλες
αναλογίες των δύο αυτών αρχών πού περιέχουν. Τα φυσικά σώµατα έχουν βάρος
ανάλογο µε την έκταση του κενού πού περιέχεται µέσα σ' αυτά: τα σώµατα είναι
ελαφρά όταν περιέχουν υψηλή αναλογία κενού και βαριά όταν η αναλογία του
κενού είναι µικρή
(συνεχίζεται)
ΤΩΝ ΓΑΡ ΗΛΙΘΙΩΝ ΑΠΕΙΡΑ ΓΕΝΕΘΛΑ
.
Αρµονία των σφαιρών
Κοινό χαρακτηριστικό στα µαθηµατικά και τη µουσική είναι η αρµονία
Καθώς είδαµε, η επιστηµονική έρευνα τόσο των µαθηµατικών όσο και της
µουσικής θεµελιώθηκε ταυτόχρονα από τους µαθητές του Πυθαγόρα. Αυτοί είχαν
διδάξει πώς ολόκληρο το φυσικό σύµπαν είναι αρµονία των αριθµών και µαζί
αρχιτεκτονικός ρυθµός και µουσική αρµονία. Η διαίρεση του µήκους µιας
παλλόµενης χορδής µε τη βοήθεια του µετακινούµενου διαιρέτη κατά την
αναλογία 2:1, 3:2,4:3 κ.ο.κ. δηµιουργεί αντίστοιχα διαστήµατα ογδόης, πέµπτης,
τετάρτης, κ.ο.κ. Έτσι η διαίρεση και η κατάτµηση όχι µόνο δεν είναι δυσάρεστη,
αλλά προκαλεί αντίθετα ευχαρίστηση, γιατί το σύνολο των ήχων είναι παράγωγο
µιας βασικής συχνότητας. Ο αριθµός π.χ. 604 = 12.960.000 θεωρούνταν
γαµήλιος αριθµός γιατί έχει τους περισσότερους διαιρέτες από κάθε άλλον
γνωστό αριθµό. Επειδή ακριβώς ο αριθµός προκύπτει από τη διαµάχη αντιθέτων,
η µουσική και τα µαθηµατικά συνδέονται µε την αρµονία, πού συνενώνει τα
αντίθετα. Η σύγκριση ανάµεσα στην αριθµητική τάξη και στη µουσική κλίµακα
µπορεί να γίνεται µε µεγάλη επιστηµονική απόδοση, γιατί οδηγεί σε
πολυσύνθετους σχηµατισµούς τόσο σειρών από αριθµούς όσο και σειρών από
νότες. Στη µουσική κλίµακα όπως και στην αριθµητική σειρά η διαίρεση
επιτρέπεται να γίνεται µε την αρµονία: αρµονίες και κλάσµατα αριθµών βαίνουν
αντίστοιχα.
Αριθµοί, βέβαια, και νότες δεν έχουν µόνα τους καµιά αξία, γιατί ο ρόλος τους
είναι να λειτουργούν σαν σήµατα πού επικαλούνται την ερµηνεία τους. ∆εν
πρόκειται για λέξεις µιας άλλης τάξης ούτε η µουσική και τα µαθηµατικά είναι
µια άλλη γλώσσα. Εκείνο πού έχει σηµασία είναι ότι η µουσική και τα
µαθηµατικά είναι συστήµατα σηµείων πού έχουν γραµµατική, συντακτικό η
λογική. Η γοητεία τους έγκειται στις άπειρες δυνατότητες ερµηνειών, πράγµα
πού εξηγεί γιατί η µουσική και τα µαθηµατικά δεν υπόκεινται αναγκαστικά στη
φθορά. Συνιστούν πραγµατικά ιδεώδεις κόσµους στους οποίους ζούµε και
µπορούµε να κατανοήσουµε µ' αυτούς καλύτερα τον πραγµατικό κόσµο.
∆ηµιουργώντας µουσική η µαθηµατικά, πλάθουµε έναν ιδανικό κόσµο πού
κυβερνούµε και απολαµβάνουµε. Ο ιδεώδης όµως αυτός κόσµος δεν
δηµιουργείται παρά µε τις αναλογίες του πραγµατικοί) κόσµου και έτσι
βρισκόµαστε κάτω οπό τον έλεγχο της συγκεκριµένης αντιθετικής η ασύµµετρης
πραγµατικότητας. Οι αριθµοί είναι µερικές φορές αντιφατικοί και οι νότες
παράφωνες. Αυτό είναι ένα κίνητρο να δηµιουργηθούν επιπλέον µαθηµατικά και
επιπλέον µουσική, για να αποφεύγεται η αντίφαση και η διαφωνία, γιατί το
ανθρώπινο πνεύµα θεωρεί συνήθως την αντίφαση και παραφωνία σαν
εκκρεµότητα πού επικαλείται την άρση της
.
Με τέτοιες παρατηρήσεις θα µπορούσαµε ίσως να φανταστούµε µερικά σηµεία
επαφής των µαθηµατικών και της µουσικής, όπως αυτά ερευνήθηκαν οπό τους11
πρώτους Πυθαγόρειους και να δικαιολογήσουµε την περίφηµη πρώτους Πυθαγόρειους και να δικαιολογήσουµε την περίφηµη θεωρία της
αρµονίας των σφαιρών πού αποδίδεται στον Πυθαγόρα και στους πρώτους
Πυθαγόρειους. Αυτή η θεωρία ξεκίνησε σαφώς οπό την παλιά πυθαγόρεια
ανακάλυψη ότι τα διαστήµατα της µουσικής κλίµακας αντιστοιχούν σε, και
εκφράζονται µε αριθµητικές αναλογίες. Αυτή η άποψη αναπτύχθηκε πιο πέρα
προς την κατεύθυνση της κοσµολογίας, µε σκοπό να φανεί ότι οι ιδιότητες, τα
µέρη και η όλη διάταξη του σύµπαντος εκφράζονται µε τις ιδιότητες των αριθµών
και της µουσικής κλίµακας. ∆υστυχώς οι µαρτυρίες µας δεν µας επιτρέπουν να
ανασυγκροτήσουµε το πυθαγόρειο σχήµα στο όποιο είχαν συγκεντρωθεί και
είχαν συνταιριαστεί όλες οι ιδιότητες των αριθµών και των κλιµάκων για να
αποδοθεί η «αρµονία των σφαιρών», η αρχιτεκτονική, µαθηµατική και µουσική
τάξη των ουράνιων σωµάτων, η µουσική γεωµέτρηση του σύµπαντος.
Ο Πλάτων παρουσίασε το 10 σαν αριθµό του γάµου. Ό αριθµός 10 παρουσιάστηκε παρόµοια στη
σκηνή του γάµου µε τη γνωστή παραβολή των 10 παρθένων.
1. Πβ. τη διεξοδική έκθεση του Hutten, 126 κ.έ
2. Πβ. Schttlander, 31 κ.έ.
3. Πβ. Hutten, 128.
4. Πβ. Jaeger, Paideia, Ι, 224-25.
5. Μεταφυσ.,Α5,9851)22κ.έ.
6. Πβ. Hutten, 137.
7. Άριστ., Φυσ., Γ 4.203 3 10 κ.έ. Ό γνώµων σηµαίνει ένα σχήµα πού παραµένει από ένα
τετράγωνο όταν ένα µικρότερο τετράγωνο αποκοπεί απ' αυτό, ή µε µια ευρύτερη έννοια, ο γνώµων
αντιπροσωπεύει κάθε αριθµό πού, όταν προστεθεί σ' ένα σχηµατικό αριθµό, δίνει τον επόµενο αριθµό
του ίδιου σχήµατος (Κοδδ, 542-45. Βλ. και Burkert, 31).
8. Βλ. κείµενα και τη σχετική συζήτηση, kirk-Raven, 243 κ.ε.
9. Kirk-Raven,243.
10. Hutten, 130.
11. Kirk - Raven, 250.
12. Πβ.Cnfrd, Plat and Parmenides,, 19.
13, Το ερώτηµα αυτό προϋποτίθεται σηµαντικό στα σχόλια των Kirk_Raven, 252-253, όπου
διατυπώνεται η παρατήρηση, σύµφωνα µε τη θέση του Αριστοτέλη, ότι οιΠυθαγόρειοι «παρέλειψαν
να εξηγήσουν αύτη τη µυστηριώδη αρχή της κοσµογονίας».
14. Πβ. Hutten, 130.
15. Kirk-Raven, 253 κ.έ.
16. Για µια ιστορία της ιδέας της κοσµικής αρµονίας, βλ. Schavernch, 23 κ.έ.
17. Π,β Hutten, 183 κ.ε
Αρµονία των σφαιρών
Κοινό χαρακτηριστικό στα µαθηµατικά και τη µουσική είναι η αρµονία
Καθώς είδαµε, η επιστηµονική έρευνα τόσο των µαθηµατικών όσο και της
µουσικής θεµελιώθηκε ταυτόχρονα από τους µαθητές του Πυθαγόρα. Αυτοί είχαν
διδάξει πώς ολόκληρο το φυσικό σύµπαν είναι αρµονία των αριθµών και µαζί
αρχιτεκτονικός ρυθµός και µουσική αρµονία. Η διαίρεση του µήκους µιας
παλλόµενης χορδής µε τη βοήθεια του µετακινούµενου διαιρέτη κατά την
αναλογία 2:1, 3:2,4:3 κ.ο.κ. δηµιουργεί αντίστοιχα διαστήµατα ογδόης, πέµπτης,
τετάρτης, κ.ο.κ. Έτσι η διαίρεση και η κατάτµηση όχι µόνο δεν είναι δυσάρεστη,
αλλά προκαλεί αντίθετα ευχαρίστηση, γιατί το σύνολο των ήχων είναι παράγωγο
µιας βασικής συχνότητας. Ο αριθµός π.χ. 604 = 12.960.000 θεωρούνταν
γαµήλιος αριθµός γιατί έχει τους περισσότερους διαιρέτες από κάθε άλλον
γνωστό αριθµό. Επειδή ακριβώς ο αριθµός προκύπτει από τη διαµάχη αντιθέτων,
η µουσική και τα µαθηµατικά συνδέονται µε την αρµονία, πού συνενώνει τα
αντίθετα. Η σύγκριση ανάµεσα στην αριθµητική τάξη και στη µουσική κλίµακα
µπορεί να γίνεται µε µεγάλη επιστηµονική απόδοση, γιατί οδηγεί σε
πολυσύνθετους σχηµατισµούς τόσο σειρών από αριθµούς όσο και σειρών από
νότες. Στη µουσική κλίµακα όπως και στην αριθµητική σειρά η διαίρεση
επιτρέπεται να γίνεται µε την αρµονία: αρµονίες και κλάσµατα αριθµών βαίνουν
αντίστοιχα.
Αριθµοί, βέβαια, και νότες δεν έχουν µόνα τους καµιά αξία, γιατί ο ρόλος τους
είναι να λειτουργούν σαν σήµατα πού επικαλούνται την ερµηνεία τους. ∆εν
πρόκειται για λέξεις µιας άλλης τάξης ούτε η µουσική και τα µαθηµατικά είναι
µια άλλη γλώσσα. Εκείνο πού έχει σηµασία είναι ότι η µουσική και τα
µαθηµατικά είναι συστήµατα σηµείων πού έχουν γραµµατική, συντακτικό η
λογική. Η γοητεία τους έγκειται στις άπειρες δυνατότητες ερµηνειών, πράγµα
πού εξηγεί γιατί η µουσική και τα µαθηµατικά δεν υπόκεινται αναγκαστικά στη
φθορά. Συνιστούν πραγµατικά ιδεώδεις κόσµους στους οποίους ζούµε και
µπορούµε να κατανοήσουµε µ' αυτούς καλύτερα τον πραγµατικό κόσµο.
∆ηµιουργώντας µουσική η µαθηµατικά, πλάθουµε έναν ιδανικό κόσµο πού
κυβερνούµε και απολαµβάνουµε. Ο ιδεώδης όµως αυτός κόσµος δεν
δηµιουργείται παρά µε τις αναλογίες του πραγµατικοί) κόσµου και έτσι
βρισκόµαστε κάτω οπό τον έλεγχο της συγκεκριµένης αντιθετικής η ασύµµετρης
πραγµατικότητας. Οι αριθµοί είναι µερικές φορές αντιφατικοί και οι νότες
παράφωνες. Αυτό είναι ένα κίνητρο να δηµιουργηθούν επιπλέον µαθηµατικά και
επιπλέον µουσική, για να αποφεύγεται η αντίφαση και η διαφωνία, γιατί το
ανθρώπινο πνεύµα θεωρεί συνήθως την αντίφαση και παραφωνία σαν
εκκρεµότητα πού επικαλείται την άρση της
.
Με τέτοιες παρατηρήσεις θα µπορούσαµε ίσως να φανταστούµε µερικά σηµεία
επαφής των µαθηµατικών και της µουσικής, όπως αυτά ερευνήθηκαν οπό τους11
πρώτους Πυθαγόρειους και να δικαιολογήσουµε την περίφηµη πρώτους Πυθαγόρειους και να δικαιολογήσουµε την περίφηµη θεωρία της
αρµονίας των σφαιρών πού αποδίδεται στον Πυθαγόρα και στους πρώτους
Πυθαγόρειους. Αυτή η θεωρία ξεκίνησε σαφώς οπό την παλιά πυθαγόρεια
ανακάλυψη ότι τα διαστήµατα της µουσικής κλίµακας αντιστοιχούν σε, και
εκφράζονται µε αριθµητικές αναλογίες. Αυτή η άποψη αναπτύχθηκε πιο πέρα
προς την κατεύθυνση της κοσµολογίας, µε σκοπό να φανεί ότι οι ιδιότητες, τα
µέρη και η όλη διάταξη του σύµπαντος εκφράζονται µε τις ιδιότητες των αριθµών
και της µουσικής κλίµακας. ∆υστυχώς οι µαρτυρίες µας δεν µας επιτρέπουν να
ανασυγκροτήσουµε το πυθαγόρειο σχήµα στο όποιο είχαν συγκεντρωθεί και
είχαν συνταιριαστεί όλες οι ιδιότητες των αριθµών και των κλιµάκων για να
αποδοθεί η «αρµονία των σφαιρών», η αρχιτεκτονική, µαθηµατική και µουσική
τάξη των ουράνιων σωµάτων, η µουσική γεωµέτρηση του σύµπαντος.
Ο Πλάτων παρουσίασε το 10 σαν αριθµό του γάµου. Ό αριθµός 10 παρουσιάστηκε παρόµοια στη
σκηνή του γάµου µε τη γνωστή παραβολή των 10 παρθένων.
1. Πβ. τη διεξοδική έκθεση του Hutten, 126 κ.έ
2. Πβ. Schttlander, 31 κ.έ.
3. Πβ. Hutten, 128.
4. Πβ. Jaeger, Paideia, Ι, 224-25.
5. Μεταφυσ.,Α5,9851)22κ.έ.
6. Πβ. Hutten, 137.
7. Άριστ., Φυσ., Γ 4.203 3 10 κ.έ. Ό γνώµων σηµαίνει ένα σχήµα πού παραµένει από ένα
τετράγωνο όταν ένα µικρότερο τετράγωνο αποκοπεί απ' αυτό, ή µε µια ευρύτερη έννοια, ο γνώµων
αντιπροσωπεύει κάθε αριθµό πού, όταν προστεθεί σ' ένα σχηµατικό αριθµό, δίνει τον επόµενο αριθµό
του ίδιου σχήµατος (Κοδδ, 542-45. Βλ. και Burkert, 31).
8. Βλ. κείµενα και τη σχετική συζήτηση, kirk-Raven, 243 κ.ε.
9. Kirk-Raven,243.
10. Hutten, 130.
11. Kirk - Raven, 250.
12. Πβ.Cnfrd, Plat and Parmenides,, 19.
13, Το ερώτηµα αυτό προϋποτίθεται σηµαντικό στα σχόλια των Kirk_Raven, 252-253, όπου
διατυπώνεται η παρατήρηση, σύµφωνα µε τη θέση του Αριστοτέλη, ότι οιΠυθαγόρειοι «παρέλειψαν
να εξηγήσουν αύτη τη µυστηριώδη αρχή της κοσµογονίας».
14. Πβ. Hutten, 130.
15. Kirk-Raven, 253 κ.έ.
16. Για µια ιστορία της ιδέας της κοσµικής αρµονίας, βλ. Schavernch, 23 κ.έ.
17. Π,β Hutten, 183 κ.ε
ΤΩΝ ΓΑΡ ΗΛΙΘΙΩΝ ΑΠΕΙΡΑ ΓΕΝΕΘΛΑ
Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΜΠΟΝΤΕ
Υπάρχουν στην αστρονομία μερικά παράδοξα που φανερώνουν τη δύναμη του αριθμού, μια περίεργη και μυστηριώδη, θα ήταν δυνατόν να προσθέταμε, δύναμη:
0 3 6 12 24 48 96 192 384 768
Ο καθένας διπλάσιος του προηγούμενου, εκτός του 0 και του 3.
Προσθέστε σε όλους τον αριθμό 4:
4 7 10 16 28 52 100 196 388 772
Διαιρέστε διά του 10:
0,4 0,7 1 1,6 2,8 5,2 10 19,6 38,8 77,2
Αθροίστε τους παραπάνω αριθμούς σε μονοψήφιο:
4 7 1 7 1 7 1 7 1 7
Αυτή την περίεργη σειρά των αριθμών την βρήκαν αρχικώς ο Βολφ και ο Τίτιους, έπειτα δε την διετύπωσε ακριβώς ο Μπόντε το 1778. Όταν ανακοινώθηκε από τον Μπόντε η σειρά αυτή των αριθμών, που δίνει τις αποστάσεις των πλανητών από την Ήλιο, δεν ήταν γνωστοί οι αστεροειδείς ούτε ο ουρανός ούτε οι δύο τελευταίο πλανήτες του ηλιακού συστήματος. Φανταστείτε την κατάπληξη όταν ανακαλύφθηκαν να βρίσκονται στις αποστάσεις που όριζε η σειρά του Μπόντε.
Δικαιολογημένα οι περισσότεροι ονομάζουν αυτή τη σειρά των αριθμών «Νόμο του Μπόντε» (Bode's Law). Στον νόμο αυτό δεν έχει δοθεί ακόμη μια πλήρης και ικανοποιητική εξήγηση. Μόνο η κοσμογονική θεωρία του Βαϊτσέκερ, που διατυπώθηκε το 1946 δίνει ορισμένα στοιχεία τα οποία εξηγούν κάπως το νόμο, όχι όμως και απολύτως.Δεν έχει η Γη κανένα προνόμιο να λαμβάνεται η απόστασή της από τον Ήλιο ως μονάδα των αποστάσεων. Αυτή τη μονάδα την όρισε ο άνθρωπος, την όρισαν οι αστρονόμοι. Βλέπει, όμως, κανείς το περίεργο στο νόμο του Μπόντε, να λαμβάνει αυτή η μονάδα μια φυσική σημασία στο ηλιακό σύστημα. Το γιατί, δεν το γνωρίζουμε.
Ίσως ο νόμος να είναι μια περίεργη σύμπτωση, ίσως όμως να έχει και μια κοσμογονική σημασία. Οπωσδήποτε, τίποτε άλλο δεν είναι δυνατό να προσθέσουμε, παρά μόνο ότι οι αριθμοί της σειράς του Μπόντε θυμίζουν πολύ την πυθαγόρεια φιλοσοφία περί μιας φυσικής δύναμης του αριθμού.
Η μυστηριώδης υφή και η δύναμη του αριθμού είναι εκείνη την οποία ο Πυθαγόρας και η σχολή του πρέσβευαν, εκείνη η οποία οδήγησε το μεγαλύτερο μύστη όλων των αιώνων στη διατύπωση της πλέον τολμηρής φιλοσοφικής σκέψης, κατά την οποία «οι αριθμοί είναι οι μόνες αληθινές πραγματικότητες, είδωλα δε των πραγματικοτήτων αυτών είναι τα σώματα στο σύμπαν».
http://www.astrologicon.org/cosmos/bode-stars.html
Υπάρχουν στην αστρονομία μερικά παράδοξα που φανερώνουν τη δύναμη του αριθμού, μια περίεργη και μυστηριώδη, θα ήταν δυνατόν να προσθέταμε, δύναμη:
0 3 6 12 24 48 96 192 384 768
Ο καθένας διπλάσιος του προηγούμενου, εκτός του 0 και του 3.
Προσθέστε σε όλους τον αριθμό 4:
4 7 10 16 28 52 100 196 388 772
Διαιρέστε διά του 10:
0,4 0,7 1 1,6 2,8 5,2 10 19,6 38,8 77,2
Αθροίστε τους παραπάνω αριθμούς σε μονοψήφιο:
4 7 1 7 1 7 1 7 1 7
Αυτή την περίεργη σειρά των αριθμών την βρήκαν αρχικώς ο Βολφ και ο Τίτιους, έπειτα δε την διετύπωσε ακριβώς ο Μπόντε το 1778. Όταν ανακοινώθηκε από τον Μπόντε η σειρά αυτή των αριθμών, που δίνει τις αποστάσεις των πλανητών από την Ήλιο, δεν ήταν γνωστοί οι αστεροειδείς ούτε ο ουρανός ούτε οι δύο τελευταίο πλανήτες του ηλιακού συστήματος. Φανταστείτε την κατάπληξη όταν ανακαλύφθηκαν να βρίσκονται στις αποστάσεις που όριζε η σειρά του Μπόντε.
Δικαιολογημένα οι περισσότεροι ονομάζουν αυτή τη σειρά των αριθμών «Νόμο του Μπόντε» (Bode's Law). Στον νόμο αυτό δεν έχει δοθεί ακόμη μια πλήρης και ικανοποιητική εξήγηση. Μόνο η κοσμογονική θεωρία του Βαϊτσέκερ, που διατυπώθηκε το 1946 δίνει ορισμένα στοιχεία τα οποία εξηγούν κάπως το νόμο, όχι όμως και απολύτως.Δεν έχει η Γη κανένα προνόμιο να λαμβάνεται η απόστασή της από τον Ήλιο ως μονάδα των αποστάσεων. Αυτή τη μονάδα την όρισε ο άνθρωπος, την όρισαν οι αστρονόμοι. Βλέπει, όμως, κανείς το περίεργο στο νόμο του Μπόντε, να λαμβάνει αυτή η μονάδα μια φυσική σημασία στο ηλιακό σύστημα. Το γιατί, δεν το γνωρίζουμε.
Ίσως ο νόμος να είναι μια περίεργη σύμπτωση, ίσως όμως να έχει και μια κοσμογονική σημασία. Οπωσδήποτε, τίποτε άλλο δεν είναι δυνατό να προσθέσουμε, παρά μόνο ότι οι αριθμοί της σειράς του Μπόντε θυμίζουν πολύ την πυθαγόρεια φιλοσοφία περί μιας φυσικής δύναμης του αριθμού.
Η μυστηριώδης υφή και η δύναμη του αριθμού είναι εκείνη την οποία ο Πυθαγόρας και η σχολή του πρέσβευαν, εκείνη η οποία οδήγησε το μεγαλύτερο μύστη όλων των αιώνων στη διατύπωση της πλέον τολμηρής φιλοσοφικής σκέψης, κατά την οποία «οι αριθμοί είναι οι μόνες αληθινές πραγματικότητες, είδωλα δε των πραγματικοτήτων αυτών είναι τα σώματα στο σύμπαν».
http://www.astrologicon.org/cosmos/bode-stars.html
ΤΩΝ ΓΑΡ ΗΛΙΘΙΩΝ ΑΠΕΙΡΑ ΓΕΝΕΘΛΑ
Θα ήθελα να διευκρινίσω κάποια πράγματα που αφήνονται να αιωρούνται στον αέρα από
την παραπάνω δημοσίευση, χωρίς να έχω πρόθεση να προσβάλλω τον συντάκτη (και σε
καμία περίπτωση στην Αμαλία που την παρέθεσε).
Ο αρθρογράφος πολύ σωστά αναφέρει τις δύο πρώτες ακολουθίες αριθμών:
την 0 3 6 12 24 48 κ.λπ.
και την 4 7 10 16 28 κ.λπ
Η δεύτερη είναι και η ακολουθία του Bode. Οι άλλες δύο που αναφέρονται μάλλον
αναφέρονται για λόγους εντυπωσιασμού, αφού δεν προσφέρουν τίποτα ουσιαστικό.
Εξηγώ:
Παρατήρηση α'
η ακολουθία 4 7 10 16 28 κ.λπ είναι η ακολουθία του Bode και μπορούμε να το βρούμε
εύκολα στο διαδίκτυο (πχ. http://en.wikipedia.org/wiki/Titius%E2%80%93Bode_law).
Η ακολουθία αυτή δίνει με προσέγγιση την αναλογία των
αποστάσεων μεταξύ του ηλίου και των πλανήτων. Για παράδειγμα, οι 1ος και ο 3ος
αριθμός στην ακολουθία είναι 4 και 10, οπότε αν την απόσταση του ήλιου από τον 1ο
πλανήτη την χωρίσουμε σε 4 ίσα μέρη, τότε θα χρειαστούμε 10 τέτοια ίσα μέρη για να
πέσουμε στην τροχιά του 3ου πλανήτη.
Παρατήρηση β'
Και στην ακολουθία 4 7 10 16 28 52 100 κ.λπ. ισχύει ότι το άθροισμα των ψηφίων
δίνει 4 7 1 7 1 7 1 7 1 κ.λπ. Δεν χρειάζεται να διαιρέσετε με το 10. Από την άλλη
το γιατί συμβαίνει αυτό είναι κάτι που φαίνεται πολύ εύκολα μόνο αν κάποιος έχει
βασικές γνώσεις αριθμοθεωρίας (πράξεις στο
και 
έστω). Έχει να κάνει με το
πώς ορίσαμε την ακολουθία.
Παρατήρηση γ'
Από την ακολουθία 4 7 10 16 28 52 κ.λπ ο Bode και πολλοί ακόμα αστρονόμοι διαιρούν
με το 10 για να πάρουν τις αποστάσεις σε αστρονομικές μονάδες (astronomical unit -
a.u.). Η αστρονομική μονάδα ορίστηκε από αρκετά παλιά ως η μέση απόσταση Ηλίου
Γης. Είναι μια μονάδα μέτρησης όπως και το έτος φωτός, αλλά το a.u. βολεύει σε πιο
μικρές κλίμακες (πχ εντός ηλιακού συστήματος) ενώ το έτος φωτός βολεύει σε πιο
μεγάλες κλίμακες (πχ μεταξύ γαλαξιών). Η παρατήρηση λοιπόν του αρθρογράφου ότι
"Βλέπει, όμως, κανείς το περίεργο στο νόμο του Μπόντε, να λαμβάνει αυτή η
μονάδα μια φυσική σημασία στο ηλιακό σύστημα. Το γιατί, δεν το γνωρίζουμε." η
απάντηση είναι: Το γνωρίζουμε. Εμείς (οι άνθρωποι) ορίσαμε σαν μονάδα a.u. την
απόσταση Ηλίου - Γης, και μετά διαιρέσαμε την ακολουθία του Μπόντε με τον τρίτο
όρο (το 10 που αντιστοιχεί στη Γη) για να εκφράσουμε τα νούμερα σε a.u..
Παρατήρηση δ'
Η ακολουθία του Μπόντε είναι ένας τρόπος προσέγγισης αυτού που παρατηρούμε στη
φύση. Είναι γνωστό ότι οι επιστήμονες προσπαθούν να δημιουργήσουν μια θεωρία που
να επαληθεύεται από τα γεγονότα, και στη συνέχεια μπορεί να ανακαλύψουν κάποια που
δίνει καλύτερη προσέγγιση. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποιούσε το 22/7 για να προσεγγίσει
τον αριθμό π. Σήμερα το 22/7 δεν θεωρείται καθόλου καλή προσέγγιση για οποιαδήποτε
επιστήμη. Ο Νεύτων δημιούργησε την θεωρία της Μηχανικής, μετά ήρθε μια καλύτερη
προσέγγιση από τη θεωρία της σχετικότητας, κ.λπ. Η ακολουθία του Μπόντε είναι μια
προσέγγιση, αλλά δεν ξέρουμε αν θα είχε την αίγλη που έχει μέχρι σήμερα αν στο
ηλιακό μας σύστημα είχαμε βρει ακόμα 10 πλανήτες. Στα μικρά λειτουργεί μια χαρά.
Παρατήρηση ε'
Θέλω να διευκρινίσω ότι δεν υποτιμώ την αξία της ακολουθίας του Μπόντε. Θεωρώ ότι
έκανε πολύ καλή δουλειά την εποχή που εκφράστηκε, και μπορεί και σήμερα να
χρησιμοποιηθεί, αν δε μας ενδιαφέρει η ακρίβεια, με τον ίδιο τρόπο που ακόμα
χρησιμοποιούμε το 3,14 αντί του
=3,141592653589793......
Όπως πολύ σωστά αναφέρεται στη δημοσίευση, δεν έχει εξηγηθεί ικανοποιητικά γιατί
υπάρχουν αυτές οι αποστάσεις των πλανητών από τον Ήλιο. Αποτελεί ακόμα για μας
ένα μυστήριο.
Τελειώνοντας, συμφωνώ με την άποψη του συντάκτη για τη μυστηριώδη δύναμη του
αριθμού. Είναι η ίδια δύναμη που οδήγησε τον Leopold Kronecker να γράψει "Ο Θεός
έφτιαξε τους ακέραιους αριθμούς· όλα τα υπόλοιπα είναι έργα ανθρώπινα" (God made
the integers; all else is the work of man).
την παραπάνω δημοσίευση, χωρίς να έχω πρόθεση να προσβάλλω τον συντάκτη (και σε
καμία περίπτωση στην Αμαλία που την παρέθεσε).
Ο αρθρογράφος πολύ σωστά αναφέρει τις δύο πρώτες ακολουθίες αριθμών:
την 0 3 6 12 24 48 κ.λπ.
και την 4 7 10 16 28 κ.λπ
Η δεύτερη είναι και η ακολουθία του Bode. Οι άλλες δύο που αναφέρονται μάλλον
αναφέρονται για λόγους εντυπωσιασμού, αφού δεν προσφέρουν τίποτα ουσιαστικό.
Εξηγώ:
Παρατήρηση α'
η ακολουθία 4 7 10 16 28 κ.λπ είναι η ακολουθία του Bode και μπορούμε να το βρούμε
εύκολα στο διαδίκτυο (πχ. http://en.wikipedia.org/wiki/Titius%E2%80%93Bode_law).
Η ακολουθία αυτή δίνει με προσέγγιση την αναλογία των
αποστάσεων μεταξύ του ηλίου και των πλανήτων. Για παράδειγμα, οι 1ος και ο 3ος
αριθμός στην ακολουθία είναι 4 και 10, οπότε αν την απόσταση του ήλιου από τον 1ο
πλανήτη την χωρίσουμε σε 4 ίσα μέρη, τότε θα χρειαστούμε 10 τέτοια ίσα μέρη για να
πέσουμε στην τροχιά του 3ου πλανήτη.
Παρατήρηση β'
Και στην ακολουθία 4 7 10 16 28 52 100 κ.λπ. ισχύει ότι το άθροισμα των ψηφίων
δίνει 4 7 1 7 1 7 1 7 1 κ.λπ. Δεν χρειάζεται να διαιρέσετε με το 10. Από την άλλη
το γιατί συμβαίνει αυτό είναι κάτι που φαίνεται πολύ εύκολα μόνο αν κάποιος έχει
βασικές γνώσεις αριθμοθεωρίας (πράξεις στο
πώς ορίσαμε την ακολουθία.
Παρατήρηση γ'
Από την ακολουθία 4 7 10 16 28 52 κ.λπ ο Bode και πολλοί ακόμα αστρονόμοι διαιρούν
με το 10 για να πάρουν τις αποστάσεις σε αστρονομικές μονάδες (astronomical unit -
a.u.). Η αστρονομική μονάδα ορίστηκε από αρκετά παλιά ως η μέση απόσταση Ηλίου
Γης. Είναι μια μονάδα μέτρησης όπως και το έτος φωτός, αλλά το a.u. βολεύει σε πιο
μικρές κλίμακες (πχ εντός ηλιακού συστήματος) ενώ το έτος φωτός βολεύει σε πιο
μεγάλες κλίμακες (πχ μεταξύ γαλαξιών). Η παρατήρηση λοιπόν του αρθρογράφου ότι
"Βλέπει, όμως, κανείς το περίεργο στο νόμο του Μπόντε, να λαμβάνει αυτή η
μονάδα μια φυσική σημασία στο ηλιακό σύστημα. Το γιατί, δεν το γνωρίζουμε." η
απάντηση είναι: Το γνωρίζουμε. Εμείς (οι άνθρωποι) ορίσαμε σαν μονάδα a.u. την
απόσταση Ηλίου - Γης, και μετά διαιρέσαμε την ακολουθία του Μπόντε με τον τρίτο
όρο (το 10 που αντιστοιχεί στη Γη) για να εκφράσουμε τα νούμερα σε a.u..
Παρατήρηση δ'
Η ακολουθία του Μπόντε είναι ένας τρόπος προσέγγισης αυτού που παρατηρούμε στη
φύση. Είναι γνωστό ότι οι επιστήμονες προσπαθούν να δημιουργήσουν μια θεωρία που
να επαληθεύεται από τα γεγονότα, και στη συνέχεια μπορεί να ανακαλύψουν κάποια που
δίνει καλύτερη προσέγγιση. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποιούσε το 22/7 για να προσεγγίσει
τον αριθμό π. Σήμερα το 22/7 δεν θεωρείται καθόλου καλή προσέγγιση για οποιαδήποτε
επιστήμη. Ο Νεύτων δημιούργησε την θεωρία της Μηχανικής, μετά ήρθε μια καλύτερη
προσέγγιση από τη θεωρία της σχετικότητας, κ.λπ. Η ακολουθία του Μπόντε είναι μια
προσέγγιση, αλλά δεν ξέρουμε αν θα είχε την αίγλη που έχει μέχρι σήμερα αν στο
ηλιακό μας σύστημα είχαμε βρει ακόμα 10 πλανήτες. Στα μικρά λειτουργεί μια χαρά.
Παρατήρηση ε'
Θέλω να διευκρινίσω ότι δεν υποτιμώ την αξία της ακολουθίας του Μπόντε. Θεωρώ ότι
έκανε πολύ καλή δουλειά την εποχή που εκφράστηκε, και μπορεί και σήμερα να
χρησιμοποιηθεί, αν δε μας ενδιαφέρει η ακρίβεια, με τον ίδιο τρόπο που ακόμα
χρησιμοποιούμε το 3,14 αντί του
Όπως πολύ σωστά αναφέρεται στη δημοσίευση, δεν έχει εξηγηθεί ικανοποιητικά γιατί
υπάρχουν αυτές οι αποστάσεις των πλανητών από τον Ήλιο. Αποτελεί ακόμα για μας
ένα μυστήριο.
Τελειώνοντας, συμφωνώ με την άποψη του συντάκτη για τη μυστηριώδη δύναμη του
αριθμού. Είναι η ίδια δύναμη που οδήγησε τον Leopold Kronecker να γράψει "Ο Θεός
έφτιαξε τους ακέραιους αριθμούς· όλα τα υπόλοιπα είναι έργα ανθρώπινα" (God made
the integers; all else is the work of man).