- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Εφεύρεση ή ανακάλυψη? - .-= Η ΓΝΩΣΗ =-.
Φιλικά
Κηφεύς
7 . Συμπεράσματα και παράθεση αποσπασμάτων από τον «Τίμαιο» του Πλάτωνα .
Όπως γίνεται πλέον κατανοητό από τα προηγούμενα , ο Πλάτων στον «Τίμαιο» , αλλά και πριν απ’αυτόν ο Εμπεδοκλής , θεωρεί τον υλικό κόσμο αποτελούμενο από 4 στοιχεία :
Από το πύρ , τον αέρα , το ύδωρ και τη γή , στα 4 αυτά είδη αντιστοιχούν 4 εκ των 5 κανονικών στερεών κυρτών πολυέδρων που υπάρχουν : Το τετράεδρο (πυραμίδα = πυρ) , το εξάεδρο (κύβος = γή) , το εικοσάεδρο (ύδωρ) και το οκτάεδρο (αέρας) .
Από την Κρυσταλλογραφία είναι γνωστό ότι στη φύση ο βορακίτης (ορυκτό του στοιχείου βορίου) κρυσταλλούται κατά το τετραεδρικό σύστημα , ο φυσικός μαγνήτης , όπως και το ρουβήνιο , το διαμάντι και το ορυκτό φθοριούχο ασβέστιο , σε οκτάεδρα . Μία άλλη σειρά ορυκτών , όπως το σύνηθες χλωριούχο νάτριο (αλάτι) κρυσταλλούται σε κύβους (εξάεδρα) . Με τα πρώτα αυτά τρία κανονικά πολύεδρα (τετράεδρο , οκτάεδρο , εξάεδρο) , όπου αντιστοιχεί ο αριθμός 3 και 4 , αντιπροσωπεύεται κατά κύριο λόγο το ορυκτό βασίλειο . Ο αριθμός 5 (το εικοσάεδρο έχει πενταεδρικές στερεές γωνίες) συναντάται περισσότερο στο φυτικό βασίλειο (ιδίως στη διάταξη των ανθέων και των φύλλων) .
Με το δωδεκάεδρο , εισερχόμεθα σε άλλη τάξη κανονικού πολυέδρου , το οποίο , λόγω της αιθέριάς του συστάσεως , σχετίζεται με την υφή , του όλου κόσμου και της παγκοσμίου Ψυχής .
Παραθέτω αμέσως παρακάτω σχετικές περικοπές του «Τίμαιου» του Πλάτωνα κατά μετάφραση Α.Παπαθεοδώρου (εκδ. Παπύρου , σελ. 89 – 52C , κεφ. 19 – 20 ) :
« Αυτός λοιπόν εν ολίγοις , είναι ο κατά την γνώμη μου αληθής συλλογισμός , του οποίου τα συμπεράσματα είναι ότι υπάρχει το Όν , ο Χώρος («χώρα») και το γεννητόν , τρία δηλαδή διαφορετικά πράγματα που υπήρχον και προτού γεννηθεί ο ουρανός (Σύμπαν…) . Προ της Δημιουργίας του Σύμπαντος , όλα αυτά ευρίσκοντο χωρίς λόγο και μέτρο . Όταν όμως ήρχισεν η Δημιουργία , τότε κατά πρώτον το Πύρ , το Ύδωρ , η Γή και ο Αήρ , που είχαν βέβαια μερικά γνωρίσματα της φύσεώς των , ευρίσκοντο όμως εις τοιαύτην κατάστασιν εις ήν ευρίσκεται το κάθε τι , όταν απουσιάζει απ’αυτά ο Θεός , αυτά τα 4 λοιπόν , τα εσχηματοποίησεν ο Θεός , χρησιμοποιήσας τας Ιδέας και τους Αριθμούς » .
« Θα προσπαθήσω να σας δείξω με λόγια ασυνήθιστα την διάταξιν και την γένεσιν του καθενός απ’αυτά…
Το πρωταρχικόν λοιπόν είναι το ότι ο καθένας γνωρίζει , ότι το πυρ , η γη , το ύδωρ και ο αήρ είναι σώματα , αλλά η φύσις κάθε σώματος είναι τοιαύτη , ώστε τούτο να έχη βάθος . Το βάθος όμως κατ’απόλυτον ανάγκην περιλαμβάνει την επίπεδον επιφάνειαν , η δε επίπεδος επιφάνεια συνίσταται από τρίγωνα . Όλα τα τρίγωνα προέρχονται από άλλα δύο τρίγωνα που το καθένα τους έχει μίαν γωνίαν ορθήν και δύο οξείας . Το ένα απ’αυτά τα τρίγωνα είναι ισοσκελές και το άλλο σκαληνόν . Υποθέτομεν ότι αυτά είναι η αρχή του πυρός και των άλλων σωμάτων . Τας αρχάς που είναι ακόμη ανώτεραι απ’αυτάς , τας γνωρίζει ο Θεός και όποιος από τους ανθρώπους είναι Θεοφιλής » .
Φιλικά
Κηφεύς
Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.
Ας εξετάσουμε τώρα τις πληροφορίες που μας δίδει ο Πλάτων εν σχέσει προς καθένα από τα εν λόγω κανονικά πολύεδρα .
Α) Το κανονικό τετράεδρο (Πύρ) , έχει 4 έδρες . Κάθε έδρα είναι ισόπλευρο τρίγωνο .
Αναφέρει ο Πλάτων στον «Τίμαιο» (54D , κεφ.21) :
« Αρχίζομεν από το πρώτο είδος , που είναι και το μικρότερον βασικόν είδος , που είναι το τρίγωνον , που έχει την υποτείνουσαν διπλασίαν κατά το μήκος από την μικροτέραν πλευράν . Εάν συνδεθούν τα τρίγωνα αυτά ανά δύο εις την διαγώνιον και αυτό επαναληφθεί 3 φοράς , τότε από τα 6 αυτά τρίγωνα , γίνεται ένα ισόπλευρον . 4 ισόπλευρα τρίγωνα , όταν ενωθούν ανά τρείς επιπέδους γωνίας … Άμα γίνει τούτο τετράκις , τότε σχηματίζεται το πρώτον είδος του στερεού , το οποίον διαχωρίζει ολόκληρον την περιφέρειαν μέσα εις την οποίαν ευρίσκεται , εις μέρη ίσα και όμοια » .
Ο Α. Παπαθεοδώρου , σχολιάζοντας αυτό το εδάφιο λέγει : « Το βασικόν τρίγωνον είναι ορθογώνιον σκαληνόν , του οποίου η υποτείνουσα α είναι διπλάσια της μικροτέρας πλευράς γ (δηλ. α = 2γ). Το σχήμα που διαμορφούται με τον αναφερόμενον συνδυασμόν είναι τετράεδρον ή πυραμίς (τριγωνική) , που έχει ως βάσιν και έδρας ισόπλευρα τρίγωνα και χωρίζει την σφαίραν εντός της οποίας είναι εγγεγραμμένον , εις ίσα και όμοια μέρη . Το πρώτον αυτό στερεόν , είναι η μορφή του πυρός » .
Έχει 8 έδρες που είναι ισόπλευρα τρίγωνα . Το σχετικό απόσπασμα του «Τίμαιου» του Πλάτωνος (55Α , κεφ.21) έχει ως εξής :
« Δεύτερον είδος στερεού γίνεται από τα ίδια τρίγωνα , αν ενωθούν 8 ισόπλευρα τρίγωνα , οπότε θα σχηματίσουν μίαν στερεάν γωνίαν από 4 επιπέδους .
Άμα αυτό επαναληφθεί 6 φοράς , τελειούται και το δεύτερον στερεόν σώμα » .
Το δεύτερο αυτό σχήμα εικονίζει τον Αέρα .
Φιλικά
Κηφεύς
Γ) Το κανονικό εικοσάεδρο (Ύδωρ) .
Με 20 έδρες ισόπλευρα τρίγωνα .
Έχει 20 ισόπλευρες τριγωνικές έδρες και 12 στερεές γωνίες που κάθε μία τους περιορίζεται από 5 επίπεδα ισόπλευρα τρίγωνα .
Φιλικά
Κηφεύς
Δ) Το κανονικό εξάεδρο ή Κύβος (Γή) , με 6 έδρες τετράγωνα .
Ο Πλάτων αναφέρει στον «Τίμαιο» (55Β) : « Το ένα είδος των τριγώνων , το σκαληνόν , όταν εγέννησε τα τρία προηγούμενα σώματα , εσταμάτησε . Το ισοσκελές (ορθογώνιο) τρίγωνο εγέννησε το 4ο στερεό σώμα , δια της ενώσεως ισοσκελών τριγώνων ανά 4 .
Αφού δηλ. ηνώθησαν αι ορθαί γωνίαι των 4 αυτών τριγώνων εις το κέντρον , εσχηματίσθη ένα ισόπλευρον τετράγωνον . Αν ενωθούν 6 τοιαύτα τετράγωνα , κάμνουν 8 στερεάς γωνίας , από τας οποίας η κάθε μία απετελέσθη από 3 επιπέδους ορθάς .
Το σχήμα του νεοδημιουργηθέντος τούτου σώματος είναι κυβικόν , που έχει 6 επιπέδους τετραγώνους ισοπλεύρους βάσεις » .
Σχόλιον Παπαθεοδώρου :
« Βασικόν τρίγωνον του τετάρτου σώματος , είναι το ισοσκελές (ορθογώνιον) . Τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα ενούνται ούτως ώστε αι ορθαί γωνίαι αποτελούν τετράγωνο . 6 τετράγωνα ηνωμένα αποτελούν Κύβον , που αντιπροσωπεύει την Γήν » .
Φιλικά
Κηφεύς
5) Το κανονικό δωδεκάεδρο (Αιθήρ = Πέμπτη Ουσία = Πεμπτουσία) .
Έχει δώδεκα έδρες , κανονικά πεντάγωνα .
Επικρατεί η γνώμη ότι ήταν άγνωστο στους Πυθαγορείους . Το δωδεκάεδρο αναφέρεται υπό του Πλάτωνος και εφεξής υπό των διαδόχων του .
Τίθεται όμως το ερώτημα :
Ήταν πράγματι άγνωστο στους Πυθαγορείους ή τυχόν αποτελούσε ένα από τα απόρρητα της Σχολής , σαν σύμβολο του « Πέμπτου στοιχείου » (του Αιθέρος ή Πέμπτης Ουσίας του Πλάτωνος , του Αριστοτέλους και των Ινδών σοφών ; ) .
Αξιοπρόσεκτο είναι το γεγονός ότι , ενώ στα άλλα πολύεδρα επικρατεί σαν συστατικό πολύγωνο το τρίγωνο, στο δωδεκάεδρο επικρατεί το πεντάγωνο. Αυτός πρέπει να είναι ο λόγος για τον οποίο ο Πλάτων ανήγαγε το δωδεκάεδρο στην τάξη της Αιθέριας Ψυχής του Κόσμου . Ένας πρόσθετος ακόμη λόγος πιθανόν να είναι ότι όπως προηγουμένως αποδείξαμε οι διαγώνιοι των πενταγωνικών εδρών του τέμνονται κατά την χρυσή τομή . Πιο συγκεκριμένα ο Πλάτων γράφει στον «Τίμαιο» (55C , κεφ.20) τα εξής :
« Επειδή όμως ήτο δυνατή και Πέμπτη ακόμη συναρμολόγησις (με πεντάγωνα όμως), ο Θεός την μετεχειρίσθη , όταν εσχεδίαζε τελικώς το Σ ύ μ π α ν ».
Φαίνεται λοιπόν , τελικά , πως η κατανόηση κι’η βίωση των υπερβατικών εννοιών γίνεται δυνατή , οι φαινόμενες αντιθέσεις ανάμεσα σ’Επιστήμη και Θρησκεία μπορούν να εξαφανιστούν και το άτομο μπορεί να ενεργοποιηθεί ευεργετικά για την ανθρωπότητα , καθώς θα προσεγγίζει το μυστικό του κόσμου τ’απέραντο , όπως λέγει ο Παλαμικός στίχος :
« Αέρας , γη , νερό , φωτιά ,
ότι κι’αν υπόταξ’από σας ο άνθρωπος , ο νούς ,
τίποτ’από σας δεν ξέπεσε
και κρατάτε ακόμα τα σκοτάδια σας ,
τ’άψαχτα και τ’ατέλειωτα » .
( « ο δουλευτής » από το Δωδεκάλογο του γύφτου ) .
Φιλικά
Κηφεύς
Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.
Επιστρέφω στην Χρυσή Τομή για να εξετάσουμε δύο τρόπους γεωμετρικής κατασκευής της:
Συνεχίζω την περιγραφή της πρώτης κατασκευής στο επόμενο μήνυμα.
Φιλικά
Κηφεύς
Συνεχίζω την 1η κατασκευή στο επόμενο μήνυμα.
Φιλικά
Κηφεύς
Θα ακολουθήσει η 2η γεωμετρική κατασκευή στο επόμενο μήνυμα.
Φιλικά
Κηφεύς