Τα κοπάδια του θεού Ήλιου
Ο θεός Ήλιος είχε κοπάδια από ταύρους και αγελάδες. Ένα κοπάδι είχε άσπρα ζώα, ένα μαύρα, ένα διάστικτο (με βούλες, παρδαλό), και ένα καφέ. Για τους ταύρους ίσχυε ότι α) οι λευκοί ήταν όσοι οι καφέ προσαυξημένοι κατά μισό και ένα τρίτο των μαύρων. β) οι μαύροι ήταν όσοι οι καφέ προσαυξημένοι κατά το ένα τέταρτο και ένα πέμπτο των διάστικτων, γ) Οι διάστικτοι ήταν όσοι οι καφέ προσαυξημένοι κατά ένα έκτο και ένα έβδομο του πλήθους των λευκών, Για τις αγελάδες α) Οι λευκές ήταν ένα τρίτο και ένα τέταρτο του μαύρου κοπαδιού β) οι μαύρες το ένα τέταρτο και το ένα πέμπτο του διάστικτου κοπαδιού, γ) οι αγελάδες με τις βούλες το ένα πέμπτο και ένα έκτο του καφέ κοπαδιού, δ) οι καφέ αγελάδες το ένα έκτο και ένα έβδομο των λευκών αγελάδων. Πόσους ταύρους και πόσες αγελάδες είχε το κάθε κοπάδι;
Το πρόβλημα αυτό το έθεσε ο Αρχιμήδης.
Ο Αρχιμήδης έστελνε επιστολές από τις Συρακούσες όπου ζούσε προς στους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας. Σε αυτές υπήρχαν και εκφωνήσεις δικών του θεωρημάτων, οι οποίες όμως δεν συνοδεύονταν από τις λύσεις. Άφηνε τους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας να λύσουν το πρόβλημα από μόνοι τους, και μετά από καιρό μπορεί να έδινε τη λύση σε κάποια νέα επιστολή του.
Ο Αρχιμήδης ήταν από τους σημαντικότερους μαθηματικούς έως και σήμερα, και αυτό φαίνεται εύκολα από τα έργα του που διασώθηκαν, αλλά και τις αναφορές στις πολύπλοκες και ακριβείς κατασκευές του.
Στο πρόβλημα που έθεσε για τα κοπάδια του Θεού Ήλιου, φαίνεται η βαθιά του γνώση στον τομέα των αριθμών, αφού θέτει ένα πρόβλημα που φαίνεται από την εκφώνηση ότι γνωρίζει ότι είναι πολύ δύσκολο ή αδύνατο να λυθεί. Κι αυτό γιατί το πρόβλημα ξεκινά με τη φράση «Το πλήθος των βοοειδών του Ήλιου μέτρησε ξένε και φρόντισε να το γνωρίζεις αν μετέχεις στη σοφία», και συνεχίζει με το πρώτο μέρος του προβλήματος το οποίο κλείνει με τη φράση «Αν δύνασαι να πεις με ακρίβεια, ξένε, τον αριθμό των βοοειδών του Ήλιου, δίνοντας χωριστά τον αριθμό των καλοθρεμένων ταύρων και πάλι τον αριθμό των αγελάδων για το κάθε χρώμα, εσύ θα είσαι ικανός με τους αριθμούς, αλλά δεν θα είσαι μεταξύ των σοφών». Στη συνέχεια παραθέτει το δεύτερο μέρος του προβλήματος και τελειώνει με τη φράση «αυτά αν βρεις, ξένε, και αθροίσεις και τα πλήθη αποδόσεις, θα στεφθείς με δόξα και θα έχεις κριθεί τέλειος σε αυτό το είδος της σοφίας». Φαίνεται λοιπόν να προκαλεί τον αναγνώστη να προσπαθήσει να λύσει το πρόβλημα, αν θεωρεί ότι είναι καλός στους αριθμούς.
Η γενική λύση του προβλήματος έγινε γνωστή γύρω στο 1880 και ο λόγος αυτής της καθυστέρησης είναι ότι η λύση έχει τόσο μεγάλους αριθμούς που ο άνθρωπος δεν μπορεί να τους χειριστεί χωρίς χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή. Η διάνοια του Αρχιμήδη φαίνεται από το γεγονός ότι μπορούσε να δημιουργήσει ένα πρόβλημα με μικρούς αριθμούς και απλές σχέσεις, και να γνωρίζει ότι είναι πρακτικά αδύνατο να λυθεί με τα μέσα της εποχής του.
Το πρόβλημα μπορούμε να το βρούμε στο TLG με τον τίτλο Problema bovinum, και είναι το παρακάτω:
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ: Thesaurus Linguae Graecae
ΑΡΧΕΙΟ ΠΡΟΕΛΕΥΣΗΣ: TLG0552.TXT
ΚΩΔΙΚΟΣ TLG: 0552,014
ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: Archimedes Geom.
ΤΙΤΛΟΣ: Problema bovinum [Dub.]
πρόβλημα
Ϡ πληθὺν Ἠελίοιο βοῶν, ὦ ξεῖνε, μέτρησον
φροντίδ΄ ἐπιστήσας, εἰ μετέχεις σοφίης,
πόσση ἄρ΄ ἐν πεδίοις Σικελῆς ποτε βόσκετο νήσου
Θρινακίης τετραχῇ στίφεα δασσαμένη
χροιὴν ἀλλάσσοντα· τὸ μὲν λευκοῖο γάλακτος,
κυανέῳ δ΄ ἕτερον χρώματι λαμπόμενον,
ἄλλο γε μὲν ξανθόν, τὸ δὲ ποικίλον· ἐν δὲ ἑκάστῳ
στίφει ἔσαν ταῦροι πλήθεσι βριθόμενοι
συμμετρίης τοιῆσδε τετευχότες· ἀργότριχας μὲν
κυανέων ταύρων ἡμίσει ἠδὲ τρίτῳ
καὶ ξανθοῖς σύμπασιν ἴσους, ὦ ξεῖνε, νόησον,
αὐτὰρ κυανέους τῷ τετράτῳ τε μέρει
μικτοχρόων καὶ πέμπτῳ, ἔτι ξανθοῖσί τε πᾶσιν.
τοὺς δ΄ ὑπολειπομένους ποικιλόχρωτας ἄθρει
ἀργεννῶν ταύρων ἕκτῳ μέρει ἑβδομάτῳ τε
καὶ ξανθοῖς αὐτοὺς πᾶσιν ἰσαζομένους.
θηλείαισι δὲ βουσὶ τάδ΄ ἔπλετο· λευκότριχες μὲν
ἦσαν συμπάσης κυανέης ἀγέλης
τῷ τριτάτῳ τε μέρει καὶ τετράτῳ ἀτρεκὲς ἶσαι·
αὐτὰρ κυάνεαι τῷ τετράτῳ τε πάλιν
μικτοχρόων καὶ πέμπτῳ ὁμοῦ μέρει ἰσάζοντο
σὺν ταύροις πάσαις εἰς νομὸν ἐρχομέναις.
ξανθοτρίχων δ΄ ἀγέλης πέμπτῳ μέρει ἠδὲ καὶ ἕκτῳ
ποικίλαι ἰσάριθμον πλῆθος ἔχον τετραχῇ.
ξανθαὶ δ΄ ἠριθμεῦντο μέρους τρίτου ἡμίσει ἶσαι
ἀργεννῆς ἀγέλης ἑβδομάτῳ τε μέρει.
ξεῖνε, σὺ δ΄ Ἠελίοιο βόες πόσαι ἀτρεκὲς εἰπών,
χωρὶς μὲν ταύρων ζατρεφέων ἀριθμόν,
χωρὶς δ΄ αὖ θήλειαι ὅσαι κατὰ †χροιὰν ἕκασται,
οὐκ ἄϊδρίς κε λέγοι΄ οὐδ΄ ἀριθμῶν ἀδαής,
οὐ μήν πώ γε σοφοῖς ἐναρίθμιος. ἀλλ΄ ἴθι φράζευ
καὶ τάδε πάντα βοῶν Ἠελίοιο πάθη.
ἀργότριχες ταῦροι μὲν ἐπεὶ μιξαίατο πληθὺν
κυανέοις, ἵσταντ΄ ἔμπεδον ἰσόμετροι
εἰς βάθος εἰς εὖρός τε, τὰ δ΄ αὖ περιμήκεα πάντη
πίμπλαντο πλίνθου Θρινακίης πεδία.
ξανθοὶ δ΄ αὖτ΄ εἰς ἓν καὶ ποικίλοι ἀθροισθέντες
ἵσταντ΄ ἀμβολάδην ἐξ ἑνὸς ἀρχόμενοι
σχῆμα τελειοῦντες τὸ τρικράσπεδον οὔτε προσόντων
ἀλλοχρόων ταύρων οὔτ΄ ἐπιλειπομένων.
ταῦτα συνεξευρὼν καὶ ἐνὶ πραπίδεσσιν ἀθροίσας
καὶ πληθέων ἀποδούς, ξεῖνε, τὰ πάντα μέτρα
ἔρχεο κυδιόων νικηφόρος ἴσθι τε πάντως
κεκριμένος ταύτῃ γ΄ ὄμπνιος ἐν σοφίῃ. *
Σε ελεύθερη μεταγραφή λέει:
Το πλήθος των βοωειδών του Ήλιου μέτρησε ξένε και φρόντισε να το γνωρίζεις αν μετέχεις στη σοφία.
...
Διαφορετικού χρώματος, το μεν λευκό σαν το γάλα
Το δεύτερο σκουρόχρωμο (μαυρο)
Το άλλο ανοιχτόχρωμο (καφέ) το άλλο διάστικτο (με βούλες). Στο κάθε κοπάδι οι ταύροι έχουν πλήθος σύμφωνο με τους κανόνες. Οι λευκοί είναι ίσοι με το μισό και ένα τρίτο των μαύρων και όλους τους καφέ μαζί.
Οι μαύροι είναι το ένα τέταρτο και ένα πέμπτο αυτών με τις βούλες και όλοι οι καφέ μαζί.
Αυτοί στο διάστικτο είναι το ένα έκτο και ένα έβδομο των λευκών και οι καφέ μαζί.
Τα θηλυκά είναι: λευκές ἠταν όσο όλου του μαυρου κοπαδιού το ένα τρίτο και ένα τέταρτο
Οι μαύρες το ένα τεταρτο και ένα πέμπτο του κοπαδιού με τις διάστικτες μαζί με τους ταύρους.
Οι διάστικτες αγελάδες είναι του καφέ κοπαδιού το ένα πέμπτο και ένα έκτο.
Οι καφέ αγελάδες είναι το μισό του ενός τρίτου και ένα έβδομο του λευκού κοπαδιού.
Αν δύνασαι να πεις με ακρίβεια, ξένε, τον αριθμό των βοοειδών του Ήλιου, δίνοντας χωριστά τον αριθμό των καλοθρεμένων ταύρων και πάλι τον αριθμό των αγελάδων για το κάθε χρώμα, εσύ θα είσαι ικανός με τους αριθμούς, αλλά δεν θα είσαι μεταξύ των σοφών
Οι λευκοί ταύροι μαζί με τους μαύρους μπορούν να διαταχθούν σε ίσο μήκος και πλάτος (σε τετράγωνο)...
Οι καφέ και αυτοί με τις βούλες αν αθροιστούν σε τέλειο σχήμα που αρχίζει με ένα και αυξάνονται μέχρι να σχηματίσουν τρίγωνο χωρίς να περισσεύει ή να λείπει κανένας.
αυτά αν βρεις, ξένε, και αθροίσεις και τα πλήθη αποδόσεις, θα στεφθείς με δόξα και θα έχεις κριθεί τέλειος σε αυτό το είδος της σοφίας.
Το πρώτο μέρος του προβλήματος αποτελεί ένα γραμμικό σύστημα επτά εξισώσεων με οκτώ αγνώστους. Στα μαθηματικά είναι γνωστό ότι ένα τέτοιο σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Όμως επειδή μιλάμε για ζωντανά, θα πρέπει η λύση να αποτελείται αποκλειστικά από θετικούς ακέραιους αριθμούς. Έχουμε δηλαδή ένα σύστημα από διοφαντικές εξισώσεις.
Στα μαθηματικά γνωρίζουμε ότι αν βρούμε τη μικρότερη λύση, τότε οι υπόλοιπες είναι απλά πολλαπλάσια της πρώτης, άρα αρκεί να βρεθεί η μικρότερη λύση του συστήματος εξισώσεων.
Η λύση αυτή είναι:
Λ = 10.366.482
Μ = 7.460.514
Δ = 7.358.060
Κ = 4.149.387
λ = 7.206.360
μ = 4.893.246
δ = 3.515.820
κ = 5.439.213
όπου με κεφαλαία γράμματα αναφερόμαστε στους ταύρους, και με μικρά στις αγελάδες (Λ=λευκό, Μ=μαύρο, Κ=καφέ, Δ=διάστικτο).
Το να βρει κάποιος τη λύση που δίνεται παραπάνω, σημαίνει, σύμφωνα με τον Αρχιμήδη, ότι ο ευρών είναι καλός με τους αριθμούς, αλλά δεν συγκαταλέγεται ανάμεσα στους σοφούς.
Στο δεύτερο μέρος του προβλήματος δίνονται ακόμα δύο εξισώσεις:
Λ+Μ= τετράγωνος αριθμός
(Οι λευκοί ταύροι μαζί με τους μαύρους μπορούν να διαταχθούν σε ίσο μήκος και πλάτος - σε τετράγωνο)
Κ+Δ=τρίγωνος αριθμός
(Οι καφέ και αυτοί με τις βούλες αν αθροιστούν σε τέλειο σχήμα που αρχίζει με ένα και αυξάνονται μέχρι να σχηματίσουν τρίγωνο χωρίς να περισσεύει ή να λείπει κανένας).
Με τις επιπλέον δύο εξισώσεις η λύση δόθηκε σε γενική μορφή (σε μαθηματικό τύπο, και όχι με αριθμό) το 1880. Χρειάστηκε η βοήθεια υπολογιστή για να δοθεί η λύση με αριθμό το 1965.
Λέγεται μάλιστα ότι για να γράψουμε τη λύση θα χρειαζόμασταν όσο χώρο καταλαμβάνουν 600 σελίδες κειμένου, αφού αποτελείται από 100.000 περίπου ψηφία.
Βιβλιογραφία:
Thesaurus Linguae Graecae
wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes'_cattle_problem
http://www.jimloy.com
http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archim ... tents.html
Υ.Γ. 1) Πρώτη φορά διάβασα για το συγκεκριμένο πρόβλημα στο περιοδικό «Ανεξήγητο» πριν από 25 περίπου χρόνια. Αν και δεν έχω τον αριθμό τεύχους για να τον μνημονεύσω, κρίνω πρέπον να αναφέρω τουλάχιστον το όνομα του περιοδικού.
2) Όταν κάποιος μαθητής στο Γενικό Λύκειο Αγ. Δέκα περηφανεύτηκε ότι έχει κατανοήσει σε βάθος τη θεωρία και μπορεί να λύσει οποιοδήποτε σύστημα γραμμικών εξισώσεων, θυμήθηκα το πρόβλημα αυτό και το κοινοποίησα στους μαθητές. Περίμενα ο εν λόγω μαθητής να καταλάβει ότι δεν πρέπει να κοκορεύεται, αλλά αυτός δεσμεύτηκε να λύσει το πρώτο μέρος του προβλήματος. Μανώλη, ακόμα περιμένω.
Ο θεός Ήλιος είχε κοπάδια από ταύρους και αγελάδες. Ένα κοπάδι είχε άσπρα ζώα, ένα μαύρα, ένα διάστικτο (με βούλες, παρδαλό), και ένα καφέ. Για τους ταύρους ίσχυε ότι α) οι λευκοί ήταν όσοι οι καφέ προσαυξημένοι κατά μισό και ένα τρίτο των μαύρων. β) οι μαύροι ήταν όσοι οι καφέ προσαυξημένοι κατά το ένα τέταρτο και ένα πέμπτο των διάστικτων, γ) Οι διάστικτοι ήταν όσοι οι καφέ προσαυξημένοι κατά ένα έκτο και ένα έβδομο του πλήθους των λευκών, Για τις αγελάδες α) Οι λευκές ήταν ένα τρίτο και ένα τέταρτο του μαύρου κοπαδιού β) οι μαύρες το ένα τέταρτο και το ένα πέμπτο του διάστικτου κοπαδιού, γ) οι αγελάδες με τις βούλες το ένα πέμπτο και ένα έκτο του καφέ κοπαδιού, δ) οι καφέ αγελάδες το ένα έκτο και ένα έβδομο των λευκών αγελάδων. Πόσους ταύρους και πόσες αγελάδες είχε το κάθε κοπάδι;
Το πρόβλημα αυτό το έθεσε ο Αρχιμήδης.
Ο Αρχιμήδης έστελνε επιστολές από τις Συρακούσες όπου ζούσε προς στους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας. Σε αυτές υπήρχαν και εκφωνήσεις δικών του θεωρημάτων, οι οποίες όμως δεν συνοδεύονταν από τις λύσεις. Άφηνε τους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας να λύσουν το πρόβλημα από μόνοι τους, και μετά από καιρό μπορεί να έδινε τη λύση σε κάποια νέα επιστολή του.
Ο Αρχιμήδης ήταν από τους σημαντικότερους μαθηματικούς έως και σήμερα, και αυτό φαίνεται εύκολα από τα έργα του που διασώθηκαν, αλλά και τις αναφορές στις πολύπλοκες και ακριβείς κατασκευές του.
Στο πρόβλημα που έθεσε για τα κοπάδια του Θεού Ήλιου, φαίνεται η βαθιά του γνώση στον τομέα των αριθμών, αφού θέτει ένα πρόβλημα που φαίνεται από την εκφώνηση ότι γνωρίζει ότι είναι πολύ δύσκολο ή αδύνατο να λυθεί. Κι αυτό γιατί το πρόβλημα ξεκινά με τη φράση «Το πλήθος των βοοειδών του Ήλιου μέτρησε ξένε και φρόντισε να το γνωρίζεις αν μετέχεις στη σοφία», και συνεχίζει με το πρώτο μέρος του προβλήματος το οποίο κλείνει με τη φράση «Αν δύνασαι να πεις με ακρίβεια, ξένε, τον αριθμό των βοοειδών του Ήλιου, δίνοντας χωριστά τον αριθμό των καλοθρεμένων ταύρων και πάλι τον αριθμό των αγελάδων για το κάθε χρώμα, εσύ θα είσαι ικανός με τους αριθμούς, αλλά δεν θα είσαι μεταξύ των σοφών». Στη συνέχεια παραθέτει το δεύτερο μέρος του προβλήματος και τελειώνει με τη φράση «αυτά αν βρεις, ξένε, και αθροίσεις και τα πλήθη αποδόσεις, θα στεφθείς με δόξα και θα έχεις κριθεί τέλειος σε αυτό το είδος της σοφίας». Φαίνεται λοιπόν να προκαλεί τον αναγνώστη να προσπαθήσει να λύσει το πρόβλημα, αν θεωρεί ότι είναι καλός στους αριθμούς.
Η γενική λύση του προβλήματος έγινε γνωστή γύρω στο 1880 και ο λόγος αυτής της καθυστέρησης είναι ότι η λύση έχει τόσο μεγάλους αριθμούς που ο άνθρωπος δεν μπορεί να τους χειριστεί χωρίς χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή. Η διάνοια του Αρχιμήδη φαίνεται από το γεγονός ότι μπορούσε να δημιουργήσει ένα πρόβλημα με μικρούς αριθμούς και απλές σχέσεις, και να γνωρίζει ότι είναι πρακτικά αδύνατο να λυθεί με τα μέσα της εποχής του.
Το πρόβλημα μπορούμε να το βρούμε στο TLG με τον τίτλο Problema bovinum, και είναι το παρακάτω:
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ: Thesaurus Linguae Graecae
ΑΡΧΕΙΟ ΠΡΟΕΛΕΥΣΗΣ: TLG0552.TXT
ΚΩΔΙΚΟΣ TLG: 0552,014
ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: Archimedes Geom.
ΤΙΤΛΟΣ: Problema bovinum [Dub.]
πρόβλημα
Ϡ πληθὺν Ἠελίοιο βοῶν, ὦ ξεῖνε, μέτρησον
φροντίδ΄ ἐπιστήσας, εἰ μετέχεις σοφίης,
πόσση ἄρ΄ ἐν πεδίοις Σικελῆς ποτε βόσκετο νήσου
Θρινακίης τετραχῇ στίφεα δασσαμένη
χροιὴν ἀλλάσσοντα· τὸ μὲν λευκοῖο γάλακτος,
κυανέῳ δ΄ ἕτερον χρώματι λαμπόμενον,
ἄλλο γε μὲν ξανθόν, τὸ δὲ ποικίλον· ἐν δὲ ἑκάστῳ
στίφει ἔσαν ταῦροι πλήθεσι βριθόμενοι
συμμετρίης τοιῆσδε τετευχότες· ἀργότριχας μὲν
κυανέων ταύρων ἡμίσει ἠδὲ τρίτῳ
καὶ ξανθοῖς σύμπασιν ἴσους, ὦ ξεῖνε, νόησον,
αὐτὰρ κυανέους τῷ τετράτῳ τε μέρει
μικτοχρόων καὶ πέμπτῳ, ἔτι ξανθοῖσί τε πᾶσιν.
τοὺς δ΄ ὑπολειπομένους ποικιλόχρωτας ἄθρει
ἀργεννῶν ταύρων ἕκτῳ μέρει ἑβδομάτῳ τε
καὶ ξανθοῖς αὐτοὺς πᾶσιν ἰσαζομένους.
θηλείαισι δὲ βουσὶ τάδ΄ ἔπλετο· λευκότριχες μὲν
ἦσαν συμπάσης κυανέης ἀγέλης
τῷ τριτάτῳ τε μέρει καὶ τετράτῳ ἀτρεκὲς ἶσαι·
αὐτὰρ κυάνεαι τῷ τετράτῳ τε πάλιν
μικτοχρόων καὶ πέμπτῳ ὁμοῦ μέρει ἰσάζοντο
σὺν ταύροις πάσαις εἰς νομὸν ἐρχομέναις.
ξανθοτρίχων δ΄ ἀγέλης πέμπτῳ μέρει ἠδὲ καὶ ἕκτῳ
ποικίλαι ἰσάριθμον πλῆθος ἔχον τετραχῇ.
ξανθαὶ δ΄ ἠριθμεῦντο μέρους τρίτου ἡμίσει ἶσαι
ἀργεννῆς ἀγέλης ἑβδομάτῳ τε μέρει.
ξεῖνε, σὺ δ΄ Ἠελίοιο βόες πόσαι ἀτρεκὲς εἰπών,
χωρὶς μὲν ταύρων ζατρεφέων ἀριθμόν,
χωρὶς δ΄ αὖ θήλειαι ὅσαι κατὰ †χροιὰν ἕκασται,
οὐκ ἄϊδρίς κε λέγοι΄ οὐδ΄ ἀριθμῶν ἀδαής,
οὐ μήν πώ γε σοφοῖς ἐναρίθμιος. ἀλλ΄ ἴθι φράζευ
καὶ τάδε πάντα βοῶν Ἠελίοιο πάθη.
ἀργότριχες ταῦροι μὲν ἐπεὶ μιξαίατο πληθὺν
κυανέοις, ἵσταντ΄ ἔμπεδον ἰσόμετροι
εἰς βάθος εἰς εὖρός τε, τὰ δ΄ αὖ περιμήκεα πάντη
πίμπλαντο πλίνθου Θρινακίης πεδία.
ξανθοὶ δ΄ αὖτ΄ εἰς ἓν καὶ ποικίλοι ἀθροισθέντες
ἵσταντ΄ ἀμβολάδην ἐξ ἑνὸς ἀρχόμενοι
σχῆμα τελειοῦντες τὸ τρικράσπεδον οὔτε προσόντων
ἀλλοχρόων ταύρων οὔτ΄ ἐπιλειπομένων.
ταῦτα συνεξευρὼν καὶ ἐνὶ πραπίδεσσιν ἀθροίσας
καὶ πληθέων ἀποδούς, ξεῖνε, τὰ πάντα μέτρα
ἔρχεο κυδιόων νικηφόρος ἴσθι τε πάντως
κεκριμένος ταύτῃ γ΄ ὄμπνιος ἐν σοφίῃ. *
Σε ελεύθερη μεταγραφή λέει:
Το πλήθος των βοωειδών του Ήλιου μέτρησε ξένε και φρόντισε να το γνωρίζεις αν μετέχεις στη σοφία.
...
Διαφορετικού χρώματος, το μεν λευκό σαν το γάλα
Το δεύτερο σκουρόχρωμο (μαυρο)
Το άλλο ανοιχτόχρωμο (καφέ) το άλλο διάστικτο (με βούλες). Στο κάθε κοπάδι οι ταύροι έχουν πλήθος σύμφωνο με τους κανόνες. Οι λευκοί είναι ίσοι με το μισό και ένα τρίτο των μαύρων και όλους τους καφέ μαζί.
Οι μαύροι είναι το ένα τέταρτο και ένα πέμπτο αυτών με τις βούλες και όλοι οι καφέ μαζί.
Αυτοί στο διάστικτο είναι το ένα έκτο και ένα έβδομο των λευκών και οι καφέ μαζί.
Τα θηλυκά είναι: λευκές ἠταν όσο όλου του μαυρου κοπαδιού το ένα τρίτο και ένα τέταρτο
Οι μαύρες το ένα τεταρτο και ένα πέμπτο του κοπαδιού με τις διάστικτες μαζί με τους ταύρους.
Οι διάστικτες αγελάδες είναι του καφέ κοπαδιού το ένα πέμπτο και ένα έκτο.
Οι καφέ αγελάδες είναι το μισό του ενός τρίτου και ένα έβδομο του λευκού κοπαδιού.
Αν δύνασαι να πεις με ακρίβεια, ξένε, τον αριθμό των βοοειδών του Ήλιου, δίνοντας χωριστά τον αριθμό των καλοθρεμένων ταύρων και πάλι τον αριθμό των αγελάδων για το κάθε χρώμα, εσύ θα είσαι ικανός με τους αριθμούς, αλλά δεν θα είσαι μεταξύ των σοφών
Οι λευκοί ταύροι μαζί με τους μαύρους μπορούν να διαταχθούν σε ίσο μήκος και πλάτος (σε τετράγωνο)...
Οι καφέ και αυτοί με τις βούλες αν αθροιστούν σε τέλειο σχήμα που αρχίζει με ένα και αυξάνονται μέχρι να σχηματίσουν τρίγωνο χωρίς να περισσεύει ή να λείπει κανένας.
αυτά αν βρεις, ξένε, και αθροίσεις και τα πλήθη αποδόσεις, θα στεφθείς με δόξα και θα έχεις κριθεί τέλειος σε αυτό το είδος της σοφίας.
Το πρώτο μέρος του προβλήματος αποτελεί ένα γραμμικό σύστημα επτά εξισώσεων με οκτώ αγνώστους. Στα μαθηματικά είναι γνωστό ότι ένα τέτοιο σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Όμως επειδή μιλάμε για ζωντανά, θα πρέπει η λύση να αποτελείται αποκλειστικά από θετικούς ακέραιους αριθμούς. Έχουμε δηλαδή ένα σύστημα από διοφαντικές εξισώσεις.
Στα μαθηματικά γνωρίζουμε ότι αν βρούμε τη μικρότερη λύση, τότε οι υπόλοιπες είναι απλά πολλαπλάσια της πρώτης, άρα αρκεί να βρεθεί η μικρότερη λύση του συστήματος εξισώσεων.
Η λύση αυτή είναι:
Λ = 10.366.482
Μ = 7.460.514
Δ = 7.358.060
Κ = 4.149.387
λ = 7.206.360
μ = 4.893.246
δ = 3.515.820
κ = 5.439.213
όπου με κεφαλαία γράμματα αναφερόμαστε στους ταύρους, και με μικρά στις αγελάδες (Λ=λευκό, Μ=μαύρο, Κ=καφέ, Δ=διάστικτο).
Το να βρει κάποιος τη λύση που δίνεται παραπάνω, σημαίνει, σύμφωνα με τον Αρχιμήδη, ότι ο ευρών είναι καλός με τους αριθμούς, αλλά δεν συγκαταλέγεται ανάμεσα στους σοφούς.
Στο δεύτερο μέρος του προβλήματος δίνονται ακόμα δύο εξισώσεις:
Λ+Μ= τετράγωνος αριθμός
(Οι λευκοί ταύροι μαζί με τους μαύρους μπορούν να διαταχθούν σε ίσο μήκος και πλάτος - σε τετράγωνο)
Κ+Δ=τρίγωνος αριθμός
(Οι καφέ και αυτοί με τις βούλες αν αθροιστούν σε τέλειο σχήμα που αρχίζει με ένα και αυξάνονται μέχρι να σχηματίσουν τρίγωνο χωρίς να περισσεύει ή να λείπει κανένας).
Με τις επιπλέον δύο εξισώσεις η λύση δόθηκε σε γενική μορφή (σε μαθηματικό τύπο, και όχι με αριθμό) το 1880. Χρειάστηκε η βοήθεια υπολογιστή για να δοθεί η λύση με αριθμό το 1965.
Λέγεται μάλιστα ότι για να γράψουμε τη λύση θα χρειαζόμασταν όσο χώρο καταλαμβάνουν 600 σελίδες κειμένου, αφού αποτελείται από 100.000 περίπου ψηφία.
Βιβλιογραφία:
Thesaurus Linguae Graecae
wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes'_cattle_problem
http://www.jimloy.com
http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archim ... tents.html
Υ.Γ. 1) Πρώτη φορά διάβασα για το συγκεκριμένο πρόβλημα στο περιοδικό «Ανεξήγητο» πριν από 25 περίπου χρόνια. Αν και δεν έχω τον αριθμό τεύχους για να τον μνημονεύσω, κρίνω πρέπον να αναφέρω τουλάχιστον το όνομα του περιοδικού.
2) Όταν κάποιος μαθητής στο Γενικό Λύκειο Αγ. Δέκα περηφανεύτηκε ότι έχει κατανοήσει σε βάθος τη θεωρία και μπορεί να λύσει οποιοδήποτε σύστημα γραμμικών εξισώσεων, θυμήθηκα το πρόβλημα αυτό και το κοινοποίησα στους μαθητές. Περίμενα ο εν λόγω μαθητής να καταλάβει ότι δεν πρέπει να κοκορεύεται, αλλά αυτός δεσμεύτηκε να λύσει το πρώτο μέρος του προβλήματος. Μανώλη, ακόμα περιμένω.