Χάος
ΤΟ ΧΑΟΣ
Ἡ αἰώνια πάλη μεταξὺ τάξης καὶ ἀταξίας, ἁρμονίας καὶ χάους, ἀντιπροσωπεύει, μᾶλλον μιὰ βαθιὰ ριζωμένη ἀντίληψη τοῦ ἀνθρώπου γιὰ τὸ σύμπαν. Γι’ αὐτὸ καὶ τὴ συναντᾶμε σὲ τόσους πολλοὺς μύθους γιὰ τὴ δημιουργία τοῦ κόσμου καὶ σὲ τόσους πολλοὺς πολιτισμούς.
Τὸ Χάος στὶς Κοσμογονίες
Τὸ Χάος ἦταν τὸ πρῶτο στοιχεῖο τῆς κοσμογονίας τῶν φιλοσόφων τῆς Ἑλλάδας. Γιὰ πρώτη φορᾶ τὸ “Χάος” παρουσιάζεται στὴν Θεογονία τοῦ Ἡσιόδου (8ος αἰώνας π.Χ.) σὰν ἡ πρωταρχικὴ ὕλη τοῦ Κόσμου ποὺ ποὺ ὁδηγεῖται μέσα ἀπὸ τὴν ἐξελικτικὴ πορεία μίας ἀέναης μεταβολῆς τῆς ὕλης καὶ τῆς κίνησης ἀπὸ τὸ ὁμοιόμορφο στὸ πολύμορφο:
Τὸ Χάος πρωτογίνηκε κι ἡ Γῆ μετὰ ἡ πλατυστήθα … Κι ἀπ’ τὸ Χάος πάλιν γεννήθηκε τὸ Ἔρεβος καὶ ἡ τρίσμαυρη ἡ Νύχτα…
Καὶ μετὰ ἔρχεται ἡ ἰσορροπία, ἡ ἁρμονία καὶ ἡ ζωή. Ἀλλὰ ἡ ἀνθρώπινη ζωὴ βιώνεται μέσα σὲ ἕνα χαοτικὸ κόσμο, τὴν πολυπλοκότητα, τὶς ἀντιθέσεις καὶ τὴν ἀντίφαση ποὺ κυριαρχοῦν σὲ ὅλους τους τομεῖς τῆς σκέψης καὶ τῆς ζωῆς. Ἀπὸ τὶς ἀντιθέσεις δὲ προκύπτει ἡ τέλεια σύνθεση, ὅπου τυχαία καὶ συγκεχυμένα στοιχεῖα τῆς ὑπάρχουσας ἄπειρης ὕλης, μορφοποιοῦνται σὲ συντεταγμένες καταστάσεις.
Ὁ Ἀναξιμένης (585 περίπου π.Χ.), ἕνας σοφὸς ἀπὸ τὴ Μίλητο καὶ μαθητὴς τοῦ Ἀναξίμανδρου, δίνει τὴν ἐξήγηση τῶν διαφόρων μορφῶν τῆς πρωταρχικῆς ὕλης, τοῦ Χάους, μὲ τὴν πύκνωση καὶ τὴν ἀραίωση.
Ὁ Ἀναξαγόρας (500 περίπου π.Χ.), φιλόσοφος ἀπὸ τὶς Κλαζομενές, δέχεται ὅτι “ὅλα τὰ στοιχεῖα στὴν ἀρχὴ ἦταν ἀνακατεμένα καὶ συγκεχυμένα. Τὰ πάντα ἦταν μέσα στὰ πάντα. Ὅλα ὅσα σήμερα εἶναι ξεχωρισμένα, ἀποτελοῦσαν μία μάζα ἀξεχώριστη καὶ ἠρεμοῦσα. Τὸ μίγμα αὐτὸ δὲν θὰ ἔβγαινε ἀπὸ τὴν ἠρεμία τοῦ ἂν ὁ νοῦς δὲν ἔδινε σ’ αὐτὸ τὴν κίνηση καὶ δὲν τὸ διαχώριζε”. Ἔτσι, ἀσχολεῖται μὲ τὰ ἀσταθῆ, τυχαία, ἀνακατεμένα καὶ συγκεχυμένα στοιχεῖα τῆς πρωταρχικῆς ἄπειρης ὕλης.
Σ’ ἕνα πρώιμο βαβυλωνιακὸ ἔπος τὸ σύμπαν γεννιέται ἀπ’ τὸ χάος ποὺ προκύπτει ὅταν μία ἀνυπάκουη οἰκογένεια Θεῶν τῆς ἀβύσσου καταστρέφεται ἀπὸ τὸν πατέρα της. Τὸ χάος εἶναι ἡ ἀρχέγονη ἄμορφη μάζα ἀπὸ τὴν ὁποία ὁ δημιουργὸς ἔπλασε τὴν τάξη καὶ τὸ σύμπαν. Ἡ τάξη ἰσοδυναμεῖ μὲ τὸ καλό, καὶ ἡ ἀταξία μὲ τὸ κακό. Ἡ τάξη καὶ τὸ χάος φαίνονται σὰν δυὸ ἀντίθετα πράγματα, σὰν δυὸ πόλοι γύρω ἀπ’ τοὺς ὁποίους περιστρέφουμε τὶς ἑρμηνεῖες μας σχετικὰ μὲ τὸν κόσμο.
Κάποια ἔμφυτη παρόρμηση κάνει τὴν ἀνθρωπότητα νὰ προσπαθεῖ νὰ κατανοήσει τὴν κανονικότητα στὴ φύση, νὰ ἐρευνήσει τοὺς νόμους ποὺ κρύβονται πίσω ἀπὸ τὴν παράξενη πολυπλοκότητα τοῦ σύμπαντος, νὰ βγάλει κάποια τάξη μέσα ἀπ’ τὸ χάος.
Στὴ σύγχρονη ἐποχὴ οἱ ἐπιστήμονες, φυσικοί, βιολόγοι, μαθηματικοί, μηχανικοί, χημικοὶ καὶ ἄλλοι, ἐρευνώντας διάφορα στοιχεῖα γιὰ νὰ ἐξηγήσουν κάποιες ἀταξίες ποὺ κυριαρχοῦν στὸ χαοτικὸ ὀργανικὸ καὶ ἀνόργανο κόσμο, ὁδηγοῦνται νὰ βροῦν τὸν τρόπο μὲ τὸν ὁποῖον θὰ μποροῦσαν νὰ μεταβάλουν σὲ κάθε περίπτωση τὰ πολύμορφα στοιχεῖα σὲ ὁμοιόμορφα, τὰ πολύπλοκα σὲ ἁπλά, τὰ ἀσταθῆ σὲ σταθερά, τὰ τυχαία καὶ ἀπρόβλεπτα σὲ καθορισμένα.
Ἡ αἰώνια πάλη μεταξὺ τάξης καὶ ἀταξίας, ἁρμονίας καὶ χάους, ἀντιπροσωπεύει, μᾶλλον μιὰ βαθιὰ ριζωμένη ἀντίληψη τοῦ ἀνθρώπου γιὰ τὸ σύμπαν. Γι’ αὐτὸ καὶ τὴ συναντᾶμε σὲ τόσους πολλοὺς μύθους γιὰ τὴ δημιουργία τοῦ κόσμου καὶ σὲ τόσους πολλοὺς πολιτισμούς.
Τὸ Χάος στὶς Κοσμογονίες
Τὸ Χάος ἦταν τὸ πρῶτο στοιχεῖο τῆς κοσμογονίας τῶν φιλοσόφων τῆς Ἑλλάδας. Γιὰ πρώτη φορᾶ τὸ “Χάος” παρουσιάζεται στὴν Θεογονία τοῦ Ἡσιόδου (8ος αἰώνας π.Χ.) σὰν ἡ πρωταρχικὴ ὕλη τοῦ Κόσμου ποὺ ποὺ ὁδηγεῖται μέσα ἀπὸ τὴν ἐξελικτικὴ πορεία μίας ἀέναης μεταβολῆς τῆς ὕλης καὶ τῆς κίνησης ἀπὸ τὸ ὁμοιόμορφο στὸ πολύμορφο:
Τὸ Χάος πρωτογίνηκε κι ἡ Γῆ μετὰ ἡ πλατυστήθα … Κι ἀπ’ τὸ Χάος πάλιν γεννήθηκε τὸ Ἔρεβος καὶ ἡ τρίσμαυρη ἡ Νύχτα…
Καὶ μετὰ ἔρχεται ἡ ἰσορροπία, ἡ ἁρμονία καὶ ἡ ζωή. Ἀλλὰ ἡ ἀνθρώπινη ζωὴ βιώνεται μέσα σὲ ἕνα χαοτικὸ κόσμο, τὴν πολυπλοκότητα, τὶς ἀντιθέσεις καὶ τὴν ἀντίφαση ποὺ κυριαρχοῦν σὲ ὅλους τους τομεῖς τῆς σκέψης καὶ τῆς ζωῆς. Ἀπὸ τὶς ἀντιθέσεις δὲ προκύπτει ἡ τέλεια σύνθεση, ὅπου τυχαία καὶ συγκεχυμένα στοιχεῖα τῆς ὑπάρχουσας ἄπειρης ὕλης, μορφοποιοῦνται σὲ συντεταγμένες καταστάσεις.
Ὁ Ἀναξιμένης (585 περίπου π.Χ.), ἕνας σοφὸς ἀπὸ τὴ Μίλητο καὶ μαθητὴς τοῦ Ἀναξίμανδρου, δίνει τὴν ἐξήγηση τῶν διαφόρων μορφῶν τῆς πρωταρχικῆς ὕλης, τοῦ Χάους, μὲ τὴν πύκνωση καὶ τὴν ἀραίωση.
Ὁ Ἀναξαγόρας (500 περίπου π.Χ.), φιλόσοφος ἀπὸ τὶς Κλαζομενές, δέχεται ὅτι “ὅλα τὰ στοιχεῖα στὴν ἀρχὴ ἦταν ἀνακατεμένα καὶ συγκεχυμένα. Τὰ πάντα ἦταν μέσα στὰ πάντα. Ὅλα ὅσα σήμερα εἶναι ξεχωρισμένα, ἀποτελοῦσαν μία μάζα ἀξεχώριστη καὶ ἠρεμοῦσα. Τὸ μίγμα αὐτὸ δὲν θὰ ἔβγαινε ἀπὸ τὴν ἠρεμία τοῦ ἂν ὁ νοῦς δὲν ἔδινε σ’ αὐτὸ τὴν κίνηση καὶ δὲν τὸ διαχώριζε”. Ἔτσι, ἀσχολεῖται μὲ τὰ ἀσταθῆ, τυχαία, ἀνακατεμένα καὶ συγκεχυμένα στοιχεῖα τῆς πρωταρχικῆς ἄπειρης ὕλης.
Σ’ ἕνα πρώιμο βαβυλωνιακὸ ἔπος τὸ σύμπαν γεννιέται ἀπ’ τὸ χάος ποὺ προκύπτει ὅταν μία ἀνυπάκουη οἰκογένεια Θεῶν τῆς ἀβύσσου καταστρέφεται ἀπὸ τὸν πατέρα της. Τὸ χάος εἶναι ἡ ἀρχέγονη ἄμορφη μάζα ἀπὸ τὴν ὁποία ὁ δημιουργὸς ἔπλασε τὴν τάξη καὶ τὸ σύμπαν. Ἡ τάξη ἰσοδυναμεῖ μὲ τὸ καλό, καὶ ἡ ἀταξία μὲ τὸ κακό. Ἡ τάξη καὶ τὸ χάος φαίνονται σὰν δυὸ ἀντίθετα πράγματα, σὰν δυὸ πόλοι γύρω ἀπ’ τοὺς ὁποίους περιστρέφουμε τὶς ἑρμηνεῖες μας σχετικὰ μὲ τὸν κόσμο.
Κάποια ἔμφυτη παρόρμηση κάνει τὴν ἀνθρωπότητα νὰ προσπαθεῖ νὰ κατανοήσει τὴν κανονικότητα στὴ φύση, νὰ ἐρευνήσει τοὺς νόμους ποὺ κρύβονται πίσω ἀπὸ τὴν παράξενη πολυπλοκότητα τοῦ σύμπαντος, νὰ βγάλει κάποια τάξη μέσα ἀπ’ τὸ χάος.
Στὴ σύγχρονη ἐποχὴ οἱ ἐπιστήμονες, φυσικοί, βιολόγοι, μαθηματικοί, μηχανικοί, χημικοὶ καὶ ἄλλοι, ἐρευνώντας διάφορα στοιχεῖα γιὰ νὰ ἐξηγήσουν κάποιες ἀταξίες ποὺ κυριαρχοῦν στὸ χαοτικὸ ὀργανικὸ καὶ ἀνόργανο κόσμο, ὁδηγοῦνται νὰ βροῦν τὸν τρόπο μὲ τὸν ὁποῖον θὰ μποροῦσαν νὰ μεταβάλουν σὲ κάθε περίπτωση τὰ πολύμορφα στοιχεῖα σὲ ὁμοιόμορφα, τὰ πολύπλοκα σὲ ἁπλά, τὰ ἀσταθῆ σὲ σταθερά, τὰ τυχαία καὶ ἀπρόβλεπτα σὲ καθορισμένα.
"Αἰὲν ἀριστεύειν καὶ ὑπείροχον ἔμμεναι ἄλλων, μηδὲ γένος πατέρων αἰσχυνέμεν»..
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
Τὸ Χάος σὰν Ἐπιστήμη
Οἱ ἄνθρωποι ἴσως καὶ ἀπὸ τὴν ἴδια τὴν ὀργάνωση τοῦ ἐγκεφάλου τους ταυτίζουν τὸ χάος μὲ τὴν ἀταξία ἤ την ἀπουσία κάθε ὀργάνωσης. Εἶναι μία ἀρκετὰ διαδεδομένη ἀλλὰ ἐσφαλμένη ὄπως θὰ δοῦμε ἀντίληψη, ποὺ θεωρεῖ ὅτι οἱ χαοτικές καταστασεις δὲν ὑπόκεινται σὲ ἀκριβεῖς κανόνες ἢ νόμους, καὶ συνεπῶς διαφεύγουν ἀπὸ κάθε δυνατότητα πρόβλεψης ἤ ελεγχου.
Σήμερα μὲ τὸν ὄρο Χάος χαρακτηρίζεται ὁ κλάδος ποὺ ἀντικείμενο μελέτης τοῦ εἶναι κάποια ἐξαιρετικὰ πολύπλοκα συστήματα ποὺ ἡ ἐξέλιξή τους στὸ χρόνο ἐξαρτᾶται ἰσχυρὰ ἀπὸ τὶς ἀρχικὲς συνθῆκες ὑπὸ τὶς ὁποῖες ἀναλύεται.
Συγκεκριμένα, ἡ Θεωρία τοῦ Χάους μελετᾶ τὴ συμπεριφορὰ ὁρισμένων μὴ γραμμικῶν δυναμικῶν συστημάτων, τὰ ὁποία χαρακτηρίζονται κυρίως ἀπὸ μία εὐαίσθητη ἐξάρτηση ἀπὸ τὶς ἀρχικὲς συνθῆκες ἀλλὰ καὶ ἀπὸ μία μὴ περιοδικότητα. Ἡ εὐαισθησία αὐτὴ ἔχει ὦς ἀποτέλεσμα τὴν φαινομενικὴ τυχαιότητα τῆς παρατηρούμενης συμπεριφορᾶς τῶν συστημάτων, παρ’ ὅλο ποὺ τὰ συστήματα αὐτὰ εἶναι αἰτιοκρατικὰ ἢ ντετερμινιστικά”, μὲ τὴν ἔννοια ὅτι εἶναι καλῶς ὁρισμένοι οἱ νόμοι ἐξέλιξής τους καὶ δὲν περιέχουν τυχαῖες παραμέτρους.
Ἕνα μὴ γραμμικὸ δυναμικὸ σύστημα μπορεῖ, σὲ γενικὲς γραμμές, νὰ παρουσιάζει μία ἢ περισσότερες ἀπὸ τὶς παρακάτω συμπεριφορές:
- νὰ καταλήγει σὲ ἠρεμία (ἀκινησία)
- νὰ ἐπεκτείνεται συνεχῶς (μόνο γιὰ μὴ φραγμένα συστήματα) ἢ ὄπως λέγεται νὰ συμβαίνει μία “ἔκρηξη”
- νὰ ἐκτελεῖ περιοδικὴ κίνηση ἢ ἠμι-περιοδικὴ κίνηση
- νὰ ἐκτελεῖ χαοτικὴ κίνηση
Ἡ συμπεριφορὰ ποὺ ἕνα σύστημα μπορεῖ νὰ παρουσιάσει ἐξαρτᾶται ὄπως εἴπαμε ἀπὸ τὴν ἀρχική του κατάσταση καὶ τὶς τιμὲς τῶν παραμέτρων, ἂν ὑπάρχουν. Ἡ πιὸ δύσκολη στὴν παρατήρηση καὶ πρόβλεψη εἶναι ἡ χαοτικὴ κίνηση, μιὰ σύνθετη, μὴ περιοδικὴ κίνηση, ποὺ ἔχει δώσει καὶ τὸ ὄνομά της στὴ θεωρία.
Ἡ εὐαισθησία στὶς ἀρχικὲς συνθῆκες σημαίνει ὅτι δυὸ σημεῖα σὲ ἕνα τέτοιο σύστημα μποροῦν νὰ ἀκολουθήσουν ριζικὰ διαφορετικὲς τροχιὲς στὸν φασικὸ χῶρο, ἀκόμα καὶ ἂν ἡ διαφορὰ στὶς ἀρχικὲς συνθῆκες εἶναι ἐξαιρετικὰ μικρή.
Τὰ συστήματα συμπεριφέρονται μὲ τὸν ἴδιο τρόπο μόνο ὅταν ἡ ἀρχικὴ διαμόρφωση εἶναι ἀκριβῶς ἡ ἴδια. Οὐσιαστικά, αὐτὸ σημαίνει ὅτι χρειάζεται κανεὶς νὰ προσδιορίσει τὶς ἀρχικὲς συνθῆκες μὲ ἀπεριόριστη ἀκρίβεια, προκειμένου νὰ προβλέψει πὼς θὰ συμπεριφερθεῖ τὸ σύστημα πέρα ἀπὸ ἕναν περιορισμένο “χρονικὸ ὁρίζοντα”. Στὴν πράξη μποροῦμε νὰ προσδιορίσουμε τὶς ἀρχικὲς συνθῆκες μὲ περιορισμένη ἀκρίβεια μόνο.
Ἡ μελέτη τοῦ Χάους εἶναι μία νέα ἐπιστήμη καὶ ἀποτελεῖ τὴν βάση μελέτης κάθε ἐρευνητὴ στὴ Φυσική, τὴ Βιολογία (ἐξέλιξη τῶν πληθυσμῶν), τὰ Μαθηματικά, τὴν Οἰκονομία, τὴ Μετεωρολογία, τὴ Γεωλογία (κινήσεις τεκτονικῶν πλακῶν), τὴν Ἀστρονομία (τὸ ἡλιακὸ σύστημα) καὶ ἀλλοῦ.
Ἡ ἐπιστήμη τοῦ Χάους ἀποτελεῖ τὴν τρίτη μεγάλη ἐπανάσταση τοῦ 20ου αἰώνα, μετὰ ἀπ’ αὐτὴ τῆς κβαντομηχανικῆς καὶ τῆς σχετικότητας. Ἀποσκοπεῖ στὴν ἀποκατάσταση τῆς τάξης καὶ τῆς ἰσορροπίας στὴν σύγχρονη ζωὴ καὶ τὴ σκέψη τῶν ἀνθρώπων, ἀφοῦ ὑποτάξει μὲ τὴν γνώση τὶς ἀνεξέλεγκτες δυνάμεις τοῦ σύμπαντος.
Ἀπὸ μαθηματικὴ ἄποψη ἡ Θεωρία τοῦ Χάους μελετᾶ τὴ συμπεριφορὰ ὁρισμένων μὴ γραμμικῶν δυναμικῶν συστημάτων, τὰ ὁποία κάτω ἀπὸ ὁρισμένες συνθῆκες παρουσιάζουν χαοτικὴ συμπεριφορά. Χαρακτηρίζεται κυρίως ἀπὸ εὐαίσθητη ἐξάρτηση ἀπὸ τὶς ἀρχικὲς συνθῆκες – γνωστὴ καὶ ὦς φαινόμενο τῆς πεταλούδας – καὶ ἀκολούθως ἀπὸ μὴ περιοδικότητα. Ἡ εὐαισθησία αὐτὴ ἔχει ὦς ἀποτέλεσμα τὴν φαινομενικὴ τυχαιότητα τῆς παρατηρούμενης συμπεριφορᾶς τῶν συστημάτων, παρ’ ὅλο ποὺ τὰ συστήματα αὐτὰ εἶναι αἰτιοκρατικὰ (”ντετερμινιστικά”), μὲ τὴν ἔννοια ὅτι εἶναι καλῶς ὁρισμένοι οἱ νόμοι ἐξέλιξής τους καὶ δὲν περιέχουν τυχαῖες παραμέτρους.
Γνωρίζουμε σήμερα ὅτι εἶναι δυνατὸ νὰ ἔχουμε ἐξαιρετικὰ πολύπλοκη, δηλαδὴ χαοτική, κίνηση καὶ συνεπῶς μὴ προβλέψιμη, ἀκόμα καὶ σὲ ἁπλὰ δυναμικὰ συστήματα μὲ δυὸ βαθμοὺς ἐλευθερίας, ἐνῶ μέχρι τότε πιστεύονταν ὅτι ἄτακτη, ἀπρόβλεπτη, κίνηση ἔχουμε μόνο σὲ πολύπλοκα συστήματα, μὲ πολλοὺς βαθμοὺς ἐλευθερίας, ὄπως π.χ. στὴν κίνηση τῶν μορίων τοῦ ἀέρα σὲ ἕνα δωμάτιο
Στὰ συστήματα αὐτοῦ τοῦ εἴδους περιλαμβάνονται ἡ ἀτμόσφαιρα, τὸ ἡλιακὸ σύστημα, οἱ τεκτονικὲς πλάκες, τὰ οἰκονομικὰ συστήματα καὶ ἡ ἐξέλιξη (μεταβολή) τῶν πληθυσμῶν.
Οἱ ἀρχαῖοι Ἕλληνες φιλόσοφοι μὲ τὴν τότε ἀποκάλυψη τῆς ἔννοιας “Χάος” θέτουν στὸ σύγχρονο ἄνθρωπο τὸ τραγικὸ ἐρώτημα: Μήπως ὁ Θεὸς παίζει ζάρια, μήπως παίζει ἕνα βαθύτερο παιχνίδι ποῦ δὲν ἔχουμε ἀκόμη κατανοήσει; μήπως τελικὰ ὁ ἄνθρωπος εἶναι τὰ “ζάρια” στὰ χέρια ἑνὸς ἀκαταμάχητου “Θεού”;
Κάτι ποὺ ἀρνήθηκε ὁ Ἀϊνστάιν νὰ δεχθεῖ ὄπως τόνισε στὴν πολύκροτη ἐπιστολὴ τοῦ πρὸς τὸν Max Born γιὰ τὴν πιθανοκρατικὴ ἐξήγηση τοῦ Κβαντικοῦ Κόσμου.
Ὕστερα ἀπὸ χιλιάδες χρόνια ὁ ἄνθρωπος κατάλαβε ὅτι ἡ Φύση ὑπόκειται σὲ πολλοὺς κανόνες ἢ νόμους. Τὸν 18ο αἰώνα ἀνακαλύφθηκαν τόσοι νόμοι ποὺ οἱ ἐπιστήμονες πίστεψαν πὼς τὰ ἤξεραν πιὰ ὅλα, καὶ μποροῦσαν νὰ περιγράψουν ὅλα τὰ φαινόμενα μὲ ἀναλλοίωτους νόμους. Ἔτσι, τὸ Χάος τοῦ Ἡσίοδου ὑποχώρησε μπροστὰ σ’ ἕνα κόσμο ποὺ φαινόταν πὼς λειτουργοῦσε σὰν ὡρολογιακὸς μηχανισμός.
Πρὶν ἀπὸ δυὸ αἰῶνες περίπου ὁ Γάλλος μαθηματικὸς καὶ ἀστρονόμος Laplace ἔγραψε τὴν Ἀναλυτική του Θεωρία περὶ τῶν Πιθανοτήτων. Στὴν ἀφιέρωσή του πρὸς τὸν Ναπολέοντα ὁμολογοῦσε ὅτι μὲ τὸ ἔργο τοῦ ἐπιδιώκει νὰ δώσει ἀπάντηση περὶ τῶν πιὸ σημαντικῶν προβλημάτων τῆς ζωῆς, τὰ ὁποία, στὸ μεγαλύτερο μέρος τους, δὲν εἶναι παρὰ προβλήματα πιθανοτήτων. Μὲ τὸ ἔργο τοῦ αὐτὸ ὁ Laplace θεωρήθηκε ὦς ὁ κύριος ἐκφραστῆς τῆς αἰτιοκρατίας, ἢ ἀλλιῶς, τοῦ ντετερμινισμοῦ. Στὴν εἰσαγωγὴ τοῦ ἔργου τοῦ ὑποστηρίζει ὅτι πρέπει νὰ θεωρήσουμε τὴν παροῦσα κατάσταση τοῦ σύμπαντος ὦς τὸ ἀποτέλεσμα τοῦ παρελθόντος καὶ ταυτόχρονα ὦς τὴν αἰτία τοῦ μέλλοντος:
Ὁ κόσμος, ὅμως, συνέχισε τὴν ἐξέλιξή του καὶ μαζί του ἐξελίχτηκε καὶ ἡ ἄποψή μας γιὰ τὸ σύμπαν. Σήμερα ἀκόμα καὶ τὰ ρολόγια δὲν λειτουργοῦν πιὰ μὲ τὸν τετριμμένο “ὡρολογιακὸ” μηχανισμὸ — γιατί λοιπὸν θὰ ἔπρεπε νὰ λειτουργεῖ ἔτσι ὁ Κόσμος μας;
Μὲ τὴν ἐμφάνιση τῆς κβαντομηχανικῆς, ὁ ὡρολογιακὸς μηχανισμὸς τοῦ Κόσμου μετατράπηκε σὲ μία παγκόσμια ρουλέτα. Θεμελιώδη φαινόμενα, ὄπως ἡ διάσπαση ἑνὸς ραδιενεργοῦ πυρήνα, καθορίζονται ἀπὸ τυφλὴ τυχαιότητα καὶ ὄχι ἀπὸ αὐστηρὴ νομοτέλεια. Ἀλλά, παρὰ τὴ θεαματικὴ ἐπιτυχία ποὺ εἶχε ἡ κβαντομηχανική, τὰ πιθανολογικὰ τῆς χαρακτηριστικὰ δὲν ἔπεισαν τοὺς πάντες. Ἡ περίφημη ἀντίρρηση τοῦ Ἀϊνστάιν πρὸς τὸν Max Born ἀναφερόταν στὴν κβαντομηχανική, ἀλλὰ ἡ φιλοσοφία τοῦ προσέγγιζε ἐπίσης τὴ στάση μίας ὁλόκληρης ἐποχῆς ἀπέναντι στὴν κλασικὴ μηχανική, ὅπου ἡ ἀπροσδιοριστία τοῦ κβάντου δὲν ἰσχύει. Ἡ παρομοίωση τῶν ζαριῶν μὲ τὸ τυχαῖο ἀφορᾶ ὅλη τὴν ἐπιστὴμη.
Οἱ ἄνθρωποι ἴσως καὶ ἀπὸ τὴν ἴδια τὴν ὀργάνωση τοῦ ἐγκεφάλου τους ταυτίζουν τὸ χάος μὲ τὴν ἀταξία ἤ την ἀπουσία κάθε ὀργάνωσης. Εἶναι μία ἀρκετὰ διαδεδομένη ἀλλὰ ἐσφαλμένη ὄπως θὰ δοῦμε ἀντίληψη, ποὺ θεωρεῖ ὅτι οἱ χαοτικές καταστασεις δὲν ὑπόκεινται σὲ ἀκριβεῖς κανόνες ἢ νόμους, καὶ συνεπῶς διαφεύγουν ἀπὸ κάθε δυνατότητα πρόβλεψης ἤ ελεγχου.
Σήμερα μὲ τὸν ὄρο Χάος χαρακτηρίζεται ὁ κλάδος ποὺ ἀντικείμενο μελέτης τοῦ εἶναι κάποια ἐξαιρετικὰ πολύπλοκα συστήματα ποὺ ἡ ἐξέλιξή τους στὸ χρόνο ἐξαρτᾶται ἰσχυρὰ ἀπὸ τὶς ἀρχικὲς συνθῆκες ὑπὸ τὶς ὁποῖες ἀναλύεται.
Συγκεκριμένα, ἡ Θεωρία τοῦ Χάους μελετᾶ τὴ συμπεριφορὰ ὁρισμένων μὴ γραμμικῶν δυναμικῶν συστημάτων, τὰ ὁποία χαρακτηρίζονται κυρίως ἀπὸ μία εὐαίσθητη ἐξάρτηση ἀπὸ τὶς ἀρχικὲς συνθῆκες ἀλλὰ καὶ ἀπὸ μία μὴ περιοδικότητα. Ἡ εὐαισθησία αὐτὴ ἔχει ὦς ἀποτέλεσμα τὴν φαινομενικὴ τυχαιότητα τῆς παρατηρούμενης συμπεριφορᾶς τῶν συστημάτων, παρ’ ὅλο ποὺ τὰ συστήματα αὐτὰ εἶναι αἰτιοκρατικὰ ἢ ντετερμινιστικά”, μὲ τὴν ἔννοια ὅτι εἶναι καλῶς ὁρισμένοι οἱ νόμοι ἐξέλιξής τους καὶ δὲν περιέχουν τυχαῖες παραμέτρους.
Ἕνα μὴ γραμμικὸ δυναμικὸ σύστημα μπορεῖ, σὲ γενικὲς γραμμές, νὰ παρουσιάζει μία ἢ περισσότερες ἀπὸ τὶς παρακάτω συμπεριφορές:
- νὰ καταλήγει σὲ ἠρεμία (ἀκινησία)
- νὰ ἐπεκτείνεται συνεχῶς (μόνο γιὰ μὴ φραγμένα συστήματα) ἢ ὄπως λέγεται νὰ συμβαίνει μία “ἔκρηξη”
- νὰ ἐκτελεῖ περιοδικὴ κίνηση ἢ ἠμι-περιοδικὴ κίνηση
- νὰ ἐκτελεῖ χαοτικὴ κίνηση
Ἡ συμπεριφορὰ ποὺ ἕνα σύστημα μπορεῖ νὰ παρουσιάσει ἐξαρτᾶται ὄπως εἴπαμε ἀπὸ τὴν ἀρχική του κατάσταση καὶ τὶς τιμὲς τῶν παραμέτρων, ἂν ὑπάρχουν. Ἡ πιὸ δύσκολη στὴν παρατήρηση καὶ πρόβλεψη εἶναι ἡ χαοτικὴ κίνηση, μιὰ σύνθετη, μὴ περιοδικὴ κίνηση, ποὺ ἔχει δώσει καὶ τὸ ὄνομά της στὴ θεωρία.
Ἡ εὐαισθησία στὶς ἀρχικὲς συνθῆκες σημαίνει ὅτι δυὸ σημεῖα σὲ ἕνα τέτοιο σύστημα μποροῦν νὰ ἀκολουθήσουν ριζικὰ διαφορετικὲς τροχιὲς στὸν φασικὸ χῶρο, ἀκόμα καὶ ἂν ἡ διαφορὰ στὶς ἀρχικὲς συνθῆκες εἶναι ἐξαιρετικὰ μικρή.
Τὰ συστήματα συμπεριφέρονται μὲ τὸν ἴδιο τρόπο μόνο ὅταν ἡ ἀρχικὴ διαμόρφωση εἶναι ἀκριβῶς ἡ ἴδια. Οὐσιαστικά, αὐτὸ σημαίνει ὅτι χρειάζεται κανεὶς νὰ προσδιορίσει τὶς ἀρχικὲς συνθῆκες μὲ ἀπεριόριστη ἀκρίβεια, προκειμένου νὰ προβλέψει πὼς θὰ συμπεριφερθεῖ τὸ σύστημα πέρα ἀπὸ ἕναν περιορισμένο “χρονικὸ ὁρίζοντα”. Στὴν πράξη μποροῦμε νὰ προσδιορίσουμε τὶς ἀρχικὲς συνθῆκες μὲ περιορισμένη ἀκρίβεια μόνο.
Ἡ μελέτη τοῦ Χάους εἶναι μία νέα ἐπιστήμη καὶ ἀποτελεῖ τὴν βάση μελέτης κάθε ἐρευνητὴ στὴ Φυσική, τὴ Βιολογία (ἐξέλιξη τῶν πληθυσμῶν), τὰ Μαθηματικά, τὴν Οἰκονομία, τὴ Μετεωρολογία, τὴ Γεωλογία (κινήσεις τεκτονικῶν πλακῶν), τὴν Ἀστρονομία (τὸ ἡλιακὸ σύστημα) καὶ ἀλλοῦ.
Ἡ ἐπιστήμη τοῦ Χάους ἀποτελεῖ τὴν τρίτη μεγάλη ἐπανάσταση τοῦ 20ου αἰώνα, μετὰ ἀπ’ αὐτὴ τῆς κβαντομηχανικῆς καὶ τῆς σχετικότητας. Ἀποσκοπεῖ στὴν ἀποκατάσταση τῆς τάξης καὶ τῆς ἰσορροπίας στὴν σύγχρονη ζωὴ καὶ τὴ σκέψη τῶν ἀνθρώπων, ἀφοῦ ὑποτάξει μὲ τὴν γνώση τὶς ἀνεξέλεγκτες δυνάμεις τοῦ σύμπαντος.
Ἀπὸ μαθηματικὴ ἄποψη ἡ Θεωρία τοῦ Χάους μελετᾶ τὴ συμπεριφορὰ ὁρισμένων μὴ γραμμικῶν δυναμικῶν συστημάτων, τὰ ὁποία κάτω ἀπὸ ὁρισμένες συνθῆκες παρουσιάζουν χαοτικὴ συμπεριφορά. Χαρακτηρίζεται κυρίως ἀπὸ εὐαίσθητη ἐξάρτηση ἀπὸ τὶς ἀρχικὲς συνθῆκες – γνωστὴ καὶ ὦς φαινόμενο τῆς πεταλούδας – καὶ ἀκολούθως ἀπὸ μὴ περιοδικότητα. Ἡ εὐαισθησία αὐτὴ ἔχει ὦς ἀποτέλεσμα τὴν φαινομενικὴ τυχαιότητα τῆς παρατηρούμενης συμπεριφορᾶς τῶν συστημάτων, παρ’ ὅλο ποὺ τὰ συστήματα αὐτὰ εἶναι αἰτιοκρατικὰ (”ντετερμινιστικά”), μὲ τὴν ἔννοια ὅτι εἶναι καλῶς ὁρισμένοι οἱ νόμοι ἐξέλιξής τους καὶ δὲν περιέχουν τυχαῖες παραμέτρους.
Γνωρίζουμε σήμερα ὅτι εἶναι δυνατὸ νὰ ἔχουμε ἐξαιρετικὰ πολύπλοκη, δηλαδὴ χαοτική, κίνηση καὶ συνεπῶς μὴ προβλέψιμη, ἀκόμα καὶ σὲ ἁπλὰ δυναμικὰ συστήματα μὲ δυὸ βαθμοὺς ἐλευθερίας, ἐνῶ μέχρι τότε πιστεύονταν ὅτι ἄτακτη, ἀπρόβλεπτη, κίνηση ἔχουμε μόνο σὲ πολύπλοκα συστήματα, μὲ πολλοὺς βαθμοὺς ἐλευθερίας, ὄπως π.χ. στὴν κίνηση τῶν μορίων τοῦ ἀέρα σὲ ἕνα δωμάτιο
Στὰ συστήματα αὐτοῦ τοῦ εἴδους περιλαμβάνονται ἡ ἀτμόσφαιρα, τὸ ἡλιακὸ σύστημα, οἱ τεκτονικὲς πλάκες, τὰ οἰκονομικὰ συστήματα καὶ ἡ ἐξέλιξη (μεταβολή) τῶν πληθυσμῶν.
Οἱ ἀρχαῖοι Ἕλληνες φιλόσοφοι μὲ τὴν τότε ἀποκάλυψη τῆς ἔννοιας “Χάος” θέτουν στὸ σύγχρονο ἄνθρωπο τὸ τραγικὸ ἐρώτημα: Μήπως ὁ Θεὸς παίζει ζάρια, μήπως παίζει ἕνα βαθύτερο παιχνίδι ποῦ δὲν ἔχουμε ἀκόμη κατανοήσει; μήπως τελικὰ ὁ ἄνθρωπος εἶναι τὰ “ζάρια” στὰ χέρια ἑνὸς ἀκαταμάχητου “Θεού”;
Κάτι ποὺ ἀρνήθηκε ὁ Ἀϊνστάιν νὰ δεχθεῖ ὄπως τόνισε στὴν πολύκροτη ἐπιστολὴ τοῦ πρὸς τὸν Max Born γιὰ τὴν πιθανοκρατικὴ ἐξήγηση τοῦ Κβαντικοῦ Κόσμου.
Ὕστερα ἀπὸ χιλιάδες χρόνια ὁ ἄνθρωπος κατάλαβε ὅτι ἡ Φύση ὑπόκειται σὲ πολλοὺς κανόνες ἢ νόμους. Τὸν 18ο αἰώνα ἀνακαλύφθηκαν τόσοι νόμοι ποὺ οἱ ἐπιστήμονες πίστεψαν πὼς τὰ ἤξεραν πιὰ ὅλα, καὶ μποροῦσαν νὰ περιγράψουν ὅλα τὰ φαινόμενα μὲ ἀναλλοίωτους νόμους. Ἔτσι, τὸ Χάος τοῦ Ἡσίοδου ὑποχώρησε μπροστὰ σ’ ἕνα κόσμο ποὺ φαινόταν πὼς λειτουργοῦσε σὰν ὡρολογιακὸς μηχανισμός.
Πρὶν ἀπὸ δυὸ αἰῶνες περίπου ὁ Γάλλος μαθηματικὸς καὶ ἀστρονόμος Laplace ἔγραψε τὴν Ἀναλυτική του Θεωρία περὶ τῶν Πιθανοτήτων. Στὴν ἀφιέρωσή του πρὸς τὸν Ναπολέοντα ὁμολογοῦσε ὅτι μὲ τὸ ἔργο τοῦ ἐπιδιώκει νὰ δώσει ἀπάντηση περὶ τῶν πιὸ σημαντικῶν προβλημάτων τῆς ζωῆς, τὰ ὁποία, στὸ μεγαλύτερο μέρος τους, δὲν εἶναι παρὰ προβλήματα πιθανοτήτων. Μὲ τὸ ἔργο τοῦ αὐτὸ ὁ Laplace θεωρήθηκε ὦς ὁ κύριος ἐκφραστῆς τῆς αἰτιοκρατίας, ἢ ἀλλιῶς, τοῦ ντετερμινισμοῦ. Στὴν εἰσαγωγὴ τοῦ ἔργου τοῦ ὑποστηρίζει ὅτι πρέπει νὰ θεωρήσουμε τὴν παροῦσα κατάσταση τοῦ σύμπαντος ὦς τὸ ἀποτέλεσμα τοῦ παρελθόντος καὶ ταυτόχρονα ὦς τὴν αἰτία τοῦ μέλλοντος:
Ὁ κόσμος, ὅμως, συνέχισε τὴν ἐξέλιξή του καὶ μαζί του ἐξελίχτηκε καὶ ἡ ἄποψή μας γιὰ τὸ σύμπαν. Σήμερα ἀκόμα καὶ τὰ ρολόγια δὲν λειτουργοῦν πιὰ μὲ τὸν τετριμμένο “ὡρολογιακὸ” μηχανισμὸ — γιατί λοιπὸν θὰ ἔπρεπε νὰ λειτουργεῖ ἔτσι ὁ Κόσμος μας;
Μὲ τὴν ἐμφάνιση τῆς κβαντομηχανικῆς, ὁ ὡρολογιακὸς μηχανισμὸς τοῦ Κόσμου μετατράπηκε σὲ μία παγκόσμια ρουλέτα. Θεμελιώδη φαινόμενα, ὄπως ἡ διάσπαση ἑνὸς ραδιενεργοῦ πυρήνα, καθορίζονται ἀπὸ τυφλὴ τυχαιότητα καὶ ὄχι ἀπὸ αὐστηρὴ νομοτέλεια. Ἀλλά, παρὰ τὴ θεαματικὴ ἐπιτυχία ποὺ εἶχε ἡ κβαντομηχανική, τὰ πιθανολογικὰ τῆς χαρακτηριστικὰ δὲν ἔπεισαν τοὺς πάντες. Ἡ περίφημη ἀντίρρηση τοῦ Ἀϊνστάιν πρὸς τὸν Max Born ἀναφερόταν στὴν κβαντομηχανική, ἀλλὰ ἡ φιλοσοφία τοῦ προσέγγιζε ἐπίσης τὴ στάση μίας ὁλόκληρης ἐποχῆς ἀπέναντι στὴν κλασικὴ μηχανική, ὅπου ἡ ἀπροσδιοριστία τοῦ κβάντου δὲν ἰσχύει. Ἡ παρομοίωση τῶν ζαριῶν μὲ τὸ τυχαῖο ἀφορᾶ ὅλη τὴν ἐπιστὴμη.
"Αἰὲν ἀριστεύειν καὶ ὑπείροχον ἔμμεναι ἄλλων, μηδὲ γένος πατέρων αἰσχυνέμεν»..
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
Μήπως ὅμως ἀφήνει χῶρο τὸ νομοτελειακὸ καὶ γιὰ τὸ τυχαῖο;
Σήμερα ξέρουμε ὅτι ὁ κόσμος τῆς κλασικῆς μηχανικῆς εἶναι ἀσφαλῶς πιὸ μυστηριώδης ἀπ’ ὅσο φανταζόταν κι ὁ ἴδιος ὁ Ἀϊνστάιν. Ἡ διάσταση ποὺ προσπαθοῦσε νὰ τονίσει ἀνάμεσα στὴν ἀπροσδιοριστία τοῦ τυχαίου καὶ στὴν ἀπόλυτη βεβαιότητα τοῦ νόμου, ἔχει τεθεῖ ὑπὸ ἀμφισβήτηση. Ἴσως ὁ Θεὸς παίζοντας ζάρια, δημιουργεῖ μὲ τὴν ἴδια κίνηση ἕνα σύμπαν πλήρους νομοτέλειας καὶ τάξης.
Ὁ κύκλος ὁλοκλήρωσε τὴν περίοδό του, ἀλλὰ σ’ ἕνα ὑψηλότερο ἐπίπεδο. Ἀρχίζουμε ν’ ἀνακαλύπτουμε ὅτι συστήματα ποὺ ὑπακούουν σὲ σταθεροὺς καὶ ἀκριβεῖς νόμους δὲν δροῦν πάντα μὲ κανονικὸ τρόπο, ποὺ μπορεῖ νὰ προβλεφθεῖ. Ἁπλοὶ νόμοι μπορεῖ νὰ μὴν ὁδηγοῦν σὲ ἁπλὴ συμπεριφορά. Ντετερμινιστικοὶ νόμοι μποροῦν καὶ παράγουν συμπεριφορὰ ποὺ νὰ μοιάζει τυχαῖα. Ἡ τάξη μπορεῖ νὰ γεννᾶ ἕνα δικό της εἶδος χάους. Τὸ ἐρώτημα δὲν εἶναι τόσο ἂν πράγματι ὁ Θεὸς ρίχνει τὰ ζάρια, ἀλλὰ τὸ πὼς τὰ ρίχνει.
Αὐτὴ εἶναι μία δραματικὴ ἀνακάλυψη, οἱ συνέπειες τῆς ὁποίας δὲν ἔχουν ἀκόμη δώσει τὴν πληρότητα τῆς πρόκλησης στὴν ἐπιστημονική μας σκέψη. Οἱ ἔννοιες τῆς πρόβλεψης, ἢ ἑνὸς πειράματος ποὺ ἐπαναλαμβάνεται κανονικά, ἀποκτοῦν νέα ὄψη ὅταν τὰ κοιτάξουμε μὲ τὰ μάτια τοῦ χάους. Αὐτὸ ποὺ νομίζαμε ἁπλό, γίνεται περίπλοκο καὶ νέα ἐνοχλητικὰ ἐρωτήματα προβάλλουν ὅσον ἀφορᾶ τὴ μέτρηση, τὴν προβλεψιμότητα καὶ τὴν ἐπαλήθευση ἢ τὴ διάψευση θεωριῶν.
Σὰν ἀντιστάθμισμα, αὐτὸ ποὺ θεωρήθηκε κάποτε περίπλοκο μπορεῖ νὰ καταστεῖ ἁπλό. Φαινόμενα ποὺ μοιάζουν τυχαῖα καὶ χωρὶς δομή, μπορεῖ τελικὰ νὰ ὑπακούουν σὲ ἁπλοὺς νόμους. Τὸ ντετερμινιστικὸ χάος ἔχει κι αὐτὸ τοὺς δικούς του νόμους καὶ ἐμπνέει νέες τεχνικὲς πειραματισμοῦ. Ὑπάρχει πλῆθος ἀταξιῶν στὴ φύση, ὁρισμένες ἀπὸ τὶς ὁποῖες μπορεῖ ν’ ἀποδειχθοῦν φυσιολογικὲς ἐκδηλώσεις τῶν μαθηματικῶν τοῦ χάους. Ἡ στροβιλώδης ροὴ τῶν ρευστῶν, οἱ ἀναστροφὲς στὸ μαγνητικὸ πεδίο τῆς Γῆς, οἱ ἀρρυθμίες τῶν χτύπων τῆς καρδιᾶς, ὁ τρόπος μεταφορᾶς θερμότητας ἀπὸ τὸ ὑγρὸ ἥλιον, ἡ μπερδεμένη διάταξη τῶν οὐράνιων σωμάτων, τὰ κενὰ στὴ ζώνη τῶν ἀστεροειδῶν, ἡ αὔξηση τοῦ πληθυσμοῦ τῶν ἐντόμων, οἱ σταγόνες ποὺ πέφτουν ἀπὸ μία βρύση, ἡ διαδικασία μίας χημικῆς ἀντίδρασης, ὁ μεταβολισμὸς τῶν κυττάρων, οἱ μεταβολὲς τοῦ καιροῦ, ἡ μετάδοση τῶν νευρικῶν διεγέρσεων, οἱ ταλαντώσεις τῶν ἠλεκτρονικῶν κυκλωμάτων, ἡ κίνηση ἑνὸς ἀγκυροβολημένου πλοίου, ἡ ἀναπήδηση καὶ ἡ ἀνάκλαση μίας μπάλας μπιλιάρδου, οἱ συγκρούσεις μεταξὺ τῶν ἀτόμων σ’ ἕνα ἀέριο, τὸ ὑπόβαθρο ἀβεβαιότητας τῆς κβαντομηχανικῆς — νὰ μερικὰ μόνο ἀπὸ τά, προβλήματα στὰ ὁποῖα ἔχουν ἐφαρμοστεῖ τὰ μαθηματικὰ τοῦ χάους.
Τὸ χάος εἶναι ἕνας ὁλότελα καινούργιος κόσμος, ἕνα νέο εἶδος μαθηματικῶν, μιὰ θεμελιώδης καινοτομία στὴν κατανόηση τῆς ἀταξίας στὴ φύση. Κι ἐμεῖς εἴμαστε μάρτυρες στὴ γέννηση αὐτῆς τῆς ἐπιστήμης. Ἡ ὁποία ἔχει μεγάλο μέλλον μπροστά της.
Σήμερα ξέρουμε ὅτι ὁ κόσμος τῆς κλασικῆς μηχανικῆς εἶναι ἀσφαλῶς πιὸ μυστηριώδης ἀπ’ ὅσο φανταζόταν κι ὁ ἴδιος ὁ Ἀϊνστάιν. Ἡ διάσταση ποὺ προσπαθοῦσε νὰ τονίσει ἀνάμεσα στὴν ἀπροσδιοριστία τοῦ τυχαίου καὶ στὴν ἀπόλυτη βεβαιότητα τοῦ νόμου, ἔχει τεθεῖ ὑπὸ ἀμφισβήτηση. Ἴσως ὁ Θεὸς παίζοντας ζάρια, δημιουργεῖ μὲ τὴν ἴδια κίνηση ἕνα σύμπαν πλήρους νομοτέλειας καὶ τάξης.
Ὁ κύκλος ὁλοκλήρωσε τὴν περίοδό του, ἀλλὰ σ’ ἕνα ὑψηλότερο ἐπίπεδο. Ἀρχίζουμε ν’ ἀνακαλύπτουμε ὅτι συστήματα ποὺ ὑπακούουν σὲ σταθεροὺς καὶ ἀκριβεῖς νόμους δὲν δροῦν πάντα μὲ κανονικὸ τρόπο, ποὺ μπορεῖ νὰ προβλεφθεῖ. Ἁπλοὶ νόμοι μπορεῖ νὰ μὴν ὁδηγοῦν σὲ ἁπλὴ συμπεριφορά. Ντετερμινιστικοὶ νόμοι μποροῦν καὶ παράγουν συμπεριφορὰ ποὺ νὰ μοιάζει τυχαῖα. Ἡ τάξη μπορεῖ νὰ γεννᾶ ἕνα δικό της εἶδος χάους. Τὸ ἐρώτημα δὲν εἶναι τόσο ἂν πράγματι ὁ Θεὸς ρίχνει τὰ ζάρια, ἀλλὰ τὸ πὼς τὰ ρίχνει.
Αὐτὴ εἶναι μία δραματικὴ ἀνακάλυψη, οἱ συνέπειες τῆς ὁποίας δὲν ἔχουν ἀκόμη δώσει τὴν πληρότητα τῆς πρόκλησης στὴν ἐπιστημονική μας σκέψη. Οἱ ἔννοιες τῆς πρόβλεψης, ἢ ἑνὸς πειράματος ποὺ ἐπαναλαμβάνεται κανονικά, ἀποκτοῦν νέα ὄψη ὅταν τὰ κοιτάξουμε μὲ τὰ μάτια τοῦ χάους. Αὐτὸ ποὺ νομίζαμε ἁπλό, γίνεται περίπλοκο καὶ νέα ἐνοχλητικὰ ἐρωτήματα προβάλλουν ὅσον ἀφορᾶ τὴ μέτρηση, τὴν προβλεψιμότητα καὶ τὴν ἐπαλήθευση ἢ τὴ διάψευση θεωριῶν.
Σὰν ἀντιστάθμισμα, αὐτὸ ποὺ θεωρήθηκε κάποτε περίπλοκο μπορεῖ νὰ καταστεῖ ἁπλό. Φαινόμενα ποὺ μοιάζουν τυχαῖα καὶ χωρὶς δομή, μπορεῖ τελικὰ νὰ ὑπακούουν σὲ ἁπλοὺς νόμους. Τὸ ντετερμινιστικὸ χάος ἔχει κι αὐτὸ τοὺς δικούς του νόμους καὶ ἐμπνέει νέες τεχνικὲς πειραματισμοῦ. Ὑπάρχει πλῆθος ἀταξιῶν στὴ φύση, ὁρισμένες ἀπὸ τὶς ὁποῖες μπορεῖ ν’ ἀποδειχθοῦν φυσιολογικὲς ἐκδηλώσεις τῶν μαθηματικῶν τοῦ χάους. Ἡ στροβιλώδης ροὴ τῶν ρευστῶν, οἱ ἀναστροφὲς στὸ μαγνητικὸ πεδίο τῆς Γῆς, οἱ ἀρρυθμίες τῶν χτύπων τῆς καρδιᾶς, ὁ τρόπος μεταφορᾶς θερμότητας ἀπὸ τὸ ὑγρὸ ἥλιον, ἡ μπερδεμένη διάταξη τῶν οὐράνιων σωμάτων, τὰ κενὰ στὴ ζώνη τῶν ἀστεροειδῶν, ἡ αὔξηση τοῦ πληθυσμοῦ τῶν ἐντόμων, οἱ σταγόνες ποὺ πέφτουν ἀπὸ μία βρύση, ἡ διαδικασία μίας χημικῆς ἀντίδρασης, ὁ μεταβολισμὸς τῶν κυττάρων, οἱ μεταβολὲς τοῦ καιροῦ, ἡ μετάδοση τῶν νευρικῶν διεγέρσεων, οἱ ταλαντώσεις τῶν ἠλεκτρονικῶν κυκλωμάτων, ἡ κίνηση ἑνὸς ἀγκυροβολημένου πλοίου, ἡ ἀναπήδηση καὶ ἡ ἀνάκλαση μίας μπάλας μπιλιάρδου, οἱ συγκρούσεις μεταξὺ τῶν ἀτόμων σ’ ἕνα ἀέριο, τὸ ὑπόβαθρο ἀβεβαιότητας τῆς κβαντομηχανικῆς — νὰ μερικὰ μόνο ἀπὸ τά, προβλήματα στὰ ὁποῖα ἔχουν ἐφαρμοστεῖ τὰ μαθηματικὰ τοῦ χάους.
Τὸ χάος εἶναι ἕνας ὁλότελα καινούργιος κόσμος, ἕνα νέο εἶδος μαθηματικῶν, μιὰ θεμελιώδης καινοτομία στὴν κατανόηση τῆς ἀταξίας στὴ φύση. Κι ἐμεῖς εἴμαστε μάρτυρες στὴ γέννηση αὐτῆς τῆς ἐπιστήμης. Ἡ ὁποία ἔχει μεγάλο μέλλον μπροστά της.
"Αἰὲν ἀριστεύειν καὶ ὑπείροχον ἔμμεναι ἄλλων, μηδὲ γένος πατέρων αἰσχυνέμεν»..
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
Ἀναδύεται ἡ Τάξη μέσα ἀπὸ τοὺς Νόμους τοῦ Νεύτωνα
Ὁ Ἰσαὰκ Νεύτωνα πρὶν 300 τόσα χρόνια ἔγραψε τὸ “Οἱ Μαθηματικὲς Ἀρχὲς τῆς Φυσικῆς Φιλοσοφίας”. Τὸ μήνυμα τοῦ βιβλίου τοῦ εἶναι ὅτι ἡ Φύση ἔχει νόμους. Καὶ τοὺς νόμους αὐτοὺς μποροῦμε νὰ τοὺς ἀνακαλύψουμε.
Γιὰ περισσότερο ἀπὸ δυὸ αἰῶνες οἱ νόμοι τοῦ Νεύτωνα κυριαρχοῦσαν ὦς ἡ ἀπόλυτη περιγραφὴ τῆς φύσης. Μόνο στὴ μικροσκοπικὴ περιοχὴ τοῦ ἀτόμου καὶ στὴν τεράστια ἔκταση τοῦ διαστρικοῦ χώρου ἔχουν γίνει γνωστὲς κάποιες διαφορὲς ἀνάμεσα στὴ Φύση σύμφωνα μὲ τὸ Νεύτωνα καὶ στὴ φύση τῆς Φύσης, Σ’ αὐτὲς τὶς περιοχὲς ἡ θεωρία τοῦ Νεύτωνα ἔχει τώρα ἀντικατασταθεῖ ἀπὸ τὴν κβαντομηχανικὴ καὶ τὴ θεωρία τῆς σχετικότητας.
Ἡ ἐπανάσταση στὴν ἐπιστημονικὴ σκέψη ποὺ κορυφώθηκε μὲ τὸ Νεύτωνα, ὁδήγησε στὴ θεώρηση τοῦ σύμπαντος ὦς ἑνὸς γιγαντιαίου μηχανισμοῦ ποὺ λειτουργεῖ “σᾶ ρολόι”, μιὰ μεταφορικὴ φράση ποὺ χρησιμοποιοῦμε γιὰ νὰ ἀποδώσουμε τὴ μέγιστη ἀξιοπιστία καὶ τὴ μηχανικὴ τελειότητα — ἂν καὶ εἶναι πιὰ κάπως ἄστοχη στὴ σημερινὴ ἐποχὴ τῶν ψηφιακῶν ρολογιῶν.
Σὲ μία τέτοια θεώρηση, ἡ λειτουργία μίας τέτοιας Μηχανῆς εἶναι πέρα γιὰ πέρα προβλέψιμη. Κάτω ἀπὸ ταυτόσημες συνθῆκες κάνει ταυτόσημα πράγματα. Ἕνας μηχανικὸς ποὺ γνωρίζει τὰ χαρακτηριστικὰ μίας μηχανῆς καὶ τὴν κατάστασή της σὲ κάθε στιγμή, μπορεῖ, θεωρητικά, νὰ ὑπολογίζει τὴ μελλοντική της λειτουργία.
Μολονότι παρουσιάζονται διάφορες δυσκολίες κατὰ τὴν ἐπίλυση τῶν διαφορικῶν ἐξισώσεων στὴν κίνηση τῶν σωμάτων, μποροῦν νὰ καθιερωθοῦν ὁρισμένες γενικὲς ἀρχές. Ἡ ἀρχὴ – κλειδὶ εἶναι ὅτι ἡ λύση τῶν ἐξισώσεων ποὺ περιγράφουν τὴν κίνηση ἑνὸς δυναμικοῦ συστήματος εἶναι μοναδικὴ ἂν οἱ ἀρχικὲς θέσεις καὶ ταχύτητες ὅλων τῶν συστατικῶν του συστήματος εἶναι γνωστές. Γιὰ παράδειγμα: ἂν σὲ κάποια δεδομένη στιγμὴ γνωρίζουμε τὶς θέσεις καὶ τὶς ταχύτητες κάθε ὑλικοῦ σωματιδίου στὸ Ἡλιακὸ Σύστημα, τότε μποροῦμε νὰ προσδιορίσουμε μὲ μοναδικὸ τρόπο ὅλες τὶς ἐπακόλουθες κινήσεις αὐτῶν τῶν σωματιδίων.
Αὐτὴ ἡ πρόταση δέχεται, χάριν ἁπλότητας, ὅτι δὲν ὑπάρχουν ἐξωτερικὲς ἐπιδράσεις πάνω στὴν κίνηση. Ἂν ὑπολογίζαμε καὶ αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις, θὰ ὁδηγούμασταν στὸ συμπέρασμα ὅτι οἱ θέσεις καὶ οἱ ταχύτητες ὅλων τῶν ὑλικῶν σωματιδίων ποὺ ὑπάρχουν σ’ ὁλόκληρο τὸ σύμπαν, δεδομένες σὲ μία ὁρισμένη χρονικὴ στιγμή, καθορίζουν ἀπόλυτα τὴ μελλοντική του ἐξέλιξη. Τὸ σύμπαν ἀκολουθεῖ μία μοναδική, προκαθορισμένη πορεία. Μπορεῖ νὰ κάνει ἕνα μόνο πράγμα.
Ὄπως εὔγλωττα ἀναφέρει ὁ (Pierre Simon de Laplace ἢ Λαπλᾶς, ἕνας ἀπὸ τοὺς κορυφαίους μαθηματικοὺς τοῦ 18ου αἰώνα, στὸ βιβλίο τοῦ Φιλοσοφικὰ Δοκίμια ἐπὶ τῶν πιθανοτήτων:
Ἂν ὑπῆρχε μία Νόηση ποὺ νὰ γνώριζε σὲ κάθε στιγμὴ ὅλες τὶς δυνάμεις ποὺ δίνουν κίνηση στὴ Φύση καὶ τὶς σχετικὲς θέσεις ὅλων τῶν πραγμάτων ποὺ ὑπάρχουν σ’ αὐτή, κι ἂν αὐτὴ ἡ Νόηση Ἲ ἦταν τέτοια ὥστε νὰ κατορθώσει ν’ ἀναλύσει τὰ δεδομένα, θὰ μποροῦσε νὰ συνοψίσει σ’ ἕνα μοναδικὸ τύπο τὴν κίνηση τῶν μεγαλύτερων σωμάτων τοῦ σύμπαντος μαζὶ μ’ αὐτὴ τῶν ἐλαφρύτερων ἀτόμων: γιὰ μία τέτοια Νόηση τίποτα δὲν θὰ ἦταν ἀβέβαιο. Καὶ τὸ μέλλον, ὄπως ἐπίσης καὶ τὸ παρελθόν, θὰ γινόταν παρὸν μπροστὰ στὰ μάτια της.
Αὐτὴ εἶναι μᾶλλον μιὰ τοποθέτηση ποὺ προκαλεῖ δέος καθὼς προκύπτει ἀπὸ ἕνα ἁπλὸ θεώρημα μοναδικότητας στὰ μαθηματικά. Μερικὰ ὅμως ἀπὸ τὰ παραπάνω εἶναι ὄπως ξέρουμε σήμερα πραγματικὰ ὑπερβολικὰ καὶ δὲν ἰσχύουν. Γιὰ τὴν ὥρα, ἃς δεχτοῦμε ὅτι αὐτὴ ἡ ἑρμηνεία γιὰ τὸν κόσμο εὐσταθεῖ. Ἡ θέση τοῦ Λαπλᾶς εἶχε τέτοια ἐπιρροὴ στὴν ἐπιστήμη ποὺ ἐφαρμοζόταν σὲ ὅλα τὰ φαινόμενα — μηχανική, θερμότητα, κύματα, ἦχος, φῶς, μαγνητισμός, ἠλεκτρισμός. Θὰ πρέπει νὰ φαινόταν σὰν ἡ μεγάλη διείσδυση στὴν ἔσχατη ἀλήθεια. Καὶ πέτυχε. Τὸ πρότυπό του κλασικοῦ ντετερμινισμοῦ εἶχε γεννηθεῖ: ἂν οἱ ἐξισώσεις προδιαγράφουν τὴν ἐξέλιξη τοῦ συστήματος μὲ τρόπο μοναδικό, χωρὶς τυχαῖες ἐξωτερικὲς ἐπιδράσεις, τότε ἡ συμπεριφορὰ τοῦ συστήματος εἶναι προκαθορισμένη.
Ὁ Ἰσαὰκ Νεύτωνα πρὶν 300 τόσα χρόνια ἔγραψε τὸ “Οἱ Μαθηματικὲς Ἀρχὲς τῆς Φυσικῆς Φιλοσοφίας”. Τὸ μήνυμα τοῦ βιβλίου τοῦ εἶναι ὅτι ἡ Φύση ἔχει νόμους. Καὶ τοὺς νόμους αὐτοὺς μποροῦμε νὰ τοὺς ἀνακαλύψουμε.
Γιὰ περισσότερο ἀπὸ δυὸ αἰῶνες οἱ νόμοι τοῦ Νεύτωνα κυριαρχοῦσαν ὦς ἡ ἀπόλυτη περιγραφὴ τῆς φύσης. Μόνο στὴ μικροσκοπικὴ περιοχὴ τοῦ ἀτόμου καὶ στὴν τεράστια ἔκταση τοῦ διαστρικοῦ χώρου ἔχουν γίνει γνωστὲς κάποιες διαφορὲς ἀνάμεσα στὴ Φύση σύμφωνα μὲ τὸ Νεύτωνα καὶ στὴ φύση τῆς Φύσης, Σ’ αὐτὲς τὶς περιοχὲς ἡ θεωρία τοῦ Νεύτωνα ἔχει τώρα ἀντικατασταθεῖ ἀπὸ τὴν κβαντομηχανικὴ καὶ τὴ θεωρία τῆς σχετικότητας.
Ἡ ἐπανάσταση στὴν ἐπιστημονικὴ σκέψη ποὺ κορυφώθηκε μὲ τὸ Νεύτωνα, ὁδήγησε στὴ θεώρηση τοῦ σύμπαντος ὦς ἑνὸς γιγαντιαίου μηχανισμοῦ ποὺ λειτουργεῖ “σᾶ ρολόι”, μιὰ μεταφορικὴ φράση ποὺ χρησιμοποιοῦμε γιὰ νὰ ἀποδώσουμε τὴ μέγιστη ἀξιοπιστία καὶ τὴ μηχανικὴ τελειότητα — ἂν καὶ εἶναι πιὰ κάπως ἄστοχη στὴ σημερινὴ ἐποχὴ τῶν ψηφιακῶν ρολογιῶν.
Σὲ μία τέτοια θεώρηση, ἡ λειτουργία μίας τέτοιας Μηχανῆς εἶναι πέρα γιὰ πέρα προβλέψιμη. Κάτω ἀπὸ ταυτόσημες συνθῆκες κάνει ταυτόσημα πράγματα. Ἕνας μηχανικὸς ποὺ γνωρίζει τὰ χαρακτηριστικὰ μίας μηχανῆς καὶ τὴν κατάστασή της σὲ κάθε στιγμή, μπορεῖ, θεωρητικά, νὰ ὑπολογίζει τὴ μελλοντική της λειτουργία.
Μολονότι παρουσιάζονται διάφορες δυσκολίες κατὰ τὴν ἐπίλυση τῶν διαφορικῶν ἐξισώσεων στὴν κίνηση τῶν σωμάτων, μποροῦν νὰ καθιερωθοῦν ὁρισμένες γενικὲς ἀρχές. Ἡ ἀρχὴ – κλειδὶ εἶναι ὅτι ἡ λύση τῶν ἐξισώσεων ποὺ περιγράφουν τὴν κίνηση ἑνὸς δυναμικοῦ συστήματος εἶναι μοναδικὴ ἂν οἱ ἀρχικὲς θέσεις καὶ ταχύτητες ὅλων τῶν συστατικῶν του συστήματος εἶναι γνωστές. Γιὰ παράδειγμα: ἂν σὲ κάποια δεδομένη στιγμὴ γνωρίζουμε τὶς θέσεις καὶ τὶς ταχύτητες κάθε ὑλικοῦ σωματιδίου στὸ Ἡλιακὸ Σύστημα, τότε μποροῦμε νὰ προσδιορίσουμε μὲ μοναδικὸ τρόπο ὅλες τὶς ἐπακόλουθες κινήσεις αὐτῶν τῶν σωματιδίων.
Αὐτὴ ἡ πρόταση δέχεται, χάριν ἁπλότητας, ὅτι δὲν ὑπάρχουν ἐξωτερικὲς ἐπιδράσεις πάνω στὴν κίνηση. Ἂν ὑπολογίζαμε καὶ αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις, θὰ ὁδηγούμασταν στὸ συμπέρασμα ὅτι οἱ θέσεις καὶ οἱ ταχύτητες ὅλων τῶν ὑλικῶν σωματιδίων ποὺ ὑπάρχουν σ’ ὁλόκληρο τὸ σύμπαν, δεδομένες σὲ μία ὁρισμένη χρονικὴ στιγμή, καθορίζουν ἀπόλυτα τὴ μελλοντική του ἐξέλιξη. Τὸ σύμπαν ἀκολουθεῖ μία μοναδική, προκαθορισμένη πορεία. Μπορεῖ νὰ κάνει ἕνα μόνο πράγμα.
Ὄπως εὔγλωττα ἀναφέρει ὁ (Pierre Simon de Laplace ἢ Λαπλᾶς, ἕνας ἀπὸ τοὺς κορυφαίους μαθηματικοὺς τοῦ 18ου αἰώνα, στὸ βιβλίο τοῦ Φιλοσοφικὰ Δοκίμια ἐπὶ τῶν πιθανοτήτων:
Ἂν ὑπῆρχε μία Νόηση ποὺ νὰ γνώριζε σὲ κάθε στιγμὴ ὅλες τὶς δυνάμεις ποὺ δίνουν κίνηση στὴ Φύση καὶ τὶς σχετικὲς θέσεις ὅλων τῶν πραγμάτων ποὺ ὑπάρχουν σ’ αὐτή, κι ἂν αὐτὴ ἡ Νόηση Ἲ ἦταν τέτοια ὥστε νὰ κατορθώσει ν’ ἀναλύσει τὰ δεδομένα, θὰ μποροῦσε νὰ συνοψίσει σ’ ἕνα μοναδικὸ τύπο τὴν κίνηση τῶν μεγαλύτερων σωμάτων τοῦ σύμπαντος μαζὶ μ’ αὐτὴ τῶν ἐλαφρύτερων ἀτόμων: γιὰ μία τέτοια Νόηση τίποτα δὲν θὰ ἦταν ἀβέβαιο. Καὶ τὸ μέλλον, ὄπως ἐπίσης καὶ τὸ παρελθόν, θὰ γινόταν παρὸν μπροστὰ στὰ μάτια της.
Αὐτὴ εἶναι μᾶλλον μιὰ τοποθέτηση ποὺ προκαλεῖ δέος καθὼς προκύπτει ἀπὸ ἕνα ἁπλὸ θεώρημα μοναδικότητας στὰ μαθηματικά. Μερικὰ ὅμως ἀπὸ τὰ παραπάνω εἶναι ὄπως ξέρουμε σήμερα πραγματικὰ ὑπερβολικὰ καὶ δὲν ἰσχύουν. Γιὰ τὴν ὥρα, ἃς δεχτοῦμε ὅτι αὐτὴ ἡ ἑρμηνεία γιὰ τὸν κόσμο εὐσταθεῖ. Ἡ θέση τοῦ Λαπλᾶς εἶχε τέτοια ἐπιρροὴ στὴν ἐπιστήμη ποὺ ἐφαρμοζόταν σὲ ὅλα τὰ φαινόμενα — μηχανική, θερμότητα, κύματα, ἦχος, φῶς, μαγνητισμός, ἠλεκτρισμός. Θὰ πρέπει νὰ φαινόταν σὰν ἡ μεγάλη διείσδυση στὴν ἔσχατη ἀλήθεια. Καὶ πέτυχε. Τὸ πρότυπό του κλασικοῦ ντετερμινισμοῦ εἶχε γεννηθεῖ: ἂν οἱ ἐξισώσεις προδιαγράφουν τὴν ἐξέλιξη τοῦ συστήματος μὲ τρόπο μοναδικό, χωρὶς τυχαῖες ἐξωτερικὲς ἐπιδράσεις, τότε ἡ συμπεριφορὰ τοῦ συστήματος εἶναι προκαθορισμένη.
"Αἰὲν ἀριστεύειν καὶ ὑπείροχον ἔμμεναι ἄλλων, μηδὲ γένος πατέρων αἰσχυνέμεν»..
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
Ἡ χαοτικὴ κίνηση τοῦ Ὑπερίωνα
Στὶς 5 Σεπτεμβρίου 1977 ἐκτοξεύτηκε ἕνα ἱστορικὸ διαστημόπλοιο, ὁ Voyager 1, ποὺ εἶχε σὰν στόχο τοὺς ἐξωτερικοὺς πλανῆτες Αρη, Δια καὶ Κρόνο.
Ὁ μαθηματικὸς νόμος ποὺ κυβερνᾶ ὅλους τους πλανῆτες καὶ τὰ φεγγάρια τοὺς εἶναι ὁ νόμος βαρύτητας τοῦ Νεύτωνα. Ἡ θεωρία τῆς σχετικότητας τοῦ Ἀϊνστάιν δὲν χρειάζεται νὰ ἐφαρμοστεῖ ἐδῶ – ἀντὶ γιὰ τὸ Νόμο Τοῦ Νεύτωνα – γιατί οἱ ταχύτητες τοὺς εἶναι πολὺ μικρότερες ἀπὸ τὴν ταχύτητα τοῦ φωτός. Βέβαια οἱ ὑπολογισμοὶ εἶναι πολὺ χρονοβόροι καὶ δύσκολοι, γιατί δὲν ἔχουμε μόνο τὴν ἀλληλεπίδραση μόνο τῆς Γῆς καὶ τοῦ Ἥλιου, ἀλλὰ τὶς ἀλληλεπιδράσεις συγχρόνως πολλῶν οὐρανίων σωμάτων.
Χρησιμοποιώντας τοὺς μαθηματικοὺς νόμους τοῦ Νεύτωνα, οἱ ἀστρονόμοι ἔχουν προβλέψει τὴν κίνηση τοῦ Ἡλιακοῦ Συστήματος γιὰ πάνω ἀπὸ 200 ἑκατομμύρια χρόνια — ἔτσι οἱ ὑπολογισμοὶ γιὰ τὰ λίγα χρόνια ποὺ κρατοῦσε τὸ ταξίδι τοῦ Voyager 1 δὲν ἦταν πρόβλημα.
Πέρα ἀπὸ τὸν Δια ὑπάρχει ὁ Κρόνος στὸν ὁποῖο δεσπόζουν οἱ δακτύλιοι καὶ τὰ πολλὰ φεγγάρια. Ἕνας δορυφόρος τοῦ Κρόνου, ὁ Ὑπερίωνας, εἶναι ἀσυνήθιστος. Ἔχει ἀνώμαλο σχῆμα, σὰν μία κοσμικὴ πατάτα. Ἡ τροχιὰ τοῦ εἶναι ἀκριβῆς καὶ κανονική, ἀλλὰ ἡ συμπεριφορά του στὴν τροχιὰ δὲν εἶναι. Ὁ Ὑπερίωνας κάνει τοῦμπες. Ὄχι μὲ τὸ “κεφάλι” πρὸς τὰ κάτω, ἀλλὰ μ’ ἕνα περίπλοκο καὶ ἀκανόνιστο τρόπο. Τίποτα ὡστόσο σ’ αὐτὴ τὴν παράξενη συμπεριφορὰ δὲν ἀντικρούει τοὺς νόμους τοῦ Νεύτωνα. Καὶ οἱ τοῦμπες τοῦ Ὑπερίωνα ὑπακούουν στοὺς νόμους τῆς βαρύτητας καὶ τῆς δυναμικῆς.
Ἔστω ὅτι ὁ Voyager 1 εἶχε ὑπολογίσει τὶς ‘τούμπες’ τοῦ Ὑπερίωνα μὲ ἀκρίβεια δέκα δεκαδικῶν ψηφίων καὶ πάνω σ’ αὐτὴ τὴ βάση οἱ ἐπιστήμονες στὴ Γῆ ἔκαναν τὴν καλύτερη δυνατὴ πρόβλεψη γιὰ τὴ μελλοντικὴ κίνηση τοῦ Ὑπερίωνα, σύμφωνα μὲ τὸ νόμο τοῦ Νεύτωνα. Τότε, ὕστερα ἀπὸ λίγους μῆνες ὅταν ἕνα ἄλλο διαστημόπλοιο, ὁ Voyager 2, θὰ περνοῦσε ἀπὸ τὸν Ὑπερίωνα, θὰ μποροῦσαν νὰ συγκρίνουν τὶς ἀριθμητικὲς προβλέψεις τους μὲ τὴν πραγματικότητα.
Θὰ ἔβλεπαν λοιπὸν ὅτι ἡ πρόβλεψη γιὰ τὴν τροχιὰ τοῦ Ὑπερίωνα ἦταν ἐντελῶς λανθασμένη.
* Μήπως ὑπῆρχε λάθος στὴν πρόβλεψη;
Ὄχι ἀκριβῶς.
* Ὀφείλεται σὲ μία ἀποτυχία τοῦ νόμου τοῦ Νεύτωνα;
Ὄχι. Ἡ πρόβλεψη ἀναμένεται νὰ εἶναι λανθασμένη, ἐξαιτίας τοῦ νόμου τοῦ Νεύτωνα.
*Ἀνυπαρξία νομοτέλειας; Τυχαῖοι ἐξωγενεῖς παράγοντες, ὄπως νεφελώδη ἀέρια, μαγνητικὰ πεδία, ὁ ἡλιακὸς ἄνεμος;
Ὄχι.
Κάτι πολὺ πιὸ ἀξιοσημείωτο. Ἕνα σύμφυτο χαρακτηριστικὸ τῶν μαθηματικῶν ἐξισώσεων στὴ δυναμική. Ἡ δυνατότητα ἀκόμα καὶ ἁπλῶν ἐξισώσεων νὰ παράγουν κίνηση τόσο περίπλοκη, τόσο εὐαίσθητη στὶς ἀρχικὲς συνθῆκες, ὥστε νὰ φαίνεται τυχαῖα. Ἡ σωστὴ ὀνομασία τῆς εἶναι χάος.
Στὶς 5 Σεπτεμβρίου 1977 ἐκτοξεύτηκε ἕνα ἱστορικὸ διαστημόπλοιο, ὁ Voyager 1, ποὺ εἶχε σὰν στόχο τοὺς ἐξωτερικοὺς πλανῆτες Αρη, Δια καὶ Κρόνο.
Ὁ μαθηματικὸς νόμος ποὺ κυβερνᾶ ὅλους τους πλανῆτες καὶ τὰ φεγγάρια τοὺς εἶναι ὁ νόμος βαρύτητας τοῦ Νεύτωνα. Ἡ θεωρία τῆς σχετικότητας τοῦ Ἀϊνστάιν δὲν χρειάζεται νὰ ἐφαρμοστεῖ ἐδῶ – ἀντὶ γιὰ τὸ Νόμο Τοῦ Νεύτωνα – γιατί οἱ ταχύτητες τοὺς εἶναι πολὺ μικρότερες ἀπὸ τὴν ταχύτητα τοῦ φωτός. Βέβαια οἱ ὑπολογισμοὶ εἶναι πολὺ χρονοβόροι καὶ δύσκολοι, γιατί δὲν ἔχουμε μόνο τὴν ἀλληλεπίδραση μόνο τῆς Γῆς καὶ τοῦ Ἥλιου, ἀλλὰ τὶς ἀλληλεπιδράσεις συγχρόνως πολλῶν οὐρανίων σωμάτων.
Χρησιμοποιώντας τοὺς μαθηματικοὺς νόμους τοῦ Νεύτωνα, οἱ ἀστρονόμοι ἔχουν προβλέψει τὴν κίνηση τοῦ Ἡλιακοῦ Συστήματος γιὰ πάνω ἀπὸ 200 ἑκατομμύρια χρόνια — ἔτσι οἱ ὑπολογισμοὶ γιὰ τὰ λίγα χρόνια ποὺ κρατοῦσε τὸ ταξίδι τοῦ Voyager 1 δὲν ἦταν πρόβλημα.
Πέρα ἀπὸ τὸν Δια ὑπάρχει ὁ Κρόνος στὸν ὁποῖο δεσπόζουν οἱ δακτύλιοι καὶ τὰ πολλὰ φεγγάρια. Ἕνας δορυφόρος τοῦ Κρόνου, ὁ Ὑπερίωνας, εἶναι ἀσυνήθιστος. Ἔχει ἀνώμαλο σχῆμα, σὰν μία κοσμικὴ πατάτα. Ἡ τροχιὰ τοῦ εἶναι ἀκριβῆς καὶ κανονική, ἀλλὰ ἡ συμπεριφορά του στὴν τροχιὰ δὲν εἶναι. Ὁ Ὑπερίωνας κάνει τοῦμπες. Ὄχι μὲ τὸ “κεφάλι” πρὸς τὰ κάτω, ἀλλὰ μ’ ἕνα περίπλοκο καὶ ἀκανόνιστο τρόπο. Τίποτα ὡστόσο σ’ αὐτὴ τὴν παράξενη συμπεριφορὰ δὲν ἀντικρούει τοὺς νόμους τοῦ Νεύτωνα. Καὶ οἱ τοῦμπες τοῦ Ὑπερίωνα ὑπακούουν στοὺς νόμους τῆς βαρύτητας καὶ τῆς δυναμικῆς.
Ἔστω ὅτι ὁ Voyager 1 εἶχε ὑπολογίσει τὶς ‘τούμπες’ τοῦ Ὑπερίωνα μὲ ἀκρίβεια δέκα δεκαδικῶν ψηφίων καὶ πάνω σ’ αὐτὴ τὴ βάση οἱ ἐπιστήμονες στὴ Γῆ ἔκαναν τὴν καλύτερη δυνατὴ πρόβλεψη γιὰ τὴ μελλοντικὴ κίνηση τοῦ Ὑπερίωνα, σύμφωνα μὲ τὸ νόμο τοῦ Νεύτωνα. Τότε, ὕστερα ἀπὸ λίγους μῆνες ὅταν ἕνα ἄλλο διαστημόπλοιο, ὁ Voyager 2, θὰ περνοῦσε ἀπὸ τὸν Ὑπερίωνα, θὰ μποροῦσαν νὰ συγκρίνουν τὶς ἀριθμητικὲς προβλέψεις τους μὲ τὴν πραγματικότητα.
Θὰ ἔβλεπαν λοιπὸν ὅτι ἡ πρόβλεψη γιὰ τὴν τροχιὰ τοῦ Ὑπερίωνα ἦταν ἐντελῶς λανθασμένη.
* Μήπως ὑπῆρχε λάθος στὴν πρόβλεψη;
Ὄχι ἀκριβῶς.
* Ὀφείλεται σὲ μία ἀποτυχία τοῦ νόμου τοῦ Νεύτωνα;
Ὄχι. Ἡ πρόβλεψη ἀναμένεται νὰ εἶναι λανθασμένη, ἐξαιτίας τοῦ νόμου τοῦ Νεύτωνα.
*Ἀνυπαρξία νομοτέλειας; Τυχαῖοι ἐξωγενεῖς παράγοντες, ὄπως νεφελώδη ἀέρια, μαγνητικὰ πεδία, ὁ ἡλιακὸς ἄνεμος;
Ὄχι.
Κάτι πολὺ πιὸ ἀξιοσημείωτο. Ἕνα σύμφυτο χαρακτηριστικὸ τῶν μαθηματικῶν ἐξισώσεων στὴ δυναμική. Ἡ δυνατότητα ἀκόμα καὶ ἁπλῶν ἐξισώσεων νὰ παράγουν κίνηση τόσο περίπλοκη, τόσο εὐαίσθητη στὶς ἀρχικὲς συνθῆκες, ὥστε νὰ φαίνεται τυχαῖα. Ἡ σωστὴ ὀνομασία τῆς εἶναι χάος.
"Αἰὲν ἀριστεύειν καὶ ὑπείροχον ἔμμεναι ἄλλων, μηδὲ γένος πατέρων αἰσχυνέμεν»..
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
Χάος
Ἀλλὰ τί εἶναι Χάος; Τὰ λεξικὰ λένε ὅτι τὸ Χάος εἶναι τρία πράγματα:
1. Ἡ ἄτακτη, ἄμορφη ὕλη ποὺ ὑποτίθεται ὅτι προϋπῆρχε τοῦ ἐννόμου σύμπαντος (ὄπως λένε οἱ ἀρχαῖες κοσμογονίες)
2. Ἀπόλυτη ἀταξία, πλήρης σύγχιση (ὄπως τὸ καταλαβαίνουν οἱ ἄνθρωποι στὴν καθημερινὴ ζωή τους).
3. Στοχαστικὴ συμπεριφορὰ ποὺ ἐκδηλώνεται σ’ ἕνα ντετερμινιστικὸ σύστημα (ἕνας φυσικό-μαθηματικὸς ὁρισμός)
Τί σημαίνουν ὅμως “στοχαστικὴ συμπεριφορὰ” καὶ “ντετερμινιστικὸ σύστημα”. Ἡ αἰτιοκρατία ἢ ντετερμινισμὸς τοῦ Λαπλᾶς μας εἶναι ἤδη γνωστός. “Στοχαστικό” σημαίνει “τυχαῖο”. Γιὰ νὰ καταλάβουμε τὸ φαινόμενο τοῦ χάους θὰ χρειαστεῖ νὰ συζητήσουμε περισσότερο τὶς σημασίες αὐτῶν τῶν δυὸ λέξεων, γιατί ὁ τρόπος ποὺ χρησιμοποιοῦνται στὸν ὁρισμὸ φαίνεται παράλογος. Ἡ νομοτελειακὴ συμπεριφορὰ ὑπακούει σ’ ἕναν ἀκριβὴ καὶ ἄρρηκτο νόμο. Ἡ στοχαστικὴ συμπεριφορὰ εἶναι τὸ ἀντίθετο: Δὲν ἔχει οὔτε νόμους οὔτε τάξη, καὶ καθοδηγεῖται ἀπ’ τὸ τυχαῖο. Ἄρα, τὸ χάος εἶναι “μιὰ συμπεριφορὰ χωρὶς τάξη ποὺ ὅμως καθοδηγεῖται ὁλοκληρωτικὰ ἀπὸ κάποιο νόμο”. Ὄπως ὁ Ὑπερίωνας.
Γιατί ὁ Ὑπερίωνας συμπεριφέρεται τελικὰ μ’ αὐτὸν τὸν τρόπο; Δὲν εἶναι ἀκόμη εὔκολο νὰ τὸ ποῦμε, ἀλλὰ ὑπάρχει ἕνα παράδειγμα τοῦ χάους μὲ τὸ ὁποῖο μπορεῖτε νὰ πειραματιστεῖτε καὶ οἱ ἴδιοι. Χρειάζεστε μόνο μιὰ ἀριθμομηχανὴ τσέπης. Ἂν ἔχετε στὸ σπίτι ἕναν ὑπολογιστὴ μπορεῖτε εὔκολα νὰ τὸν προγραμματίσετε νὰ κάνει τὴν ἴδια δουλειὰ καὶ νὰ γλιτώσετε οἱ ἴδιοι ἀπὸ πολὺ κόπο.
Ἡ ἐξίσωση ποὺ ἐλέγχει τὴν κίνηση τοῦ Ὑπερίωνα εἶναι μία διαφορικὴ ἐξίσωση. Ἃς ὑποθέσουμε ὅτι σὲ μία δεδομένη στιγμή, γνωρίζουμε τὴ θέση καὶ τὴν ταχύτητα τοῦ Ὑπερίωνα. Τότε ὑπάρχει ἕνας σταθερὸς νόμος ποὺ ἐφαρμόζουμε σ’ αὐτὰ τὰ δεδομένα γιὰ νὰ πάρουμε τὴ θέση καὶ τὴν ταχύτητα κατὰ τὴν ἑπόμενη χρονικὴ στιγμή. Ἐφαρμόζουμε λοιπὸν καὶ πάλι τὸ νόμο, καὶ συνεχίζουμε μὲ αὐτὸ τὸν τρόπο ὥσπου νὰ φτάσουμε στὸ χρονικὸ σημεῖο ποὺ θέλουμε.
Γιὰ νὰ λύσει τὴ διαφορικὴ ἐξίσωση ἕνας ὑπολογιστὴς χρησιμοποιεῖ πολὺ μικρὰ βήματα. Ἡ μέθοδος πετυχαίνει γιατί τὰ πολὺ μικρὰ χρονικὰ βήματα δίνουν μία καλῆ προσέγγιση τῆς συνεχοῦς ροῆς τοῦ χρόνου.
Οἱ ἐξισώσεις γιὰ τὸν Ὑπερίωνα περιλαμβάνουν πολλὲς μεταβλητὲς — θέση, ταχύτητα, μεταβολὴ προσανατολισμοῦ. Θὰ μπορούσατε νὰ τὶς βάλετε στὸν ὑπολογιστή σας, ἀλλὰ θέλετε πολὺ χρόνο. Ἀντὶ γι’ αὐτὲς θὰ ἐπιλέξουμε μία πολὺ ἁπλούστερη ἐξίσωση, ἡ ὁποία δὲν ἔχει καμιὰ σχέση μὲ τὴν κίνηση τοῦ Ὑπερίωνα, ἐπεξηγεῖ, ὅμως, τὸ φαινόμενο τοῦ χάους.
Ἃς πάρουμε τὴν συνάρτηση f(x)=x2-1. Βάζοντας στὴ θέση τοῦ x γιὰ ἀρχὴ τὸ 0 παίρνουμε f(0)=-1, κι ἂν βάλουμε στὴ θέση τοῦ x τὸ προηγούμενο ἀποτέλεσμα, τὸ -1, τότε παίρνουμε f(-1)=0. Ἡ ἐπαναληπτικὴ ἐφαρμογὴ τῆς συνάρτησης x2-1 ὁδηγεῖ σὲ μία κυκλικὴ ἐναλλαγὴ τοῦ 0 καὶ τοῦ -1, δηλαδὴ μία κανονικὴ ταλάντωση.
Πάνω: Ἡ τιμὴ τοῦ x (ὁ καὶ -1) σημειώνεται στὴν κατακόρυφη διεύθυνση, ἐνῶ ὁ ἀριθμὸς τῶν ἐπαναλήψεων στὴν ὁριζόντια διεύθυνση.
Ἂν πάρουμε τώρα τὴν συνάρτηση f(x)=2x2-1, ποὺ εἶναι λίγο διαφορετικὴ ἀπὸ τὴν προηγούμενη . Βάζοντας στὴ θέση τοῦ x ἕνα τυχαῖο ἀριθμὸ ἀνάμεσα στὸ τὸ 0 καὶ τὸ 1, πχ x=0,54321 παίρνουμε μία τιμὴ γιὰ τὴ συνάρτηση. Συνεχίζουμε βάζοντας στὴ θέση τοῦ x τὴν προηγούμενη τιμὴ (-0,4098457), καὶ οὕτω καθεξῆς. Ἡ ἐπαναληπτικὴ ἐφαρμογὴ τοῦ 2x2-1 βλέπουμε νὰ ὁδηγεῖ ὄχι σὲ μιὰ κυκλικὴ συγκεκριμένη διάταξη (ὄπως πρίν), ἀλλὰ σὲ μία χαοτικὴ ταλάντωση.
Ἡ ἐπαναληπτικὴ ἐφαρμογὴ τοῦ 2x2-1 ὁδηγεῖ στὸ χάος
Ἂν βάλουμε στὴν ἴδια συνάρτηση σὰν ἀρχικὴ τιμὴ τὸ x=0,54321. Τότε, φαίνεται ἀκόμη τυχαῖο — καὶ μετὰ ἀπὸ πενήντα περίπου ἐπαναλήψεις καὶ πάλι φαίνεται τελείως διαφορετικό.
Αὐτὸ ποὺ βλέπετε εἶναι ἕνα εἶδος Ὑπερίωνα μέσα στὸ μικρόκοσμο. Ντετερμινιστικὴ ἐξίσωση: ἀόριστο ἀποτέλεσμα. Ἀνεπαίσθητη ἀλλαγὴ στὴν ἀρχικὴ τιμή: χάνονται τελείως τὰ ἴχνη γιὰ τὸ ποὺ πηγαίνει. Αὐτὸ ποὺ τὸ κάνει πιὸ ἀξιοσημείωτο εἶναι ὅτι ἐνῶ τὸ 2x2-1, εἶναι τόσο παράξενο, ἡ ἐπιφανειακὰ παρόμοια συνάρτηση x2-1 συμπεριφέρεται τέλεια.
Ἃς πάρουμε τώρα τὴν συνάρτηση f(x)=kx2-1 μὲ k=1.4. Ἐδῶ γίνεται μία ἀρκετὰ πολύπλοκη κυκλικὴ ἐναλλαγὴ μέσ’ ἀπὸ δεκαέξι διαφορετικὲς τιμές!
Γιὰ k=1,5 δὲν ὑπάρχει καμιὰ κυκλικὴ ἐναλλαγὴ τιμῶν, ἀλλὰ χάος. Συνεχίζουμε μὲ k=1,75 καὶ βλέπουμε ὅτι ἀρχικὰ γιὰ 50 περίπου ἐπαναλήψεις βλέπουμε χάος. Ὅμως, μετὰ ἀπὸ 50 περίπου ἐπαναλήψεις σταθεροποιεῖται σ’ ἕναν κύκλο μὲ τρεῖς μόνο ἀριθμούς, μιὰ ἐπανάληψη γύρω στοὺς ἀριθμοὺς :0,744 -0,030 -0,998.
Αὐτὸ ποὺ ἔχουμε ἀνακαλύψει εἶναι ἕνα θαῦμα. Τάξη καὶ χάος, στενὰ συνδεδεμένα, ἀναδύονται ἀπὸ ἕναν τύπο τόσο ἁπλὸ ὄπως ὀkx2-1. Ὁρισμένες τιμὲς ὁδηγοῦν σὲ ἐπαναλήψεις ποὺ ἐμφανίζουν τάξη, ἄλλες — ἐλάχιστα διαφορετικὲς — ὁδηγοῦν στὸ χάος.
Μέσα ἀπὸ τὸ ἀρχικὸ χάος λοιπὸν ἀναδύεται τάξη! Τὰ δυὸ αὐτὰ εἶναι συνδεδεμένα μ’ ἕναν τρόπο ἀνεξιχνίαστο καὶ μυστηριῶδες.
Ἃς δοῦμε τώρα κάτι σχετικὰ μὲ τοὺς ὑπολογιστὲς καὶ τὸ χάος. Ἔχουμε τὴν τάση νὰ σκεφτόμαστε τοὺς ὑπολογιστὲς σὰν ἰδεώδη παραδείγματα ἀκρίβειας. Στὴν πραγματικότητα δὲν εἶναι. Οἱ περιορισμοὶ τῆς μνήμης συνεπάγονται ὅτι οἱ ἀριθμοὶ συγκρατοῦνται ἀπὸ τὸν ἠλεκτρονικὸ ὑπολογιστὴ μὲ πολὺ περιορισμένη ἀκρίβεια, ἃς ποῦμε μὲ ὀκτὼ ἢ δέκα δεκαδικὰ ψηφία. Ἐπιπλέον, ὁ “ἰδιωτικός” ἐσωτερικὸς κώδικας — ποὺ χρησιμοποιεῖ ὁ ὑπολογιστὴς γιὰ νὰ ἀναπαραστήσει μέσα τοῦ τοὺς ἀριθμοὺς — καὶ ὁ “κοινός” μὲ τὸν ὁποῖο τοὺς ἐκτυπώνει στὴν ὀθόνη, εἶναι διαφορετικοί. Ἡ διαφορὰ αὐτὴ ὁδηγεῖ σὲ δυὸ πηγὲς λαθῶν. Λάθος κατὰ τὴ στρογγυλοποίηση στοὺς ἐσωτερικοὺς ὑπολογισμούς, καὶ λάθος κατὰ τὴν ἀπόδοση ἀπὸ τὸν ἰδιωτικὸ κώδικα στὸν κοινό. Συνήθως αὐτὰ τὰ λάθη δὲν ἐνοχλοῦν πολύ, ἕνα ὅμως ἀπὸ τὰ χαρακτηριστικὰ γνωρίσματα τοῦ χάους εἶναι ὅτι εὐνοεῖ τὴν ἀνάπτυξη καὶ ἀναπαραγωγὴ τέτοιων μικρῶν λαθῶν.
Ἀλλὰ τί εἶναι Χάος; Τὰ λεξικὰ λένε ὅτι τὸ Χάος εἶναι τρία πράγματα:
1. Ἡ ἄτακτη, ἄμορφη ὕλη ποὺ ὑποτίθεται ὅτι προϋπῆρχε τοῦ ἐννόμου σύμπαντος (ὄπως λένε οἱ ἀρχαῖες κοσμογονίες)
2. Ἀπόλυτη ἀταξία, πλήρης σύγχιση (ὄπως τὸ καταλαβαίνουν οἱ ἄνθρωποι στὴν καθημερινὴ ζωή τους).
3. Στοχαστικὴ συμπεριφορὰ ποὺ ἐκδηλώνεται σ’ ἕνα ντετερμινιστικὸ σύστημα (ἕνας φυσικό-μαθηματικὸς ὁρισμός)
Τί σημαίνουν ὅμως “στοχαστικὴ συμπεριφορὰ” καὶ “ντετερμινιστικὸ σύστημα”. Ἡ αἰτιοκρατία ἢ ντετερμινισμὸς τοῦ Λαπλᾶς μας εἶναι ἤδη γνωστός. “Στοχαστικό” σημαίνει “τυχαῖο”. Γιὰ νὰ καταλάβουμε τὸ φαινόμενο τοῦ χάους θὰ χρειαστεῖ νὰ συζητήσουμε περισσότερο τὶς σημασίες αὐτῶν τῶν δυὸ λέξεων, γιατί ὁ τρόπος ποὺ χρησιμοποιοῦνται στὸν ὁρισμὸ φαίνεται παράλογος. Ἡ νομοτελειακὴ συμπεριφορὰ ὑπακούει σ’ ἕναν ἀκριβὴ καὶ ἄρρηκτο νόμο. Ἡ στοχαστικὴ συμπεριφορὰ εἶναι τὸ ἀντίθετο: Δὲν ἔχει οὔτε νόμους οὔτε τάξη, καὶ καθοδηγεῖται ἀπ’ τὸ τυχαῖο. Ἄρα, τὸ χάος εἶναι “μιὰ συμπεριφορὰ χωρὶς τάξη ποὺ ὅμως καθοδηγεῖται ὁλοκληρωτικὰ ἀπὸ κάποιο νόμο”. Ὄπως ὁ Ὑπερίωνας.
Γιατί ὁ Ὑπερίωνας συμπεριφέρεται τελικὰ μ’ αὐτὸν τὸν τρόπο; Δὲν εἶναι ἀκόμη εὔκολο νὰ τὸ ποῦμε, ἀλλὰ ὑπάρχει ἕνα παράδειγμα τοῦ χάους μὲ τὸ ὁποῖο μπορεῖτε νὰ πειραματιστεῖτε καὶ οἱ ἴδιοι. Χρειάζεστε μόνο μιὰ ἀριθμομηχανὴ τσέπης. Ἂν ἔχετε στὸ σπίτι ἕναν ὑπολογιστὴ μπορεῖτε εὔκολα νὰ τὸν προγραμματίσετε νὰ κάνει τὴν ἴδια δουλειὰ καὶ νὰ γλιτώσετε οἱ ἴδιοι ἀπὸ πολὺ κόπο.
Ἡ ἐξίσωση ποὺ ἐλέγχει τὴν κίνηση τοῦ Ὑπερίωνα εἶναι μία διαφορικὴ ἐξίσωση. Ἃς ὑποθέσουμε ὅτι σὲ μία δεδομένη στιγμή, γνωρίζουμε τὴ θέση καὶ τὴν ταχύτητα τοῦ Ὑπερίωνα. Τότε ὑπάρχει ἕνας σταθερὸς νόμος ποὺ ἐφαρμόζουμε σ’ αὐτὰ τὰ δεδομένα γιὰ νὰ πάρουμε τὴ θέση καὶ τὴν ταχύτητα κατὰ τὴν ἑπόμενη χρονικὴ στιγμή. Ἐφαρμόζουμε λοιπὸν καὶ πάλι τὸ νόμο, καὶ συνεχίζουμε μὲ αὐτὸ τὸν τρόπο ὥσπου νὰ φτάσουμε στὸ χρονικὸ σημεῖο ποὺ θέλουμε.
Γιὰ νὰ λύσει τὴ διαφορικὴ ἐξίσωση ἕνας ὑπολογιστὴς χρησιμοποιεῖ πολὺ μικρὰ βήματα. Ἡ μέθοδος πετυχαίνει γιατί τὰ πολὺ μικρὰ χρονικὰ βήματα δίνουν μία καλῆ προσέγγιση τῆς συνεχοῦς ροῆς τοῦ χρόνου.
Οἱ ἐξισώσεις γιὰ τὸν Ὑπερίωνα περιλαμβάνουν πολλὲς μεταβλητὲς — θέση, ταχύτητα, μεταβολὴ προσανατολισμοῦ. Θὰ μπορούσατε νὰ τὶς βάλετε στὸν ὑπολογιστή σας, ἀλλὰ θέλετε πολὺ χρόνο. Ἀντὶ γι’ αὐτὲς θὰ ἐπιλέξουμε μία πολὺ ἁπλούστερη ἐξίσωση, ἡ ὁποία δὲν ἔχει καμιὰ σχέση μὲ τὴν κίνηση τοῦ Ὑπερίωνα, ἐπεξηγεῖ, ὅμως, τὸ φαινόμενο τοῦ χάους.
Ἃς πάρουμε τὴν συνάρτηση f(x)=x2-1. Βάζοντας στὴ θέση τοῦ x γιὰ ἀρχὴ τὸ 0 παίρνουμε f(0)=-1, κι ἂν βάλουμε στὴ θέση τοῦ x τὸ προηγούμενο ἀποτέλεσμα, τὸ -1, τότε παίρνουμε f(-1)=0. Ἡ ἐπαναληπτικὴ ἐφαρμογὴ τῆς συνάρτησης x2-1 ὁδηγεῖ σὲ μία κυκλικὴ ἐναλλαγὴ τοῦ 0 καὶ τοῦ -1, δηλαδὴ μία κανονικὴ ταλάντωση.
Πάνω: Ἡ τιμὴ τοῦ x (ὁ καὶ -1) σημειώνεται στὴν κατακόρυφη διεύθυνση, ἐνῶ ὁ ἀριθμὸς τῶν ἐπαναλήψεων στὴν ὁριζόντια διεύθυνση.
Ἂν πάρουμε τώρα τὴν συνάρτηση f(x)=2x2-1, ποὺ εἶναι λίγο διαφορετικὴ ἀπὸ τὴν προηγούμενη . Βάζοντας στὴ θέση τοῦ x ἕνα τυχαῖο ἀριθμὸ ἀνάμεσα στὸ τὸ 0 καὶ τὸ 1, πχ x=0,54321 παίρνουμε μία τιμὴ γιὰ τὴ συνάρτηση. Συνεχίζουμε βάζοντας στὴ θέση τοῦ x τὴν προηγούμενη τιμὴ (-0,4098457), καὶ οὕτω καθεξῆς. Ἡ ἐπαναληπτικὴ ἐφαρμογὴ τοῦ 2x2-1 βλέπουμε νὰ ὁδηγεῖ ὄχι σὲ μιὰ κυκλικὴ συγκεκριμένη διάταξη (ὄπως πρίν), ἀλλὰ σὲ μία χαοτικὴ ταλάντωση.
Ἡ ἐπαναληπτικὴ ἐφαρμογὴ τοῦ 2x2-1 ὁδηγεῖ στὸ χάος
Ἂν βάλουμε στὴν ἴδια συνάρτηση σὰν ἀρχικὴ τιμὴ τὸ x=0,54321. Τότε, φαίνεται ἀκόμη τυχαῖο — καὶ μετὰ ἀπὸ πενήντα περίπου ἐπαναλήψεις καὶ πάλι φαίνεται τελείως διαφορετικό.
Αὐτὸ ποὺ βλέπετε εἶναι ἕνα εἶδος Ὑπερίωνα μέσα στὸ μικρόκοσμο. Ντετερμινιστικὴ ἐξίσωση: ἀόριστο ἀποτέλεσμα. Ἀνεπαίσθητη ἀλλαγὴ στὴν ἀρχικὴ τιμή: χάνονται τελείως τὰ ἴχνη γιὰ τὸ ποὺ πηγαίνει. Αὐτὸ ποὺ τὸ κάνει πιὸ ἀξιοσημείωτο εἶναι ὅτι ἐνῶ τὸ 2x2-1, εἶναι τόσο παράξενο, ἡ ἐπιφανειακὰ παρόμοια συνάρτηση x2-1 συμπεριφέρεται τέλεια.
Ἃς πάρουμε τώρα τὴν συνάρτηση f(x)=kx2-1 μὲ k=1.4. Ἐδῶ γίνεται μία ἀρκετὰ πολύπλοκη κυκλικὴ ἐναλλαγὴ μέσ’ ἀπὸ δεκαέξι διαφορετικὲς τιμές!
Γιὰ k=1,5 δὲν ὑπάρχει καμιὰ κυκλικὴ ἐναλλαγὴ τιμῶν, ἀλλὰ χάος. Συνεχίζουμε μὲ k=1,75 καὶ βλέπουμε ὅτι ἀρχικὰ γιὰ 50 περίπου ἐπαναλήψεις βλέπουμε χάος. Ὅμως, μετὰ ἀπὸ 50 περίπου ἐπαναλήψεις σταθεροποιεῖται σ’ ἕναν κύκλο μὲ τρεῖς μόνο ἀριθμούς, μιὰ ἐπανάληψη γύρω στοὺς ἀριθμοὺς :0,744 -0,030 -0,998.
Αὐτὸ ποὺ ἔχουμε ἀνακαλύψει εἶναι ἕνα θαῦμα. Τάξη καὶ χάος, στενὰ συνδεδεμένα, ἀναδύονται ἀπὸ ἕναν τύπο τόσο ἁπλὸ ὄπως ὀkx2-1. Ὁρισμένες τιμὲς ὁδηγοῦν σὲ ἐπαναλήψεις ποὺ ἐμφανίζουν τάξη, ἄλλες — ἐλάχιστα διαφορετικὲς — ὁδηγοῦν στὸ χάος.
Μέσα ἀπὸ τὸ ἀρχικὸ χάος λοιπὸν ἀναδύεται τάξη! Τὰ δυὸ αὐτὰ εἶναι συνδεδεμένα μ’ ἕναν τρόπο ἀνεξιχνίαστο καὶ μυστηριῶδες.
Ἃς δοῦμε τώρα κάτι σχετικὰ μὲ τοὺς ὑπολογιστὲς καὶ τὸ χάος. Ἔχουμε τὴν τάση νὰ σκεφτόμαστε τοὺς ὑπολογιστὲς σὰν ἰδεώδη παραδείγματα ἀκρίβειας. Στὴν πραγματικότητα δὲν εἶναι. Οἱ περιορισμοὶ τῆς μνήμης συνεπάγονται ὅτι οἱ ἀριθμοὶ συγκρατοῦνται ἀπὸ τὸν ἠλεκτρονικὸ ὑπολογιστὴ μὲ πολὺ περιορισμένη ἀκρίβεια, ἃς ποῦμε μὲ ὀκτὼ ἢ δέκα δεκαδικὰ ψηφία. Ἐπιπλέον, ὁ “ἰδιωτικός” ἐσωτερικὸς κώδικας — ποὺ χρησιμοποιεῖ ὁ ὑπολογιστὴς γιὰ νὰ ἀναπαραστήσει μέσα τοῦ τοὺς ἀριθμοὺς — καὶ ὁ “κοινός” μὲ τὸν ὁποῖο τοὺς ἐκτυπώνει στὴν ὀθόνη, εἶναι διαφορετικοί. Ἡ διαφορὰ αὐτὴ ὁδηγεῖ σὲ δυὸ πηγὲς λαθῶν. Λάθος κατὰ τὴ στρογγυλοποίηση στοὺς ἐσωτερικοὺς ὑπολογισμούς, καὶ λάθος κατὰ τὴν ἀπόδοση ἀπὸ τὸν ἰδιωτικὸ κώδικα στὸν κοινό. Συνήθως αὐτὰ τὰ λάθη δὲν ἐνοχλοῦν πολύ, ἕνα ὅμως ἀπὸ τὰ χαρακτηριστικὰ γνωρίσματα τοῦ χάους εἶναι ὅτι εὐνοεῖ τὴν ἀνάπτυξη καὶ ἀναπαραγωγὴ τέτοιων μικρῶν λαθῶν.
"Αἰὲν ἀριστεύειν καὶ ὑπείροχον ἔμμεναι ἄλλων, μηδὲ γένος πατέρων αἰσχυνέμεν»..
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
Στοχαστικὴ καὶ Χάος
Ἡ λέξη “gas” ἐπινοήθηκε ἀπὸ τὸν Ὀλλανδὸ χημικὸ Van Helmont στὸ βιβλίο τοῦ Ortus Medicinae, τὸ 1632 μ’ ἐσκεμμένη ὁμοιότητα πρὸς τὴν ἑλληνικὴ λέξη “χάος” (chaos). Ἦταν μία πολὺ ὀξυδερκὴς ἐπιλογή. Στὴ φυσικὴ τῶν ἀερίων ἔρχονται ἀμέσως ἀντιμέτωπα τὸ τυχαῖο καὶ τὸ ντετερμινιστικό. Στὴν οὐσία ὅμως, ἕνα ἀέριο εἶναι μία ντετερμινιστικὴ συνάθροιση κινουμένων μορίων ποὺ ὑπακούουν σὲ ἀκριβεῖς δυναμικοὺς νόμους. Ἀπὸ ποῦ λοιπὸν προέρχεται τὸ τυχαῖο;
Ἡ ἀπάντηση — ποὺ θὰ ἔδινε αὐτόματα κάθε ἀξιόλογος ἐπιστήμονας ὦς τὴ δεκαετία τοῦ 70 καὶ πολλοὶ ἀκόμα καὶ στὶς ἀρχὲς τῆς δεκαετίας τοῦ ‘80 — λέγεται πολυπλοκότητα. Ἡ λεπτομεριακὴ κίνηση τοῦ ἀερίου εἶναι πολὺ σύνθετη γιὰ νὰ τὴν κατανοήσουμε.
Ἃς ὑποθέσουμε ὅτι ἔχουμε μία συσκευὴ ἱκανὴ νὰ παρακολουθεῖ ἕνα λογικὸ ἀριθμὸ ξεχωριστῶν μορίων ἀερίου καθὼς κινοῦνται. Δὲν ὑπάρχει τέτοια συσκευή, ἀλλὰ καὶ ἂν ὑπῆρχε, θὰ ‘πρεπε νὰ χρησιμοποιήσουμε ὑπολογιστὴ γιὰ νὰ ἐπιβραδύνει τὴν κίνηση κατὰ πολλὲς τάξεις μεγέθους ὥστε νὰ δοῦμε τί συμβαίνει. Ἃς ὑποθέσουμε ὅμως ὅτι γίνεται. Τί θὰ βλέπαμε; Ἃς συγκεντρώσουμε τὴν προσοχή μας σὲ μιὰ μικρὴ ὁμάδα μορίων. Τὰ μόρια ἀκολουθοῦν γιὰ μικρὸ χρονικὸ διάστημα εὐθύγραμμες πορεῖες, ὕστερα ἀρχίζουν νὰ συγκρούονται μεταξύ τους καὶ νὰ κινοῦνται σὲ καινούργιες κατευθύνσεις τὶς ὁποῖες μποροῦμε νὰ προδιαγράψουμε μὲ βάση τὴν προηγούμενη γεωμετρία τῶν κατευθύνσεών τους.
Μόλις ὅμως ἔχουμε ἀρχίσει νὰ καταλαβαίνουμε τὸ μοντέλο τῆς κίνησης, ἕνα νέο μόριο ὁρμᾶ “ἀκάθεκτο” ἀπέξω καὶ εἰσβάλλει στὴν ὄμορφα ὀργανωμένη ὁμάδα μας, καταστρέφοντας τὸ μοντέλο. Καὶ πρὶν προλάβουμε νὰ μελετήσουμε τὸ νέο μοντέλο, ἔρχεται ἕνα ἄλλο μόριο κι ἄλλο κι ἄλλο…
Ἂν αὐτὸ ποὺ βλέπουμε εἶναι ἕνα μικρὸ μέρος μίας ἐξαιρετικὰ πολύπλοκης κίνησης, τότε ὅλα φαίνονται τυχαῖα. Ὅλα μοιάζουν χωρὶς δομή.
Μὲ λίγα λόγια, πρόκειται γιὰ τὸν ἴδιο μηχανισμὸ ποὺ κάνει τὶς κοινωνικὲς ἐπιστῆμες τόσο δύσκολες. Δὲν μποροῦμε νὰ μελετήσουμε μία ζωντανὴ οἰκονομία ἢ ἕνα ἔθνος ἢ ἕναν ἐγκέφαλο, μὲ τὸ ν’ ἀπομονώνουμε ἕνα μικρὸ μέρος.
Τὸ πειραματικό μας ὑποσύστημα θὰ διαταράσσεται διαρκῶς ἀπὸ ἀπροσδόκητες καὶ ἀνεξέλεγκτες ἐπιδράσεις. Ἀκόμα καὶ στὶς φυσικὲς ἐπιστῆμες τὸ μεγαλύτερο μέρος τῆς καθημερινῆς πειραματικῆς δουλειᾶς ἀφιερώνεται στὴν προσπάθεια γιὰ ἐλαχιστοποίηση τῶν ἐξωτερικῶν ἐπιδράσεων.
Ἕνας εὐαίσθητος σεισμογράφος δὲν θὰ καταγράψει μόνο τὸν σεισμό, ἀλλὰ καὶ τὴν κίνηση τοῦ φορτηγοῦ στὸν δρόμο. Οἱ φυσικοὶ φτάνουν στὰ ἀπώτατα ἄκρα γιὰ νὰ ἐλαττώσουν τέτοιες ἀνεπιθύμητες ἐπιδράσεις. Τοποθετοῦν τηλεσκόπια σὲ κορφὲς βουνῶν καὶ ὄχι στοὺς οὐρανοξύστες τοῦ Manhattan, θάβουν μετρητὲς νετρίνων χιλιόμετρα κάτω ἀπ’ τὸ ἔδαφος ἀντὶ νὰ τοὺς τοποθετήσουν στὸ γραφεῖο.
Ὁ κοινωνιολόγος ὅμως, δὲν ἔχει οὔτε αὐτὴ τὴν πολυτέλεια. Πρέπει νὰ χρησιμοποιήσει στατιστικὲς μεθόδους γιὰ νὰ προκαθορίσει ἢ νὰ ἀπαλείψει αὐτὲς τὶς ἐξωτερικὲς ἐπιδράσεις. Ἡ στατιστικὴ εἶναι ἡ μέθοδος γιὰ νὰ κοσκινίζουμε τὴν πολύτιμη τάξη μέσ’ ἀπὸ τὴν ἄμμο τῆς πολυπλοκότητας.
Οἱ ἐπιστήμονες ἀπὸ ἑκατοντάδες κιόλας χρόνια, γνώριζαν καλὰ ὅτι εἶναι πιθανὸν ἕνα ντετερμινιστικὸ σύστημα νὰ συμπεριφερθεῖ μ’ ἕναν φαινομενικὰ τυχαῖο τρόπο. Ἀλλὰ γνώριζαν ὅτι δὲν ἦταν ἀληθινὰ τυχαῖος, ἀπλῶς ἔδειχνε ἔτσι, λόγω ἔλλειψης στοιχείων. Γνώριζαν ἀκόμα ὅτι αὐτὸ τὸ “ἀπατηλὸ τυχαῖο” συνέβαινε μόνο σὲ πολὺ μεγάλα καὶ σύνθετα συστήματα — συστήματα μὲ ἐξαιρετικὰ πολλοὺς βαθμοὺς ἐλευθερίας, μὲ ἐξαιρετικὰ πολλὲς διαφορετικὲς μεταβλητὲς καὶ μὲ ἐξαιρετικὰ πολλὰ συστατικὰ μέρη. Συστήματα τῶν ὁποίων ἡ λεπτομερειακὴ συμπεριφορὰ θὰ ἔμενε γιὰ πάντα ἔξω ἀπὸ τὶς δυνατότητες τοῦ ἀνθρώπινου μυαλοῦ.
Κατὰ τὴν διάρκεια τοῦ 20ου αἰώνα, ἡ στατιστικὴ μεθοδολογία πῆρε τὴ θέση της, σὰν ἰσάξιος συμβαλλόμενος, δίπλα στὴ ντετερμινιστικὴ προτυποποίηση. Μιὰ νέα λέξη πλάστηκε γιὰ νὰ ἐκφράσει τὴ συνειδητοποίηση ὅτι ἀκόμα καὶ τὸ τυχαῖο ἔχει τοὺς νόμους του: ἡ λέξη στοχαστικό. Ἡ Ἑλληνικὴ λέξη στοχαστικὸς σημαίνει “ὁ ἱκανὸς στὴ σκόπευση”, καὶ ἔτσι ἀποδίδει τὸ νόημα τῆς χρησιμοποίησης, τῶν νόμων τοῦ τυχαίου πρὸς κάποια ὠφέλιμη κατεύθυνση.
Τὰ μαθηματικὰ τῶν στοχαστικῶν ἀνελίξεων — τῆς ἀλληλουχίας ἀποτελεσμάτων ποὺ καθορίζονται ἀπὸ τὴν ἐπίδραση τοῦ τυχαίου — ἄνθισαν παράλληλα μὲ τὰ μαθηματικὰ τῶν ντετερμινιστικῶν ἀνελίξεων.
Ἡ τάξη δὲν ἦταν πιὰ συνώνυμη μὲ τὸ νόμο, οὔτε καὶ ἡ ἀταξία συνώνυμη μὲ τὴν ἀπουσία νόμου. Καὶ ἡ τάξη καὶ ἡ ἀταξία εἶχαν νόμους. Ἀλλὰ νόμους ποὺ ἦταν δυὸ διαφορετικοὶ κώδικες συμπεριφορᾶς. Ἄλλος νόμος γιὰ τὸ τακτικό, ἄλλος γιὰ τὸ ἄτακτο. Δυὸ πρότυπα, δυὸ τεχνικές. Δυὸ τρόποι ἐνόρασης τοῦ κόσμου. Δυὸ μαθηματικὲς ἰδεολογίες ποὺ ἡ κάθε μία ἐφαρμόζεται μόνο μέσα στὴ δική της σφαίρα ἐπιρροῆς. Ὁ ντετερμινισμὸς γι’ἁπλὰ συστήματα μὲ λίγους βαθμοὺς ἐλευθερίας, ἡ στατιστικὴ γιὰ πολύπλοκα συστήματα μὲ πολλοὺς βαθμοὺς ἐλευθερίας. Ἕνα σύστημα ἢ ἦταν τυχαῖο, ἢ δὲν ἦταν. Ἂν ἦταν τυχαῖο, οἱ ἐπιστήμονες ἔψαχναν γιὰ κάτι στοχαστικό. Ἂν ὄχι, ξεσκόνιζαν τὶς ντετερμινιστικές τους ἐξισώσεις.
Ἔχουμε τελικὰ ἕνα πολὺ δύσκολο ἐρώτημα. Εἶναι δυνατὸν ἕνα ἁπλὸ ντετερμινιστικὸ σύστημα νὰ λειτουργήσει σὰν τυχαῖο σύστημα; Καὶ μόνο τὸ ἐρώτημα ἔρχεται σὲ ἀντίθεση μὲ τὴν κοινὴ διαίσθηση.
Ἡ ὅλη ἐξέλιξη τῆς ἐπιστήμης βασιζόταν στὴν πεποίθηση ὅτι γιὰ ν’ ἀνιχνεύσουμε τὴν ἁπλότητα στὴ φύση πρέπει νὰ βροῦμε ἁπλὲς ἐξισώσεις ποὺ νὰ τὴν περιγράφουν. Τί ἁπλοϊκὴ ἀντίληψη!
Ἡ λέξη “gas” ἐπινοήθηκε ἀπὸ τὸν Ὀλλανδὸ χημικὸ Van Helmont στὸ βιβλίο τοῦ Ortus Medicinae, τὸ 1632 μ’ ἐσκεμμένη ὁμοιότητα πρὸς τὴν ἑλληνικὴ λέξη “χάος” (chaos). Ἦταν μία πολὺ ὀξυδερκὴς ἐπιλογή. Στὴ φυσικὴ τῶν ἀερίων ἔρχονται ἀμέσως ἀντιμέτωπα τὸ τυχαῖο καὶ τὸ ντετερμινιστικό. Στὴν οὐσία ὅμως, ἕνα ἀέριο εἶναι μία ντετερμινιστικὴ συνάθροιση κινουμένων μορίων ποὺ ὑπακούουν σὲ ἀκριβεῖς δυναμικοὺς νόμους. Ἀπὸ ποῦ λοιπὸν προέρχεται τὸ τυχαῖο;
Ἡ ἀπάντηση — ποὺ θὰ ἔδινε αὐτόματα κάθε ἀξιόλογος ἐπιστήμονας ὦς τὴ δεκαετία τοῦ 70 καὶ πολλοὶ ἀκόμα καὶ στὶς ἀρχὲς τῆς δεκαετίας τοῦ ‘80 — λέγεται πολυπλοκότητα. Ἡ λεπτομεριακὴ κίνηση τοῦ ἀερίου εἶναι πολὺ σύνθετη γιὰ νὰ τὴν κατανοήσουμε.
Ἃς ὑποθέσουμε ὅτι ἔχουμε μία συσκευὴ ἱκανὴ νὰ παρακολουθεῖ ἕνα λογικὸ ἀριθμὸ ξεχωριστῶν μορίων ἀερίου καθὼς κινοῦνται. Δὲν ὑπάρχει τέτοια συσκευή, ἀλλὰ καὶ ἂν ὑπῆρχε, θὰ ‘πρεπε νὰ χρησιμοποιήσουμε ὑπολογιστὴ γιὰ νὰ ἐπιβραδύνει τὴν κίνηση κατὰ πολλὲς τάξεις μεγέθους ὥστε νὰ δοῦμε τί συμβαίνει. Ἃς ὑποθέσουμε ὅμως ὅτι γίνεται. Τί θὰ βλέπαμε; Ἃς συγκεντρώσουμε τὴν προσοχή μας σὲ μιὰ μικρὴ ὁμάδα μορίων. Τὰ μόρια ἀκολουθοῦν γιὰ μικρὸ χρονικὸ διάστημα εὐθύγραμμες πορεῖες, ὕστερα ἀρχίζουν νὰ συγκρούονται μεταξύ τους καὶ νὰ κινοῦνται σὲ καινούργιες κατευθύνσεις τὶς ὁποῖες μποροῦμε νὰ προδιαγράψουμε μὲ βάση τὴν προηγούμενη γεωμετρία τῶν κατευθύνσεών τους.
Μόλις ὅμως ἔχουμε ἀρχίσει νὰ καταλαβαίνουμε τὸ μοντέλο τῆς κίνησης, ἕνα νέο μόριο ὁρμᾶ “ἀκάθεκτο” ἀπέξω καὶ εἰσβάλλει στὴν ὄμορφα ὀργανωμένη ὁμάδα μας, καταστρέφοντας τὸ μοντέλο. Καὶ πρὶν προλάβουμε νὰ μελετήσουμε τὸ νέο μοντέλο, ἔρχεται ἕνα ἄλλο μόριο κι ἄλλο κι ἄλλο…
Ἂν αὐτὸ ποὺ βλέπουμε εἶναι ἕνα μικρὸ μέρος μίας ἐξαιρετικὰ πολύπλοκης κίνησης, τότε ὅλα φαίνονται τυχαῖα. Ὅλα μοιάζουν χωρὶς δομή.
Μὲ λίγα λόγια, πρόκειται γιὰ τὸν ἴδιο μηχανισμὸ ποὺ κάνει τὶς κοινωνικὲς ἐπιστῆμες τόσο δύσκολες. Δὲν μποροῦμε νὰ μελετήσουμε μία ζωντανὴ οἰκονομία ἢ ἕνα ἔθνος ἢ ἕναν ἐγκέφαλο, μὲ τὸ ν’ ἀπομονώνουμε ἕνα μικρὸ μέρος.
Τὸ πειραματικό μας ὑποσύστημα θὰ διαταράσσεται διαρκῶς ἀπὸ ἀπροσδόκητες καὶ ἀνεξέλεγκτες ἐπιδράσεις. Ἀκόμα καὶ στὶς φυσικὲς ἐπιστῆμες τὸ μεγαλύτερο μέρος τῆς καθημερινῆς πειραματικῆς δουλειᾶς ἀφιερώνεται στὴν προσπάθεια γιὰ ἐλαχιστοποίηση τῶν ἐξωτερικῶν ἐπιδράσεων.
Ἕνας εὐαίσθητος σεισμογράφος δὲν θὰ καταγράψει μόνο τὸν σεισμό, ἀλλὰ καὶ τὴν κίνηση τοῦ φορτηγοῦ στὸν δρόμο. Οἱ φυσικοὶ φτάνουν στὰ ἀπώτατα ἄκρα γιὰ νὰ ἐλαττώσουν τέτοιες ἀνεπιθύμητες ἐπιδράσεις. Τοποθετοῦν τηλεσκόπια σὲ κορφὲς βουνῶν καὶ ὄχι στοὺς οὐρανοξύστες τοῦ Manhattan, θάβουν μετρητὲς νετρίνων χιλιόμετρα κάτω ἀπ’ τὸ ἔδαφος ἀντὶ νὰ τοὺς τοποθετήσουν στὸ γραφεῖο.
Ὁ κοινωνιολόγος ὅμως, δὲν ἔχει οὔτε αὐτὴ τὴν πολυτέλεια. Πρέπει νὰ χρησιμοποιήσει στατιστικὲς μεθόδους γιὰ νὰ προκαθορίσει ἢ νὰ ἀπαλείψει αὐτὲς τὶς ἐξωτερικὲς ἐπιδράσεις. Ἡ στατιστικὴ εἶναι ἡ μέθοδος γιὰ νὰ κοσκινίζουμε τὴν πολύτιμη τάξη μέσ’ ἀπὸ τὴν ἄμμο τῆς πολυπλοκότητας.
Οἱ ἐπιστήμονες ἀπὸ ἑκατοντάδες κιόλας χρόνια, γνώριζαν καλὰ ὅτι εἶναι πιθανὸν ἕνα ντετερμινιστικὸ σύστημα νὰ συμπεριφερθεῖ μ’ ἕναν φαινομενικὰ τυχαῖο τρόπο. Ἀλλὰ γνώριζαν ὅτι δὲν ἦταν ἀληθινὰ τυχαῖος, ἀπλῶς ἔδειχνε ἔτσι, λόγω ἔλλειψης στοιχείων. Γνώριζαν ἀκόμα ὅτι αὐτὸ τὸ “ἀπατηλὸ τυχαῖο” συνέβαινε μόνο σὲ πολὺ μεγάλα καὶ σύνθετα συστήματα — συστήματα μὲ ἐξαιρετικὰ πολλοὺς βαθμοὺς ἐλευθερίας, μὲ ἐξαιρετικὰ πολλὲς διαφορετικὲς μεταβλητὲς καὶ μὲ ἐξαιρετικὰ πολλὰ συστατικὰ μέρη. Συστήματα τῶν ὁποίων ἡ λεπτομερειακὴ συμπεριφορὰ θὰ ἔμενε γιὰ πάντα ἔξω ἀπὸ τὶς δυνατότητες τοῦ ἀνθρώπινου μυαλοῦ.
Κατὰ τὴν διάρκεια τοῦ 20ου αἰώνα, ἡ στατιστικὴ μεθοδολογία πῆρε τὴ θέση της, σὰν ἰσάξιος συμβαλλόμενος, δίπλα στὴ ντετερμινιστικὴ προτυποποίηση. Μιὰ νέα λέξη πλάστηκε γιὰ νὰ ἐκφράσει τὴ συνειδητοποίηση ὅτι ἀκόμα καὶ τὸ τυχαῖο ἔχει τοὺς νόμους του: ἡ λέξη στοχαστικό. Ἡ Ἑλληνικὴ λέξη στοχαστικὸς σημαίνει “ὁ ἱκανὸς στὴ σκόπευση”, καὶ ἔτσι ἀποδίδει τὸ νόημα τῆς χρησιμοποίησης, τῶν νόμων τοῦ τυχαίου πρὸς κάποια ὠφέλιμη κατεύθυνση.
Τὰ μαθηματικὰ τῶν στοχαστικῶν ἀνελίξεων — τῆς ἀλληλουχίας ἀποτελεσμάτων ποὺ καθορίζονται ἀπὸ τὴν ἐπίδραση τοῦ τυχαίου — ἄνθισαν παράλληλα μὲ τὰ μαθηματικὰ τῶν ντετερμινιστικῶν ἀνελίξεων.
Ἡ τάξη δὲν ἦταν πιὰ συνώνυμη μὲ τὸ νόμο, οὔτε καὶ ἡ ἀταξία συνώνυμη μὲ τὴν ἀπουσία νόμου. Καὶ ἡ τάξη καὶ ἡ ἀταξία εἶχαν νόμους. Ἀλλὰ νόμους ποὺ ἦταν δυὸ διαφορετικοὶ κώδικες συμπεριφορᾶς. Ἄλλος νόμος γιὰ τὸ τακτικό, ἄλλος γιὰ τὸ ἄτακτο. Δυὸ πρότυπα, δυὸ τεχνικές. Δυὸ τρόποι ἐνόρασης τοῦ κόσμου. Δυὸ μαθηματικὲς ἰδεολογίες ποὺ ἡ κάθε μία ἐφαρμόζεται μόνο μέσα στὴ δική της σφαίρα ἐπιρροῆς. Ὁ ντετερμινισμὸς γι’ἁπλὰ συστήματα μὲ λίγους βαθμοὺς ἐλευθερίας, ἡ στατιστικὴ γιὰ πολύπλοκα συστήματα μὲ πολλοὺς βαθμοὺς ἐλευθερίας. Ἕνα σύστημα ἢ ἦταν τυχαῖο, ἢ δὲν ἦταν. Ἂν ἦταν τυχαῖο, οἱ ἐπιστήμονες ἔψαχναν γιὰ κάτι στοχαστικό. Ἂν ὄχι, ξεσκόνιζαν τὶς ντετερμινιστικές τους ἐξισώσεις.
Ἔχουμε τελικὰ ἕνα πολὺ δύσκολο ἐρώτημα. Εἶναι δυνατὸν ἕνα ἁπλὸ ντετερμινιστικὸ σύστημα νὰ λειτουργήσει σὰν τυχαῖο σύστημα; Καὶ μόνο τὸ ἐρώτημα ἔρχεται σὲ ἀντίθεση μὲ τὴν κοινὴ διαίσθηση.
Ἡ ὅλη ἐξέλιξη τῆς ἐπιστήμης βασιζόταν στὴν πεποίθηση ὅτι γιὰ ν’ ἀνιχνεύσουμε τὴν ἁπλότητα στὴ φύση πρέπει νὰ βροῦμε ἁπλὲς ἐξισώσεις ποὺ νὰ τὴν περιγράφουν. Τί ἁπλοϊκὴ ἀντίληψη!
"Αἰὲν ἀριστεύειν καὶ ὑπείροχον ἔμμεναι ἄλλων, μηδὲ γένος πατέρων αἰσχυνέμεν»..
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
Poincare: Ὁ πατέρας τοῦ Χάους
Στὸ σημεῖο αὐτὸ τῆς Ἱστορίας, μόνο μία ἀντίθετη φωνὴ ἀκούστηκε, τοῦ Poincare, κι αὐτὴ ἦταν μία ἀχνή, ἀβέβαιη, διστακτικὴ νύξη γιὰ μελλοντικὰ προβλήματα, μιὰ φωνὴ ποὺ ὑψώθηκε μόνο μιὰ φορᾶ καὶ μετὰ σιώπησε. Μιὰ φωνὴ ποὺ — κι ἂν κάποτε ἀκούστηκε — ἀγνοήθηκε. Ἦταν ἡ φωνὴ ἑνὸς ἀνθρώπου ποὺ ἀναντίρρητα ὑπῆρξε ὁ σπουδαιότερος μαθηματικὸς τῆς ἐποχῆς του, ἄλλος ἕνας ριζοσπάστης τῆς πολυτάραχης ἐπιστήμης τῆς δυναμικῆς. Δημιούργησε ἕνα ὁλοκληρωτικὰ καινούργιο πεδίο στὰ μαθηματικὰ σὰν ἕνα παραπροϊόν. Ἦταν ἡ φωνὴ ἑνὸς ἀνθρώπου ποὺ ἄγγιξε τὸ χάος…. Κι ἔνιωσε τρόμο.
Στὰ τέλη τοῦ 19ου αἰώνα ὁ Γάλλος μαθηματικὸς καὶ ἀστρονόμος Henri Poincare (1854 – 1912), ἔκανε μία ἀνακάλυψη ποὺ ἔμελλε νὰ ἀλλάξει τὰ θεμέλια τῆς Νευτώνιας μηχανικῆς, καὶ νὰ ἀποτελέσει ἔτσι τὴ γέννηση ἑνὸς νέου κλάδου τῆς ἐπιστήμης: τοῦ Χάους.
Συγκεκριμένα ὁ Poincare διαπίστωσε πὼς τὸ πρόβλημα τῶν τριῶν σωμάτων (μελέτησε τὸ πρόβλημα τοῦ Ἥλιου, τῆς Γῆς καὶ τῆς Σελήνης) ἦταν καὶ παραμένει ἄλυτο. Ἄρα, δὲν μπορεῖ νὰ προβλεφθεῖ ἡ τροχιὰ ὁποιουδήποτε οὐράνιου σώματος ποὺ δέχεται τὴν ἐπίδραση δυὸ ἡ περισσοτέρων ἄλλων σωμάτων. Ἡ προσπάθεια λοιπὸν νὰ ὑπολογιστεῖ ἡ τροχιὰ πχ τοῦ Πλούτωνα, δὲν εἶναι δυνατή, ἀφοῦ δέχεται τὴν ἐπίδραση τοῦ ἥλιου καὶ ἄλλων ὀκτῶ πλανητῶν.
Ο Poincare ἀποκάλυψε τὸ χάος στὸ Ἡλιακὸ σύστημα καὶ μαζὶ ἀνακάλυψε τὴν ἀπρόβλεπτη ἐξέλιξη ἑνὸς μὴ γραμμικοῦ συστήματος. Εἶχε κατανοήσει πὼς πολὺ μικρὲς ἐπιδράσεις μποροῦν νὰ μεγεθυνθοῦν μέσω τῆς ἀνάδρασης. Γι’ αὐτὸ καὶ διατύπωσε τὴν ἄποψη “Μιὰ ἐλάχιστη αἰτία ποὺ διαφεύγει τῆς προσοχῆς μπορεῖ νὰ προκαλέσει ἕνα σημαντικὸ ἀποτέλεσμα”.
Ἡ γέννηση τοῦ χάους καὶ τοῦ ἀπρόβλεπτου ἦταν γεγονός. Ἀλλὰ χρειάστηκε νὰ περάσουν 80 χρόνια ἀπὸ τότε γιὰ νὰ συνειδητοποιήσουν οἱ ἀστρονόμοι καὶ οἱ ὑπόλοιποι ἐπιστήμονες τὴ σπουδαιότητα αὐτῆς τῆς ἀνακάλυψης. Τὸ 1954 πρῶτος τὴν κατανόησε ὁ σοβιετικὸς ἐπιστήμονας A.Kolmogorov καὶ ἀκολούθησαν καὶ ἄλλοι.
Ὁ πρῶτος ὅμως ποὺ διέκρινε πὼς ἡ ἐπανάληψη (iteration) γεννὰ τὸ χάος, ἀνήκει στὸν Ἀμερικανὸ μετεωρολόγο Edward Lorenz ποὺ ἐργαζόταν στὸ MIT. Στὰ μέσα του χειμώνα 1961, ἐργαζόταν στὸν ὑπολογιστὴ τοῦ ΜΙΤ γιὰ νὰ λύσει μερικὲς μὴ γραμμικὲς ἐξισώσεις ποὺ περιέγραφαν τὸ μοντέλο τῆς γήινης ἀτμόσφαιρας.
Κάποια ἡμέρα γιὰ νὰ ἐλέγξει μία πρόγνωση ποὺ εἶχε πάρει ἀπὸ τὸν ὑπολογιστή, ξαναέδωσε τὰ δεδομένα του γιὰ τὴ θερμοκρασία, τὴν ἀτμοσφαιρικὴ πίεση καὶ τὴ διεύθυνση τοῦ ἀνέμου ἀλλὰ αὐτὴ τὴ φορὰ μὲ στρογγυλοποιημένους ἀριθμούς. Καὶ περίμενε νὰ τοῦ βγάλει ὁ ὑπολογιστὴς τὴν ἴδια πρόγνωση. Τὸ ἀποτέλεσμα ὅμως τὸν σόκαρε. Τὰ νέα ἀποτελέσματα ἦταν τελείως διαφορετικά. Ἀμέσως κατάλαβε πὼς ἡ μεγένθυση τῶν διαφορῶν ὀφείλεται στὸ συνδυασμὸ μὴ γραμμικότητας καὶ ἐπανάληψης. Γιὰ τὴν ἱστορία, ἀναφέρουμε πὼς ἀντὶ νὰ βάλει τὸν ἀριθμὸ 0.506127 μὲ ἕξι δεκαδικὰ ψηφία, ἔβαλε 0.506. Ἀπὸ μία ἄποψη ἦταν ἀπόλυτα λογικὴ σκέψη.
Στὴν εἰκόνα φαίνεται μία ἐκτύπωση ποὺ πῆρε ὁ Lorenz τὸ 1961. Ἀπὸ τὸ ἴδιο σημεῖο ἐκκίνησης ὁ Lorenz εἶδε τὸν καιρὸ ποὺ ἔδινε ὁ ὑπολογιστὴς τῆς IBM νὰ δημιουργεῖ σχήματα ποὺ ἐξελίσσονταν ὅλο καὶ πιὸ διαφορετικὰ μέχρι ποὺ κάθε ὁμοιότητα ἐξαφανίστηκε.
Στὸν ἴδιο, τὸν Lorenz ὀφείλεται καὶ ἡ θεωρία γιὰ τὴν πεταλούδα ποὺ πετάει στὸ Χόνκ-Κὸνκ καὶ μπορεῖ νὰ δημιουργήσει καταιγίδα στὴ Νέα Ὑόρκη. Ξαφνικὰ οἱ ἐπιστήμονες συνειδητοποίησαν πὼς σὲ αἰτιοκρατικὰ δυναμικὰ συστήματα, ἡ δυνατότητα γέννησης τοῦ χάους (μὴ προβλεψιμότητας) παραμονεύει σὲ κάθε λεπτομέρεια. Καὶ ὄπως ἔλεγε ὁ Lorenz: Κάθε φυσικὸ σύστημα ποὺ συμπεριφέρεται μὲ μὴ περιοδικὸ τρόπο δὲν εἶναι προβλέψιμο.
Στὸ σημεῖο αὐτὸ τῆς Ἱστορίας, μόνο μία ἀντίθετη φωνὴ ἀκούστηκε, τοῦ Poincare, κι αὐτὴ ἦταν μία ἀχνή, ἀβέβαιη, διστακτικὴ νύξη γιὰ μελλοντικὰ προβλήματα, μιὰ φωνὴ ποὺ ὑψώθηκε μόνο μιὰ φορᾶ καὶ μετὰ σιώπησε. Μιὰ φωνὴ ποὺ — κι ἂν κάποτε ἀκούστηκε — ἀγνοήθηκε. Ἦταν ἡ φωνὴ ἑνὸς ἀνθρώπου ποὺ ἀναντίρρητα ὑπῆρξε ὁ σπουδαιότερος μαθηματικὸς τῆς ἐποχῆς του, ἄλλος ἕνας ριζοσπάστης τῆς πολυτάραχης ἐπιστήμης τῆς δυναμικῆς. Δημιούργησε ἕνα ὁλοκληρωτικὰ καινούργιο πεδίο στὰ μαθηματικὰ σὰν ἕνα παραπροϊόν. Ἦταν ἡ φωνὴ ἑνὸς ἀνθρώπου ποὺ ἄγγιξε τὸ χάος…. Κι ἔνιωσε τρόμο.
Στὰ τέλη τοῦ 19ου αἰώνα ὁ Γάλλος μαθηματικὸς καὶ ἀστρονόμος Henri Poincare (1854 – 1912), ἔκανε μία ἀνακάλυψη ποὺ ἔμελλε νὰ ἀλλάξει τὰ θεμέλια τῆς Νευτώνιας μηχανικῆς, καὶ νὰ ἀποτελέσει ἔτσι τὴ γέννηση ἑνὸς νέου κλάδου τῆς ἐπιστήμης: τοῦ Χάους.
Συγκεκριμένα ὁ Poincare διαπίστωσε πὼς τὸ πρόβλημα τῶν τριῶν σωμάτων (μελέτησε τὸ πρόβλημα τοῦ Ἥλιου, τῆς Γῆς καὶ τῆς Σελήνης) ἦταν καὶ παραμένει ἄλυτο. Ἄρα, δὲν μπορεῖ νὰ προβλεφθεῖ ἡ τροχιὰ ὁποιουδήποτε οὐράνιου σώματος ποὺ δέχεται τὴν ἐπίδραση δυὸ ἡ περισσοτέρων ἄλλων σωμάτων. Ἡ προσπάθεια λοιπὸν νὰ ὑπολογιστεῖ ἡ τροχιὰ πχ τοῦ Πλούτωνα, δὲν εἶναι δυνατή, ἀφοῦ δέχεται τὴν ἐπίδραση τοῦ ἥλιου καὶ ἄλλων ὀκτῶ πλανητῶν.
Ο Poincare ἀποκάλυψε τὸ χάος στὸ Ἡλιακὸ σύστημα καὶ μαζὶ ἀνακάλυψε τὴν ἀπρόβλεπτη ἐξέλιξη ἑνὸς μὴ γραμμικοῦ συστήματος. Εἶχε κατανοήσει πὼς πολὺ μικρὲς ἐπιδράσεις μποροῦν νὰ μεγεθυνθοῦν μέσω τῆς ἀνάδρασης. Γι’ αὐτὸ καὶ διατύπωσε τὴν ἄποψη “Μιὰ ἐλάχιστη αἰτία ποὺ διαφεύγει τῆς προσοχῆς μπορεῖ νὰ προκαλέσει ἕνα σημαντικὸ ἀποτέλεσμα”.
Ἡ γέννηση τοῦ χάους καὶ τοῦ ἀπρόβλεπτου ἦταν γεγονός. Ἀλλὰ χρειάστηκε νὰ περάσουν 80 χρόνια ἀπὸ τότε γιὰ νὰ συνειδητοποιήσουν οἱ ἀστρονόμοι καὶ οἱ ὑπόλοιποι ἐπιστήμονες τὴ σπουδαιότητα αὐτῆς τῆς ἀνακάλυψης. Τὸ 1954 πρῶτος τὴν κατανόησε ὁ σοβιετικὸς ἐπιστήμονας A.Kolmogorov καὶ ἀκολούθησαν καὶ ἄλλοι.
Ὁ πρῶτος ὅμως ποὺ διέκρινε πὼς ἡ ἐπανάληψη (iteration) γεννὰ τὸ χάος, ἀνήκει στὸν Ἀμερικανὸ μετεωρολόγο Edward Lorenz ποὺ ἐργαζόταν στὸ MIT. Στὰ μέσα του χειμώνα 1961, ἐργαζόταν στὸν ὑπολογιστὴ τοῦ ΜΙΤ γιὰ νὰ λύσει μερικὲς μὴ γραμμικὲς ἐξισώσεις ποὺ περιέγραφαν τὸ μοντέλο τῆς γήινης ἀτμόσφαιρας.
Κάποια ἡμέρα γιὰ νὰ ἐλέγξει μία πρόγνωση ποὺ εἶχε πάρει ἀπὸ τὸν ὑπολογιστή, ξαναέδωσε τὰ δεδομένα του γιὰ τὴ θερμοκρασία, τὴν ἀτμοσφαιρικὴ πίεση καὶ τὴ διεύθυνση τοῦ ἀνέμου ἀλλὰ αὐτὴ τὴ φορὰ μὲ στρογγυλοποιημένους ἀριθμούς. Καὶ περίμενε νὰ τοῦ βγάλει ὁ ὑπολογιστὴς τὴν ἴδια πρόγνωση. Τὸ ἀποτέλεσμα ὅμως τὸν σόκαρε. Τὰ νέα ἀποτελέσματα ἦταν τελείως διαφορετικά. Ἀμέσως κατάλαβε πὼς ἡ μεγένθυση τῶν διαφορῶν ὀφείλεται στὸ συνδυασμὸ μὴ γραμμικότητας καὶ ἐπανάληψης. Γιὰ τὴν ἱστορία, ἀναφέρουμε πὼς ἀντὶ νὰ βάλει τὸν ἀριθμὸ 0.506127 μὲ ἕξι δεκαδικὰ ψηφία, ἔβαλε 0.506. Ἀπὸ μία ἄποψη ἦταν ἀπόλυτα λογικὴ σκέψη.
Στὴν εἰκόνα φαίνεται μία ἐκτύπωση ποὺ πῆρε ὁ Lorenz τὸ 1961. Ἀπὸ τὸ ἴδιο σημεῖο ἐκκίνησης ὁ Lorenz εἶδε τὸν καιρὸ ποὺ ἔδινε ὁ ὑπολογιστὴς τῆς IBM νὰ δημιουργεῖ σχήματα ποὺ ἐξελίσσονταν ὅλο καὶ πιὸ διαφορετικὰ μέχρι ποὺ κάθε ὁμοιότητα ἐξαφανίστηκε.
Στὸν ἴδιο, τὸν Lorenz ὀφείλεται καὶ ἡ θεωρία γιὰ τὴν πεταλούδα ποὺ πετάει στὸ Χόνκ-Κὸνκ καὶ μπορεῖ νὰ δημιουργήσει καταιγίδα στὴ Νέα Ὑόρκη. Ξαφνικὰ οἱ ἐπιστήμονες συνειδητοποίησαν πὼς σὲ αἰτιοκρατικὰ δυναμικὰ συστήματα, ἡ δυνατότητα γέννησης τοῦ χάους (μὴ προβλεψιμότητας) παραμονεύει σὲ κάθε λεπτομέρεια. Καὶ ὄπως ἔλεγε ὁ Lorenz: Κάθε φυσικὸ σύστημα ποὺ συμπεριφέρεται μὲ μὴ περιοδικὸ τρόπο δὲν εἶναι προβλέψιμο.
"Αἰὲν ἀριστεύειν καὶ ὑπείροχον ἔμμεναι ἄλλων, μηδὲ γένος πατέρων αἰσχυνέμεν»..
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
Ἐλκυστὲς
Ἕνας τρόπος νὰ παρουσιάσουμε ὀπτικὰ τὴν χαοτικὴ κίνηση ἢ ὁποιαδήποτε ἄλλη κίνηση, εἶναι ἡ κατασκευὴ ἑνὸς διαγράμματος φάσης τῆς κίνησης. Σὲ ἕνα τέτοιο διάγραμμα ὑπεισέρχεται σιωπηρὰ ὁ χρόνος καὶ σὲ κάθε ἄξονα ἀναπαρίσταται μία μεταβλητή της κατάστασης. Γιὰ παράδειγμα, θὰ μποροῦσε κάποιος νὰ ἀναπαραστήσει τὴν θέση ἑνὸς ἐκκρεμοῦς σὲ σχέση μὲ τὴν ταχύτητά του. Ἕνα ἐκκρεμὲς σὲ ἀκινησία θὰ σχεδιαστεῖ ὦς ἕνα σημεῖο καὶ ἕνα σὲ περιοδικὴ κίνηση θὰ σχεδιαστεῖ ὦς ἁπλὴ κλειστῆ καμπύλη. Ὅταν ἕνα τέτοιο σχέδιο σχηματίζει κλειστὴ καμπύλη, ἡ καμπύλη λέγεται τροχιά. Τὸ ἐκκρεμὲς μπορεῖ νὰ παρουσιάσει ἄπειρες τέτοιες τροχιές.
Συχνὰ τὰ διαγράμματα φάσης ἀποκαλύπτουν ὅτι ἡ πλειοψηφία τῶν τροχιῶν καταλήγουν νὰ πλησιάζουν ἕνα κοινὸ ὅριο. Τὸ σύστημα τελικὰ ἐκτελεῖ τὴν ἴδια κίνηση γιὰ ὅλες τὶς ἀρχικὲς καταστάσεις σὲ μία περιοχὴ γύρω ἀπὸ τὴν κίνηση, σχεδὸν σὰν νὰ ἕλκεται τὸ σύστημα σὲ αὐτὴ τὴν κίνηση. Μιὰ τέτοια ἑλκυστικὴ κίνηση καλεῖται ἑλκυστῆς τοῦ συστήματος.
Ἕνας εὔκολος τρόπος νὰ ἀπεικονιστεῖ ἕνας χαοτικὸς ἑλκυστῆς εἶναι νὰ ἀρχίσει μὲ ἕνα σημεῖο στὴ ‘λεκάνη’ τῆς ἕλξης τοῦ ἑλκυστῆ, καὶ ἔπειτα ἁπλὰ νὰ σχεδιαστεῖ ἡ ἑπόμενη τροχιά του. Κι αὐτὸ πιθανὰ μπορεῖ νὰ παραγάγει μία εἰκόνα ὁλόκληρού του τελικοῦ ἑλκυστῆ.
Ἕνα διάγραμμα τοῦ παράξενου ἑλκυστῆ Lorenz γιὰ τιμὲς r = 28, σ = 10, b = 8/3
Παραδείγματος χάριν, σὲ ἕνα σύστημα ποὺ περιγράφει ἕνα ἐκκρεμές, τὸ διάστημα φάσης μπορεῖ νὰ εἶναι δισδιάστατο, ποὺ περιέχει πληροφορίες γιὰ τὴ θέση καὶ τὴν ταχύτητα. Ἔτσι, μπορεῖ νὰ σχεδιαστεῖ ἡ θέση x ἑνὸς ἐκκρεμοῦς ὦς πρὸς στὴν ταχύτητά του u. Ἕνα ἐκκρεμὲς σὲ ἠρεμία θὰ σχεδιαστεῖ ὦς ἕνα σημεῖο, καὶ ἕνα ἐκκρεμὲς σὲ περιοδικὴ κίνηση θὰ σχεδιαστεῖ ὦς μιὰ ἁπλὴ κλειστῆ καμπύλη. Ὅταν μία τέτοια κίνηση σχηματίζει μία κλειστῆ καμπύλη, ἡ καμπύλη τότε λέγεται τροχιά. Τὸ ἐκκρεμὲς αὐτὸ ἔχει ἕναν ἄπειρο ἀριθμὸ τέτοιων τροχιῶν, ποὺ σχηματίζουν ἕνα σχέδιο ἔνθετων ἐλλείψεων.
Παράξενοι ἐλκυστὲς
Ἐνῶ οἱ περισσότεροι ἀπὸ τοὺς τύπους τῶν προαναφερθέντων περιοδικῶν κινήσεων προκαλοῦν πολὺ ἁπλοὺς ἐλκυστές, ὄπως σημεῖα καὶ καμπύλες σὰν κύκλους ποὺ λέγονται κύκλοι ὁρίου, ἡ χαοτικὴ κίνηση προκαλεῖ αὐτὸ ποὺ εἶναι γνωστὸ ὦς παράξενους ἐλκυστές, δηλαδὴ ἐλκυστὲς ποὺ μποροῦν νὰ ἔχουν μεγάλες λεπτομέρειες καὶ μία πολυπλοκότητα. Παραδείγματος χάριν, ἕνα ἁπλὸ τρισδιάστατο μοντέλο τοῦ καιρικοῦ συστήματος τοῦ Lorenz προκαλεῖ τὸ διάσημο ἑλκυστῆ τοῦ Lorenz (πάνω σχῆμα). Ὁ ἑλκυστῆς τοῦ Lorenz εἶναι ἴσως ἕνα ἀπὸ τὰ πιὸ γνωστὰ χαοτικὰ διαγράμματα συστημάτων, ἐπειδὴ πιθανῶς ἦταν ὄχι μόνο ἀπὸ τὰ πρῶτα διαγράμματα, ἀλλὰ ἐπειδὴ εἶναι ἕνα ἀπὸ τὸ πιὸ σύνθετο καὶ σὲ αὐτὴ τὴ μορφὴ εἶναι ἕνα πολὺ ἐνδιαφέρον σχέδιο ποὺ μοιάζει μὲ τὰ φτερὰ μίας πεταλούδας. Ἕνας ἄλλος τέτοιος ἑλκυστῆς.
Οἱ παράξενοι ἐλκυστὲς ἐμφανίζονται καὶ στὰ συνεχῆ δυναμικὰ συστήματα (ὄπως τὸ σύστημα τοῦ Lorenz) καὶ σὲ μερικὰ ἰδιαίτερα ἄλλα συστήματα. Ἐπίσης, ἄλλα ἰδιαίτερα δυναμικὰ συστήματα λέγονται σύνολο Julia, ποὺ σχηματίζονται στὸ ὅριο μεταξὺ τῶν λεκανῶν τῆς ἕλξης τῶν σταθερῶν σημείων – τὰ σύνολα τῆς Julia μποροῦν νὰ θεωρηθοῦν ὦς παράξενοι ἀπωθητές. Καὶ οἱ παράξενοι ἐλκυστὲς καὶ τὰ σύνολα Julia ἔχουν χαρακτηριστικὰ μιὰ φράκταλ δομῆς.
Ἕνας τρόπος νὰ παρουσιάσουμε ὀπτικὰ τὴν χαοτικὴ κίνηση ἢ ὁποιαδήποτε ἄλλη κίνηση, εἶναι ἡ κατασκευὴ ἑνὸς διαγράμματος φάσης τῆς κίνησης. Σὲ ἕνα τέτοιο διάγραμμα ὑπεισέρχεται σιωπηρὰ ὁ χρόνος καὶ σὲ κάθε ἄξονα ἀναπαρίσταται μία μεταβλητή της κατάστασης. Γιὰ παράδειγμα, θὰ μποροῦσε κάποιος νὰ ἀναπαραστήσει τὴν θέση ἑνὸς ἐκκρεμοῦς σὲ σχέση μὲ τὴν ταχύτητά του. Ἕνα ἐκκρεμὲς σὲ ἀκινησία θὰ σχεδιαστεῖ ὦς ἕνα σημεῖο καὶ ἕνα σὲ περιοδικὴ κίνηση θὰ σχεδιαστεῖ ὦς ἁπλὴ κλειστῆ καμπύλη. Ὅταν ἕνα τέτοιο σχέδιο σχηματίζει κλειστὴ καμπύλη, ἡ καμπύλη λέγεται τροχιά. Τὸ ἐκκρεμὲς μπορεῖ νὰ παρουσιάσει ἄπειρες τέτοιες τροχιές.
Συχνὰ τὰ διαγράμματα φάσης ἀποκαλύπτουν ὅτι ἡ πλειοψηφία τῶν τροχιῶν καταλήγουν νὰ πλησιάζουν ἕνα κοινὸ ὅριο. Τὸ σύστημα τελικὰ ἐκτελεῖ τὴν ἴδια κίνηση γιὰ ὅλες τὶς ἀρχικὲς καταστάσεις σὲ μία περιοχὴ γύρω ἀπὸ τὴν κίνηση, σχεδὸν σὰν νὰ ἕλκεται τὸ σύστημα σὲ αὐτὴ τὴν κίνηση. Μιὰ τέτοια ἑλκυστικὴ κίνηση καλεῖται ἑλκυστῆς τοῦ συστήματος.
Ἕνας εὔκολος τρόπος νὰ ἀπεικονιστεῖ ἕνας χαοτικὸς ἑλκυστῆς εἶναι νὰ ἀρχίσει μὲ ἕνα σημεῖο στὴ ‘λεκάνη’ τῆς ἕλξης τοῦ ἑλκυστῆ, καὶ ἔπειτα ἁπλὰ νὰ σχεδιαστεῖ ἡ ἑπόμενη τροχιά του. Κι αὐτὸ πιθανὰ μπορεῖ νὰ παραγάγει μία εἰκόνα ὁλόκληρού του τελικοῦ ἑλκυστῆ.
Ἕνα διάγραμμα τοῦ παράξενου ἑλκυστῆ Lorenz γιὰ τιμὲς r = 28, σ = 10, b = 8/3
Παραδείγματος χάριν, σὲ ἕνα σύστημα ποὺ περιγράφει ἕνα ἐκκρεμές, τὸ διάστημα φάσης μπορεῖ νὰ εἶναι δισδιάστατο, ποὺ περιέχει πληροφορίες γιὰ τὴ θέση καὶ τὴν ταχύτητα. Ἔτσι, μπορεῖ νὰ σχεδιαστεῖ ἡ θέση x ἑνὸς ἐκκρεμοῦς ὦς πρὸς στὴν ταχύτητά του u. Ἕνα ἐκκρεμὲς σὲ ἠρεμία θὰ σχεδιαστεῖ ὦς ἕνα σημεῖο, καὶ ἕνα ἐκκρεμὲς σὲ περιοδικὴ κίνηση θὰ σχεδιαστεῖ ὦς μιὰ ἁπλὴ κλειστῆ καμπύλη. Ὅταν μία τέτοια κίνηση σχηματίζει μία κλειστῆ καμπύλη, ἡ καμπύλη τότε λέγεται τροχιά. Τὸ ἐκκρεμὲς αὐτὸ ἔχει ἕναν ἄπειρο ἀριθμὸ τέτοιων τροχιῶν, ποὺ σχηματίζουν ἕνα σχέδιο ἔνθετων ἐλλείψεων.
Παράξενοι ἐλκυστὲς
Ἐνῶ οἱ περισσότεροι ἀπὸ τοὺς τύπους τῶν προαναφερθέντων περιοδικῶν κινήσεων προκαλοῦν πολὺ ἁπλοὺς ἐλκυστές, ὄπως σημεῖα καὶ καμπύλες σὰν κύκλους ποὺ λέγονται κύκλοι ὁρίου, ἡ χαοτικὴ κίνηση προκαλεῖ αὐτὸ ποὺ εἶναι γνωστὸ ὦς παράξενους ἐλκυστές, δηλαδὴ ἐλκυστὲς ποὺ μποροῦν νὰ ἔχουν μεγάλες λεπτομέρειες καὶ μία πολυπλοκότητα. Παραδείγματος χάριν, ἕνα ἁπλὸ τρισδιάστατο μοντέλο τοῦ καιρικοῦ συστήματος τοῦ Lorenz προκαλεῖ τὸ διάσημο ἑλκυστῆ τοῦ Lorenz (πάνω σχῆμα). Ὁ ἑλκυστῆς τοῦ Lorenz εἶναι ἴσως ἕνα ἀπὸ τὰ πιὸ γνωστὰ χαοτικὰ διαγράμματα συστημάτων, ἐπειδὴ πιθανῶς ἦταν ὄχι μόνο ἀπὸ τὰ πρῶτα διαγράμματα, ἀλλὰ ἐπειδὴ εἶναι ἕνα ἀπὸ τὸ πιὸ σύνθετο καὶ σὲ αὐτὴ τὴ μορφὴ εἶναι ἕνα πολὺ ἐνδιαφέρον σχέδιο ποὺ μοιάζει μὲ τὰ φτερὰ μίας πεταλούδας. Ἕνας ἄλλος τέτοιος ἑλκυστῆς.
Οἱ παράξενοι ἐλκυστὲς ἐμφανίζονται καὶ στὰ συνεχῆ δυναμικὰ συστήματα (ὄπως τὸ σύστημα τοῦ Lorenz) καὶ σὲ μερικὰ ἰδιαίτερα ἄλλα συστήματα. Ἐπίσης, ἄλλα ἰδιαίτερα δυναμικὰ συστήματα λέγονται σύνολο Julia, ποὺ σχηματίζονται στὸ ὅριο μεταξὺ τῶν λεκανῶν τῆς ἕλξης τῶν σταθερῶν σημείων – τὰ σύνολα τῆς Julia μποροῦν νὰ θεωρηθοῦν ὦς παράξενοι ἀπωθητές. Καὶ οἱ παράξενοι ἐλκυστὲς καὶ τὰ σύνολα Julia ἔχουν χαρακτηριστικὰ μιὰ φράκταλ δομῆς.
"Αἰὲν ἀριστεύειν καὶ ὑπείροχον ἔμμεναι ἄλλων, μηδὲ γένος πατέρων αἰσχυνέμεν»..
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
Ἐπιστροφὴ στὸν Ὑπερίωνα
Τὸ πιὸ συνηθισμένο σχῆμα γιὰ τὰ οὐράνια σώματα εἶναι ἡ σφαίρα, ἤ, γιὰ τὴν ἀκρίβεια, τὸ σφαιροειδές: ἡ Γῆ, γιὰ παράδειγμα εἶναι πεπλατυσμένη στοὺς πόλους τῆς κατὰ ἕνα μικρὸ ποσοστό. Ἀντίθετα, ὁ Ὑπερίων, ἔχει σχῆμα ἐλλειψοειδές, τοῦ ὁποίου οἱ κύριοι ἄξονες (μῆκος, πλάτος’ ὕψος) εἶναι 190 χλμ., 145 χλμ
Σύμφωνα μὲ τὶς ἀνακαλύψεις τοῦ Κέπλερ καὶ τοῦ Νεύτωνα, ἡ τροχιὰ τοῦ Ὑπερίωνα γύρω ἀπὸ τὸν Κρόνο εἶναι ἐλλειπτική. Ὁ βαθμὸς κατὰ τὸν ὁποῖο μιὰ ἔλλειψη ἀποκλίνει ἀπὸ τὸ κυκλικὸ σχῆμα, μετριέται ἀπὸ μία ποσότητα γνωστὴ ὦς ἐκκεντρότητα: ἡ τροχιὰ τοῦ Ὑπερίωνα ἔχει ἐκκεντρότητα γύρω στὸ δέκα τὶς ἑκατό. Αὐτὸ τὸ ποσοστὸ εἶναι ἀσυνήθιστα μεγάλο γιὰ τοὺς πλανῆτες καὶ τοὺς δορυφόρους τοῦ Ἡλιακοῦ Συστήματος, ἀλλὰ σημαίνει ἀπλῶς ὅτι ἡ τροχιὰ εἶναι ἕνας ἐλαφρὰ πεπλατυσμένος κύκλος.
Ἡ θέση τοῦ Ὑπερίωνα πάνω στὴν τροχιὰ τοῦ εἶναι κανονικὴ καὶ προβλέψιμη. Θὰ μπορούσαμε νὰ τὴν καταγράψουμε δεκαετίες πιὸ πρίν, μὲ χρονικὴ ἀκρίβεια κλασμάτων τοῦ δευτερολέπτου. Αὐτὸ ποὺ κάνει τὸν Ὑπερίωνα μοναδικὸ ἀνάμεσα σ’ ὅλους τους δορυφόρους καὶ τοὺς πλανῆτες τοῦ Ἡλίου εἶναι οἱ διακυμάνσεις τοῦ πάνω στὴν τροχιά: οἱ μεταβολὲς τῶν διευθύνσεων τοῦ πρὸς τὶς ὁποῖες στρέφονται οἱ τρεῖς ἄξονές του. Οἱ περισσότεροι πλανῆτες προχωροῦν κυλώντας σὰν μπάλες ποδοσφαίρου πάνω σὲ ὁμαλὸ γήπεδο.
Ὁ Ὑπερίων μοιάζει περισσότερο μὲ μπάλα τοῦ ράγκμπυ ποὺ ἀναπηδᾶ πάνω σὲ πεδίο μάχης. Ἂν μπορούσαμε νὰ καθηλώσουμε τὸ κέντρο του, καὶ νὰ παρακολουθήσουμε τὴν κίνηση τοῦ ὦς πρὸς αὐτό, θὰ τὸν βλέπαμε νὰ λικνίζεται σχεδὸν τυχαία πρὸς κάθε κατεύθυνση. Ἡ θέση του στὴν τροχιά, καὶ ἡ στάση τοῦ καθορίζονται ἀπὸ τοὺς ἴδιους φυσικοὺς νόμους, ἀπὸ τὶς ἴδιες μαθηματικὲς ἐξισώσεις. Ἡ θέση τοῦ ἀντιστοιχεῖ σὲ μία κανονικὴ λύση αὐτῶν τῶν ἐξισώσεων, ἡ συμπεριφορά του, ὅμως, ἀντιστοιχεῖ σὲ μία μὴ κανονικὴ λύση.
Οἱ “τοῦμπες τοῦ Ὑπερίωνα δὲν ὀφείλονται σὲ τυχαῖες ἐξωτερικὲς ἐπιδράσεις, ἄλλα σὲ δυναμικὸ χάος. Γιατί ὁ Ὑπερίωνας εἶναι χαοτικός; Κι ἀφοῦ αὐτὸς εἶναι χαοτικός, γιατί ὅλα τὰ ἄλλα οὐράνια σώματα εἶναι κανονικά; Μήπως ἐπειδὴ ἔχει σχῆμα πατάτας; Μήπως ὅλες οἱ πατάτες εἶναι χαοτικές;
Καθόλου. Οἱ αἰτίες εἶναι πιὸ λεπτές, πιὸ σύνθετες, καὶ πιὸ ἐνδιαφέρουσες. Ἡ χαοτικὴ κίνηση τοῦ Ὑπερίωνα ὀφείλεται σὲ μία κοσμικὴ σύμπτωση. Στὴν ἱστορία τοῦ Ἡλιακοῦ Συστήματος, πολλὰ οὐράνια σώματα ἔχουν εἰσέλθει – καὶ ἔχουν ἐξέλθει – σὲ κάποια περίοδο δυναμικοῦ χάους Συμβαίνει, ὅμως, ὁ Ὑπερίωνας νὰ ὑφίσταται αὐτὴν τὴν διαδικασία ἀκριβῶς τὴν ἐποχὴ ποὺ τὸ ἀνθρώπινο γένος ἄρχισε νὰ ἐνδιαφέρεται γι’ αὐτήν.
Νομίζουμε ὅτι εἴμαστε σὲ θέση νὰ καταλάβουμε πὼς βρέθηκε ὁ Ὑπερίων στὴν τωρινὴ χαοτικὴ κατάστασή του.
Στὸ μακρινὸ παρελθόν, ἡ περίοδος περιστροφῆς τοῦ Ὑπερίωνα γύρω ἀπ’ τὸν ἑαυτό του (”ἡ ἡμέρα”) ἦταν συντομότερη σὲ σχέση μὲ τὴν περίοδο τῆς τροχιᾶς τοῦ (”τὸ ἔτος”). Ἡ κίνηση τοῦ ἦταν τότε κανονικὴ καὶ ἠμιπεριοδική. Μὲ τὴν πάροδο τῶν αἰώνων, οἱ παλιρροϊκὲς δυνάμεις τοῦ Κρόνου μείωσαν τὴν ταχύτητα τῶν περιστροφῶν του καὶ ἀνόρθωσαν τελικὰ τὸν Ὑπερίωνα, ἔτσι ὥστε ὁ ἄξονας περιστροφῆς του νὰ γίνει ὁ μεγαλύτερος ἀδρανειακὸς ἄξονας καὶ νὰ τεθεῖ κάθετος πρὸς τὸ ἐπίπεδό της τροχιᾶς. Ὡστόσο ἀπὸ τότε ποὺ ὁ Ὑπερίων ἔχασε ἐνέργεια ἀρκετὴ ὥστε νὰ εἰσαχθεῖ στὴ χαοτικὴ περιοχή, τὸ ἀποτέλεσμα ἑκατομμυρίων ἐτῶν ἀνατράπηκε μέσα σὲ λίγες μόνο μέρες. Μέσα σὲ τρεῖς ἢ τέσσερις τροχιακὲς περιστροφές, ὁ Ὑπερίων ἄρχισε νὰ κατρακυλᾶ πρὸς ὅλες τὶς κατευθύνσεις.
Θὰ πρέπει νὰ ἀναφέρουμε ὅτι αὐτὴ ἡ πρόβλεψη τοῦ χαοτικοῦ κατρακυλίσματος τοῦ Ὑπερίωνα δὲν ἔχει ἀκόμη ἀπόλυτα ἑδραιωθεῖ ἀπὸ ἄμεσες παρατηρήσεις. Ὅμως, οἱ φωτογραφίες τοῦ Voyager συμφωνοῦν μὲ τὸ χαοτικὸ κατρακύλισμα, ἐνῶ δὲν συμφωνοῦν μὲ καμιὰ γνωστὴ κανονικὴ κατάσταση. Ἡ θεωρία μοιάζει μὲ πολὺ σίγουρο στοίχημα. Ἴσως κατορθώσουμε νὰ τὴν ἐλέγξουμε γιὰ μία μεγαλύτερη χρονικὴ περίοδο ἀναλύοντας τὴν ἔνταση τοῦ φωτὸς ποὺ ἐπιστρέφει στὴ Γῆ μετὰ ἀπὸ ἀνάκλαση πάνω στὸν Ὑπερίωνα: θὰ πρέπει κι αὐτὸ νὰ μεταβάλλεται ἐπίσης ἀκανόνιστα.
Ὁ Ὑπερίων εἶναι ὁ μόνος δορυφόρος τοῦ Ἡλιακοῦ Συστήματος, ὁ ὁποῖος συνεχίζει, ἴσως, νὰ κατρακυλᾶ μ’ αὐτὸν τὸν τρόπο. Ἡ ἴδια ἀνάλυση, ὅμως, ὁδηγεῖ στὸ συμπέρασμα ὅτι ὅλοι οἱ ἀκανόνιστα σχηματισμένοι δορυφόροι θὰ πρέπει — σὲ κάποιο στάδιο τῆς ἐξέλιξής τους — νὰ περάσουν ἀπὸ μία περίοδο χαοτικοῦ κατρακυλίσματος. Οἱ Δεῖμος καὶ Φόβος, οἱ δυὸ δορυφόροι τοῦ Ἄρη, θὰ πρέπει νὰ κατρακυλοῦσαν χαοτικὰ στὸ μακρινὸ παρελθόν. Τὸ ἴδιο καὶ ὁ μικρότερος δορυφόρος τοῦ Ποσειδώνα, ἡ Νηρηίς.
Οἱ τελευταῖες παρατηρήσεις μας δείχνουν ὅτι ἡ διεύθυνση τοῦ ἄξονα περιστροφῆς του καὶ ἡ γωνιακή του ταχύτητα ἐκτελοῦν μία χαοτικὴ κίνηση. Θεωρητικὴ μελέτη τῆς κίνησης αὐτῆς δείχνει ὅτι ἡ ἐκδήλωση τῆς χαοτικῆς κίνησης εἶναι συνέπεια τοῦ γεγονότος ὅτι ὁ Ὑπερίων προσπαθεῖ νὰ ταλαντωθεῖ μεταξὺ δυὸ συντονισμῶν (πρόκειται γιὰ τοὺς συντονισμοὺς 3/2 καὶ 1/1 μεταξὺ περιστροφῆς περὶ τὸν ἄξονά του καὶ περιφορᾶς περὶ τὸν Κρόνο) καὶ ἡ ἐπικάλυψη αὐτὴ τῶν συντονισμῶν εἶναι ἕνας ἀπὸ τοὺς μηχανισμοὺς δημιουργίας χάους. Ἡ περίπτωση τοῦ Ὑπερίωνα εἶναι ἡ μόνη, μέχρι στιγμῆς, περίπτωση ὅπου ἔχουμε ἄμεση παρατήρηση χαοτικῆς κίνησης στὸ Ἡλιακὸ σύστημα.
Τὸ πιὸ συνηθισμένο σχῆμα γιὰ τὰ οὐράνια σώματα εἶναι ἡ σφαίρα, ἤ, γιὰ τὴν ἀκρίβεια, τὸ σφαιροειδές: ἡ Γῆ, γιὰ παράδειγμα εἶναι πεπλατυσμένη στοὺς πόλους τῆς κατὰ ἕνα μικρὸ ποσοστό. Ἀντίθετα, ὁ Ὑπερίων, ἔχει σχῆμα ἐλλειψοειδές, τοῦ ὁποίου οἱ κύριοι ἄξονες (μῆκος, πλάτος’ ὕψος) εἶναι 190 χλμ., 145 χλμ
Σύμφωνα μὲ τὶς ἀνακαλύψεις τοῦ Κέπλερ καὶ τοῦ Νεύτωνα, ἡ τροχιὰ τοῦ Ὑπερίωνα γύρω ἀπὸ τὸν Κρόνο εἶναι ἐλλειπτική. Ὁ βαθμὸς κατὰ τὸν ὁποῖο μιὰ ἔλλειψη ἀποκλίνει ἀπὸ τὸ κυκλικὸ σχῆμα, μετριέται ἀπὸ μία ποσότητα γνωστὴ ὦς ἐκκεντρότητα: ἡ τροχιὰ τοῦ Ὑπερίωνα ἔχει ἐκκεντρότητα γύρω στὸ δέκα τὶς ἑκατό. Αὐτὸ τὸ ποσοστὸ εἶναι ἀσυνήθιστα μεγάλο γιὰ τοὺς πλανῆτες καὶ τοὺς δορυφόρους τοῦ Ἡλιακοῦ Συστήματος, ἀλλὰ σημαίνει ἀπλῶς ὅτι ἡ τροχιὰ εἶναι ἕνας ἐλαφρὰ πεπλατυσμένος κύκλος.
Ἡ θέση τοῦ Ὑπερίωνα πάνω στὴν τροχιὰ τοῦ εἶναι κανονικὴ καὶ προβλέψιμη. Θὰ μπορούσαμε νὰ τὴν καταγράψουμε δεκαετίες πιὸ πρίν, μὲ χρονικὴ ἀκρίβεια κλασμάτων τοῦ δευτερολέπτου. Αὐτὸ ποὺ κάνει τὸν Ὑπερίωνα μοναδικὸ ἀνάμεσα σ’ ὅλους τους δορυφόρους καὶ τοὺς πλανῆτες τοῦ Ἡλίου εἶναι οἱ διακυμάνσεις τοῦ πάνω στὴν τροχιά: οἱ μεταβολὲς τῶν διευθύνσεων τοῦ πρὸς τὶς ὁποῖες στρέφονται οἱ τρεῖς ἄξονές του. Οἱ περισσότεροι πλανῆτες προχωροῦν κυλώντας σὰν μπάλες ποδοσφαίρου πάνω σὲ ὁμαλὸ γήπεδο.
Ὁ Ὑπερίων μοιάζει περισσότερο μὲ μπάλα τοῦ ράγκμπυ ποὺ ἀναπηδᾶ πάνω σὲ πεδίο μάχης. Ἂν μπορούσαμε νὰ καθηλώσουμε τὸ κέντρο του, καὶ νὰ παρακολουθήσουμε τὴν κίνηση τοῦ ὦς πρὸς αὐτό, θὰ τὸν βλέπαμε νὰ λικνίζεται σχεδὸν τυχαία πρὸς κάθε κατεύθυνση. Ἡ θέση του στὴν τροχιά, καὶ ἡ στάση τοῦ καθορίζονται ἀπὸ τοὺς ἴδιους φυσικοὺς νόμους, ἀπὸ τὶς ἴδιες μαθηματικὲς ἐξισώσεις. Ἡ θέση τοῦ ἀντιστοιχεῖ σὲ μία κανονικὴ λύση αὐτῶν τῶν ἐξισώσεων, ἡ συμπεριφορά του, ὅμως, ἀντιστοιχεῖ σὲ μία μὴ κανονικὴ λύση.
Οἱ “τοῦμπες τοῦ Ὑπερίωνα δὲν ὀφείλονται σὲ τυχαῖες ἐξωτερικὲς ἐπιδράσεις, ἄλλα σὲ δυναμικὸ χάος. Γιατί ὁ Ὑπερίωνας εἶναι χαοτικός; Κι ἀφοῦ αὐτὸς εἶναι χαοτικός, γιατί ὅλα τὰ ἄλλα οὐράνια σώματα εἶναι κανονικά; Μήπως ἐπειδὴ ἔχει σχῆμα πατάτας; Μήπως ὅλες οἱ πατάτες εἶναι χαοτικές;
Καθόλου. Οἱ αἰτίες εἶναι πιὸ λεπτές, πιὸ σύνθετες, καὶ πιὸ ἐνδιαφέρουσες. Ἡ χαοτικὴ κίνηση τοῦ Ὑπερίωνα ὀφείλεται σὲ μία κοσμικὴ σύμπτωση. Στὴν ἱστορία τοῦ Ἡλιακοῦ Συστήματος, πολλὰ οὐράνια σώματα ἔχουν εἰσέλθει – καὶ ἔχουν ἐξέλθει – σὲ κάποια περίοδο δυναμικοῦ χάους Συμβαίνει, ὅμως, ὁ Ὑπερίωνας νὰ ὑφίσταται αὐτὴν τὴν διαδικασία ἀκριβῶς τὴν ἐποχὴ ποὺ τὸ ἀνθρώπινο γένος ἄρχισε νὰ ἐνδιαφέρεται γι’ αὐτήν.
Νομίζουμε ὅτι εἴμαστε σὲ θέση νὰ καταλάβουμε πὼς βρέθηκε ὁ Ὑπερίων στὴν τωρινὴ χαοτικὴ κατάστασή του.
Στὸ μακρινὸ παρελθόν, ἡ περίοδος περιστροφῆς τοῦ Ὑπερίωνα γύρω ἀπ’ τὸν ἑαυτό του (”ἡ ἡμέρα”) ἦταν συντομότερη σὲ σχέση μὲ τὴν περίοδο τῆς τροχιᾶς τοῦ (”τὸ ἔτος”). Ἡ κίνηση τοῦ ἦταν τότε κανονικὴ καὶ ἠμιπεριοδική. Μὲ τὴν πάροδο τῶν αἰώνων, οἱ παλιρροϊκὲς δυνάμεις τοῦ Κρόνου μείωσαν τὴν ταχύτητα τῶν περιστροφῶν του καὶ ἀνόρθωσαν τελικὰ τὸν Ὑπερίωνα, ἔτσι ὥστε ὁ ἄξονας περιστροφῆς του νὰ γίνει ὁ μεγαλύτερος ἀδρανειακὸς ἄξονας καὶ νὰ τεθεῖ κάθετος πρὸς τὸ ἐπίπεδό της τροχιᾶς. Ὡστόσο ἀπὸ τότε ποὺ ὁ Ὑπερίων ἔχασε ἐνέργεια ἀρκετὴ ὥστε νὰ εἰσαχθεῖ στὴ χαοτικὴ περιοχή, τὸ ἀποτέλεσμα ἑκατομμυρίων ἐτῶν ἀνατράπηκε μέσα σὲ λίγες μόνο μέρες. Μέσα σὲ τρεῖς ἢ τέσσερις τροχιακὲς περιστροφές, ὁ Ὑπερίων ἄρχισε νὰ κατρακυλᾶ πρὸς ὅλες τὶς κατευθύνσεις.
Θὰ πρέπει νὰ ἀναφέρουμε ὅτι αὐτὴ ἡ πρόβλεψη τοῦ χαοτικοῦ κατρακυλίσματος τοῦ Ὑπερίωνα δὲν ἔχει ἀκόμη ἀπόλυτα ἑδραιωθεῖ ἀπὸ ἄμεσες παρατηρήσεις. Ὅμως, οἱ φωτογραφίες τοῦ Voyager συμφωνοῦν μὲ τὸ χαοτικὸ κατρακύλισμα, ἐνῶ δὲν συμφωνοῦν μὲ καμιὰ γνωστὴ κανονικὴ κατάσταση. Ἡ θεωρία μοιάζει μὲ πολὺ σίγουρο στοίχημα. Ἴσως κατορθώσουμε νὰ τὴν ἐλέγξουμε γιὰ μία μεγαλύτερη χρονικὴ περίοδο ἀναλύοντας τὴν ἔνταση τοῦ φωτὸς ποὺ ἐπιστρέφει στὴ Γῆ μετὰ ἀπὸ ἀνάκλαση πάνω στὸν Ὑπερίωνα: θὰ πρέπει κι αὐτὸ νὰ μεταβάλλεται ἐπίσης ἀκανόνιστα.
Ὁ Ὑπερίων εἶναι ὁ μόνος δορυφόρος τοῦ Ἡλιακοῦ Συστήματος, ὁ ὁποῖος συνεχίζει, ἴσως, νὰ κατρακυλᾶ μ’ αὐτὸν τὸν τρόπο. Ἡ ἴδια ἀνάλυση, ὅμως, ὁδηγεῖ στὸ συμπέρασμα ὅτι ὅλοι οἱ ἀκανόνιστα σχηματισμένοι δορυφόροι θὰ πρέπει — σὲ κάποιο στάδιο τῆς ἐξέλιξής τους — νὰ περάσουν ἀπὸ μία περίοδο χαοτικοῦ κατρακυλίσματος. Οἱ Δεῖμος καὶ Φόβος, οἱ δυὸ δορυφόροι τοῦ Ἄρη, θὰ πρέπει νὰ κατρακυλοῦσαν χαοτικὰ στὸ μακρινὸ παρελθόν. Τὸ ἴδιο καὶ ὁ μικρότερος δορυφόρος τοῦ Ποσειδώνα, ἡ Νηρηίς.
Οἱ τελευταῖες παρατηρήσεις μας δείχνουν ὅτι ἡ διεύθυνση τοῦ ἄξονα περιστροφῆς του καὶ ἡ γωνιακή του ταχύτητα ἐκτελοῦν μία χαοτικὴ κίνηση. Θεωρητικὴ μελέτη τῆς κίνησης αὐτῆς δείχνει ὅτι ἡ ἐκδήλωση τῆς χαοτικῆς κίνησης εἶναι συνέπεια τοῦ γεγονότος ὅτι ὁ Ὑπερίων προσπαθεῖ νὰ ταλαντωθεῖ μεταξὺ δυὸ συντονισμῶν (πρόκειται γιὰ τοὺς συντονισμοὺς 3/2 καὶ 1/1 μεταξὺ περιστροφῆς περὶ τὸν ἄξονά του καὶ περιφορᾶς περὶ τὸν Κρόνο) καὶ ἡ ἐπικάλυψη αὐτὴ τῶν συντονισμῶν εἶναι ἕνας ἀπὸ τοὺς μηχανισμοὺς δημιουργίας χάους. Ἡ περίπτωση τοῦ Ὑπερίωνα εἶναι ἡ μόνη, μέχρι στιγμῆς, περίπτωση ὅπου ἔχουμε ἄμεση παρατήρηση χαοτικῆς κίνησης στὸ Ἡλιακὸ σύστημα.
"Αἰὲν ἀριστεύειν καὶ ὑπείροχον ἔμμεναι ἄλλων, μηδὲ γένος πατέρων αἰσχυνέμεν»..
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208
ΟΜΗΡΟΣ Ιλιάδα, Ζ 208