- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Εφεύρεση ή ανακάλυψη? - .-= Η ΓΝΩΣΗ =-.

Σήμερα θα δούμε ποιό ήταν (περιληπτικά) το μαθηματικό έργο των Πυθαγορείων.

Ο Πυθαγόρας (580-490 π.Χ.) είναι ο θεμελιωτής του λογισμού και των Μαθηματικών , και ο ιδρυτής της θεωρίας των Αριθμών.

Και αυτός , όπως οι Ίωνες φιλόσοφοι, ταξίδεψε, όπως είναι γνωστό, στην Αίγυπτο. Αφού έμαθε την γλώσσα των Αιγυπτίων, μυήθηκε σε όλες τις γνώσεις τους, εισήλθε στα άδυτα, μελετησε τις βίβλους και τέλος έγινε μαθητής του Αναξίμανδρου.

Ο Πυθαγόρας αφού παρέλαβε τις Αριθμητικές γνώσεις των Αιγυπτίων και Βαβυλωνίων εξύψωσε τα Μαθηματικά σε επιστήμη και την καθιέρωσε σαν θεμέλιο κάθε άλλης επιστήμης."ούτω και επί των προλεχθεισών επιστημών ούσης μεν γαρ γεωμετρίας ανάγκη και την αριθμητικήν συνεπιφέρεσθαι..." (Νικόμαχος Γερασινός - Εισαγωγή εις την Αριθμητικήν ΕΑ., Α, ΙΥ,4).

Διαίρεσε την Αριθμητική σε Αριθμητική και μουσική και την απλοποίησε ορίζοντας την μεθοδική και την στοιχείωση, ώστε να μεταδίδονται εύκολα οι μαθηματικές γνώσεις.

Τέλος ο Πυθαγόρας γίνεται ιδρυτής ιδιαίτερης σχολής και οι οπαδοί του καλούνται Πυθαγόρειοι.

Το έργο του Πυθαγόρα συνεχίζουν οι μαθητές του:
"Ευρίσκονται γουν πολλοί των Πυθαγορείων αυτή κεχρημένοι, ώσπερ Αρισταίος ο Κροτωνιάτης και Τιμαίος ο Λοκρός και Φιλόλαος και Αρχύτας οι Ταραντίνοι και άλλοι" (Ιάμβλιχος - Εισαγωγή εις την Αριθμητικήν του Νικομάχου).

Επισης σαν μαθητές που ασχολήθηκαν με την Αριθμητική αναφέρει ο Ιάμβλιχος τον Πρόρο και και τον Μέγγελο.

Η σχολή του Πυθαγόρα ασχολήθηκε σοβαρά με την θεωρία των αριθμών. Μελέτησε τις γενικές ιδιότητές τους και κατόπιν τις ειδικές.

Ο Αρχύτας ασχολήθηκε με τις γενικές ιδιότητες των αριθμών και τις ειδικές μέχρι του δέκα και έγραψε το βιβλίο "η δεκάς" (Ιάμβλιχος). Συνεχίζει ο Φιλόλαος και αμέσως ο Σπεύσσιπος "περι ής (δεκάδος) και Αρχύτας εν τω περί της δεκάδος και Φιλόλαος εν τω περί φύσιος πολλά δεξίασιν" (Θέων Σμυρναίος). Ακολουθούν ο Ίππασος, ειδικός στις αναλογίες, ο Εύδοξος μαθητής του Αρχύτα και ο Θυμαρίδας.

Το έργο των Πυθαγορείων υπήρξε πολύ μεγάλο. Αυτοί όχι μόνο θεμελίωσαν την Αριθμητική και τον λογισμό, αλλά και μπόρεσαν να αντιμετωπίσουν την κρίση των Μαθηματικών που παρουσιάστηκε κατά το 540-470 π.Χ., την οποία ο Πυθαγορικός Παρμενίδης προκάλεσε με τις περί όντος αντιλήψεις του. Στο σημείο αυτό παραμένει άγνωστο ακόμη το θαυμάσιο έργο του Ζήνωνα του Ελεάτη, μαθητού του Παρμενίδη,(Λίγα μόνο γι'αυτό μας πληροφορεί ο πλατωνικός Σιμπλίκιος από την Κιλικία, σχολιαστής του Αριστοτέλη).

Δυστυχώς στους μαθητές του Πυθαγόρα δεν επιτρεπόταν να γράψουν και γι'αυτό δεν υπάρχουν γραπτά μνημεία του θαυμάσιου έργου τους.

Τον 5ο αιώνα οι Πυθαγόρειοι κινούμενοι από ανάγκη έγραψαν μόνο Γεωμετρία. Αυτό έδωσε το θάρρος και σε άλλους Πυθαγορείους να ασχοληθούν με την συγγραφή, αλλά και πάλι Γεωμετρίας, και τούτο διότι:
1) Οι γεωμετρικές γνώσεις είχαν έλθει πλέον στην δημοσιότητα και έτσι αυτοί που έγραφαν αφενός δεν παρέβαιναν αμέσως τον όρκο τους, αφετέρου δεν δεχόντουσαν κριτική.
2) Την εποχή αυτή η Πυθαγόρεια Αριθμητική περνούσε κρίση και δημιουργήθηκε η απαίτηση για νέα θεμελίωσή της.

Φιλικά

Κηφεύς

Θα ήθελα να μείνουμε λίγο στον Πυθαγόρα και να εξετάσουμε, για λίγο, την Πυθαγόρεια θεωρία των αριθμών.

Επειδή δε στην αρχαιότητα (αλλά και τώρα) τα Μαθηματικά ήταν και είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με την Φιλοσοφία, ίσως αναγκαστούμε να εξετάσουμε και την σύνδεση των Μαθηματικών με την Φιλοσοφία.

Στους Πυθαγόρειους παρατηρούμε, μια αξιοσημείωτη αντιστροφή σε σχέση με τις αντιλήψεις του Αναξίμανδρου, περί απείρου.

Ενώ κατά τον Μιλήσιο σοφό το άπειρο ταυτίζεται με το θείο, οι Πυθαγόρειοι το εξομοιώνουν με το υλικό στοιχείο το ανεπίδεκτο μέτρησης και καθορισμού.

Η καινοτομία αυτή έχει μεγάλη σημασία για την περεταίρω εξέλιξη της φιλοσοφικής διανόησης.

Εισάγεται με αυτήν η έννοια της ύλης, η οποία θεωρείται σαν στοιχείο που αντιστέκεται σε κάθε καθορισμό και σαν πηγή κάθε οντολογικής και ηθικής ατέλειας.

Υπό το πρίσμα αυτό θα δουν αργότερα την ύλη ο Αριστοτέλης και ο Πλάτωνας. Και ο γερμανικός Ιδεαλισμός του 19ου αιώνα όπως και η Νεοκαντιανή φιλοσοφία του 20ου αιώνα βλέπει την ύλη σαν το "άλογο" και ανεπίδεκτο τέρματος και καθορισμού στοιχείο.

Η αντίθεση αυτή που δημιουργήθηκε μεταξύ του απείρου και του πεπερασμένου έδωσε την βάση να φανεί η πραγματικότητα από την αντιθετική προοπτική. Οι Πυθαγόρειοι είδαν την πραγματικότητα σαν σειρά διαλεκτικών αντιθέσεων και δημιούργησαν έτσι ορισμένες αντιθετικές συστοιχίες.

Τέτοιες είναι οι αντιθέσεις, τις οποίες απαρτίζουν σαν αντιτιθέμενοι πόλοι:
Πέρας – άπειρον , περιττόν – άρτιον , έν – πλήθος , δεξιόν – αριστερόν , άρρεν – θήλυ , ηρεμούν – κινούμενον , ευθύ – καμπύλον , φως – σκότος , τετράγωνον – ετερόμηκες , αγαθόν – κακόν .

Με αυτές τις συστοιχίες τέθηκε η βάση για να στηριχθεί η αντίληψη ότι στον κόσμο υπάρχουν δύο αντιτιθέμενα στοιχεία (δυϊσμός).

Κατά τους Πυθαγορείους ο κόσμος δημιουργείται αφού κατ’αρχάς δημιουργηθεί το έν.

Το έν, το οποίο δημιουργείται κατά την πρώτη αρχή "το πρώτον αρμοσθέν", έλκει προς αυτό το άπειρο και δίνει σ’αυτό πέρας.

Επομένως οι Πυθαγόρειοι σαν απαρχή της δημιουργίας ελάμβαναν ένα αρχικό μοναδικό δεδομένο, το οποίο διαστελλόταν συνεχώς περιλαμβάνοντας μέσα στον εαυτό του το άπειρο.

Είναι εκπληκτικό ότι και οι νεώτατες φυσικές θεωρίες της σύγχρονής μας εποχής θεωρούν το σύμπαν σαν σφαίρα διαστελλόμενη, η οποία αφού ξεκίνησε από ένα αρχικό πυρήνα, εξακολουθεί διαρκώς να διαστέλλεται.

Φιλικά

Κηφεύς

Χαίρομαι επίσης που έδωσες την πρέπουσα έμφαση στον Πυθαγόρα και παρέθεσες κάποια στοιχεία για την Πυθαγόρεια θεώρηση των αριθμών και για τον δυϊσμό.
Όπως φαίνεται, η φιλοσοφία των Πυθαγόρειων επηρέασε πάρα πολύ την σύγχρονη σκέψη τόσο όσον αφορά την ύλη όσο και για το διαστελλόμενο σύμπαν.

Θα ήθελα να θέσω δύο ερωτήματα που μου δημιουργήθηκαν από τα προηγούμενα μηνύματα σου κι οι απαντήσεις σου θα με βοηθούσαν:

Αναφέρθηκες στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης κι έδωσες κάποια παραδείγματα συμβολισμού κάποιων τυχαίων αριθμών μέσω του συγκεκριμένου συστήματος.
Ενώ κατάλαβα το "θεωρητικό" κομμάτι, κολλάω λίγο στο κομμάτι των υπολογισμών, ειδικά με την ανάγνωση του 9.

Έστω ότι θέλω να γράψω τον αριθμό 19.

Σύμφωνα με την δική μου λογική, αυτός θα γραφεί ως εξής:

19 = 1 . 24 + 1 . 21 + 1 . 20

Αυτό είναι σωστό;

Επίσης, σε κάποιο σημείο αναφέρεις την βάση των Νεπερείων λογαρίθμων e, την οποία αγνοώ εντελώς.
Επειδή η κατεύθυνση μου δεν είναι αυτή των θετικών επιστημών και θα ήθελα να μάθω κάποια πράγματα περισσότερα, θα μπορούσες να επεκταθείς σ' αυτό το θέμα;

Εάν έχεις αποφασίσει να το κάνεις στο σύντομο μέλλον και να αναφερθείς πρώτα σε κάποια άλλα ζητήματα, μην διακόψεις τον ειρμό σου.

In anticipation of my resurrection...

quote:

---

Έστω ότι θέλω να γράψω τον αριθμό 19.
Σύμφωνα με την δική μου λογική, αυτός θα γραφεί ως εξής:
19 = 1 . 24 + 1 . 21 + 1 . 20 Αυτό είναι σωστό;

---

Ας κάνω για παράδειγμα τον αριθμό 21.
Οπότε έχουμε:

21 = (1 x 16) + (0 x 8) + (1 x 4) + (0 x 2) + (1 x 1)

Δηλαδή:

21 = (1 x 24) + (0 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)

Σωστά;

In anticipation of my resurrection...

Ορισμός του e:

Ας δώσουμε πρώτα τον ορισμό του λογαρίθμου γενικά:

Λογάριθμος ενός αριθμού α είναι αριθμός λ εις τον οποίο υψούμενος
ένας αριθμός β, καλούμενος βάση του λογαρίθμου, μας δίνει τον αριθμό α.

Δηλαδή (περιγραφικά): β στην δύναμη λ, ισούται με α.

Οι πλέον εύχρηστοι στους διάφορους υπολογισμούς λογάριθμοι είναι αυτοί που έχουν σαν βάση το 10, οι οποίοι λέγονται και δεκαδικοί ή κοινοί και συμβολίζονται στα Μαθηματικά με το log.

Οπότε ο ορισμός του δεκαδικού λογαρίθμου γίνεται:
Δεκαδικός λογάριθμος ενός αριθμού α είναι αριθμός λ εις τον οποίο υψούμενος ο 10, μας δίνει τον αριθμό α.

Δηλαδή (περιγραφικά): 10 στην δύναμη λ, ισούται με α.

Στις θεωρητικές εργασίες ευχρηστότεροι είναι οι νεπέρειοι ή φυσικοί λογάριθμοι, που έχουν σαν βάση τον ασύμμετρο αριθμό e ο οποίος εξάγεται από την θεωρία των λογαρίθμων και είναι ίσος με το όριο στο οποίο τείνει η σειρά:

e = 1 + (1/1) + [1/(1x2)] + [1/(1x2x3)] + [1/(1x2x3x4)] + ...

ο οποίος υπολογιζόμενος δίδει την τιμή του e:

e = 2,71828182845904583536...

Oι λογάριθμοι αυτού του τύπου (δηλ. οι Νεπέρειοι), συμβολίζονται με το ln.

Tέλος, δεν υπάρχει σήμερα γεωμετρικός ορισμός του e.

Ο e ορίσθηκε από τον J. Neper, τον 16o αιώνα.

Φιλικά

Κηφεύς

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

Σωστή η γραφή του 21.

Βαθμολογία: Άριστα !

Ας συνεχίσουμε, με την Πυθαγόρεια θεωρία των αριθμών:

Ο Αριστοτέλης μας βεβαιώνει ότι πράγματι κατ’αυτόν τον τρόπο ερμήνευαν την δημιουργία του κόσμου:

"φανερώς γαρ λέγουσιν ως του ενός συσταθέντος , είτ’εξ επιπέδων είτ’εκ χροιάς , είτ’εκ σπέρματος , είτ’εξ ων απορούσι ειπείν , ευθύς τα έγγιστα του απείρου είλκετο και επεραίνετο υπό του πέρατος".
(Διότι λέγουν ρητώς, ότι όταν έλαβε υπόσταση το έν, δημιουργηθέν είτε από επίπεδα, είτε από επιφάνειες, είτε από σπέρμα, είτε από συστατικά τα οποία δεν μπορούσαν να ανακαλύψουν, αμέσως εκείνα τα μέρη του απείρου, τα οποία βρισκόντουσαν σε πολύ κοντινή απόσταση (από το έν) είλκοντο και περικλείοντο υπό του πέρατος).

Δεν μπορεί να υπάρξει καμία αμφισβήτηση περί του ότι οι Πυθαγόρειοι έβλεπαν ότι το σύμπαν εξελίχθηκε από έναν απειροστό πυρήνα ο οποίος διαστελλόμενος διαρκώς εξαπλωνόταν σφαιρικά στο άπειρο.

Σε ένα άλλο σημείο των "Φυσικών" (213 β 23) ο Αριστοτέλης λέγει ότι το σύμπαν εκτελεί κάποιο είδος αναπνοής αναπνέοντας το περιβάλλον αυτό άπειρο.

"Είναι δ’έφασαν οι Πυθαγόρειοι κενόν , και επεισιέναι αυτό τω ουρανώ εκ του απείρου πνεύματος ως αναπνέοντι και το κενόν , ο διορίζει τας φύσεις , ως όντος του κενού χωρισμού τινος των εφεξής και της διορίσεως και τούτ’είναι πρώτον εν αριθμοίς . Το γαρ κενόν διορίζειν την φύσιν αυτών".
(Οι Πυθαγόρειοι είπαν ότι υπάρχει το κενό και ότι αυτό υπεισέρχεται στον ουρανό δημιουργημένο σύμπαν) από το άπειρο πνεύμα (τον άπειρο αέρα), διότι πιστεύουν ότι το σύμπαν αναπνέει το κενό, το οποίο (κενό) επιφέρει σε διάφορους χώρους την τοποθέτηση των φυσικών όντων, επειδή (πιστεύουν ότι) το κενό είναι αιτία να χωρίζονται και να διακρίνονται σαν χωριστοί όροι τα μέλη μιας κατά συνέχεια σειράς. Αυτός ο διαχωρισμός συμβαίνει κατ’εξοχήν στην σειρά, την οποία απαρτίζουν οι αριθμοί διότι αυτό διακρίνει την φύση καθενός των αριθμών).

Οι Πυθαγόρειοι συνεχίζουν συγχρόνως και την παράδοση των Μιλήσιων σοφών, η οποία ήταν γνωστή στον Πυθαγόρα κατά την εποχή που κατοικούσε ακόμη στην πατρίδα του τη Σάμο.

Το κέντρο του σύμπαντος από το οποίο ξεκίνησε η δημιουργία του και συνεχίσθηκε η συνεχής διαστολή του, ονόμαζαν οι Πυθαγόρειοι "εστίαν του παντός", "οίκον Διός" και "μητέρα θεών". Στο κεντρικό αυτό σημείο και ο Παρμενίδης τοποθετεί την θεά, η οποία κυβερνά τα πάντα.

Φιλικά

Κηφεύς

Στο σημερινό μήνυμα, συνεχίζω και τελειώνω την Πυθαγόρεια θεωρία των αριθμών.

Ο Πυθαγόρας μετά από πολύχρονες παρατηρήσεις και εξέταση, έφθασε στο συμπέρασμα, ότι στον κόσμο, παρά τις παρατηρούμενες μεταβολές στην ύλη, τα πάντα γίνονται με μαθηματική ακρίβεια και μουσική αρμονία.

Από αυτό προήλθε η κοσμοθεωρία του, ότι τα όντα δεν είναι μόνο τα φαινόμενα, τα σώματα, η ύλη της οποίας βλέπομε τις μεταβολές, αλλά ότι στα σώματα ενυπάρχει και κάτι άλλο, άϋλο και αΐδιο, που δεν υπόκειται στις αρμονίες στον κόσμο. Το κάτι δε αυτό ονόμασε ο Πυθαγόρας αριθμό, χωρίς τον οποίο είναι αδύνατο να νοηθούν τα όντα. Προχωρώντας δε δίδαξε, ότι ο αριθμός είναι η ουσία των όντων.

Αλλά, "το τα σώματα εξ αριθμού είναι συγκείμενα και τον αριθμόν τούτον είναι μαθηματικόν αδύνατόν εστίν" λέγει ο Αριστοτέλης.

Ο αριθμός λοιπόν του Πυθαγόρα δεν είναι μαθηματικός, αν και παρέλαβε αυτόν από τα μαθηματικά. Είναι λέξη συμβολική με την οποία ο Πυθαγόρας δήλωνε το ενυπάρχον στο σώμα "αΐδιο", υπερβατικό στοιχείο, το οποίο δεν χώριζε από τα σώματα.

Όπως δε οι αριθμοί όλοι ανάγονται όλοι στην μονάδα, από την οποία προέρχονται, έτσι και τα στοιχεία που δηλώνονται με τους αριθμούς ανάγονται σε μια πρωταρχική αιτία, την οποία συμβολικά παριστά με την μονάδα "ης ουκ έστι γένεσις".

Η Μονάς είναι αυτός ο Θεός του Πυθαγόρα .

Χάρις στην ύπαρξη αυτής επικρατεί στο Σύμπαν τάξη, συμμετρία και αρμονία.

Αριθμό δε δεν εύρισκε μόνο στα πράγματα, αλλά και στις ιδιότητες και παντού. Τα πάντα είναι σχηματισμένα κατά μίμηση των αριθμών.

Η πρόταση όμως αυτή μεταβάλλεται εύκολα σε μια άλλη, ότι ο αριθμός είναι η ουσία των όντων και περαιτέρω, ότι τα πάντα είναι αριθμός και από αριθμούς συνίστανται.

Εκτός του κόσμου λοιπόν των φαινομένων, ο Πυθαγόρας δεχόταν και έναν άλλο κόσμο αΐδιο, τον μεταφυσικό κόσμο των αριθμών, που τον γνωρίζουμε μόνο με την νόηση και τη διαίσθηση.

Έτσι ο Πυθαγόρας ζητώντας να βρει την αρχή των όντων, όπως πριν από αυτόν οι Ίωνες σοφοί, αντί να βρεί αυτήν στο νερό ή στην φωτιά και εν γένει στην ύλη, όπως εκείνοι, βρήκε αυτήν σε μια άϋλη και αΐδη ουσία, αιτία της επικρατούσας στον κόσμο τάξης.

Όπως δε η Μονάς είναι η αιτία της τάξης στο σύμπαν, έτσι και οι αριθμοί είναι η αιτία (το κινούν αίτιον) της τάξης στο κάθετί.

Έτσι ο Πυθαγόρας αποτελεί τον πρώτο σταθμό της μεταφυσικής κοσμοθεωρίας.

Αλλά οι αριθμοί, συνεχίζει ο Πυθαγόρας, είναι περιττοί και άρτιοι. Εκείνοι μεν είναι πεπερασμένοι, αυτοί δε άπειροι. Αφού δε οι αριθμοί είναι πεπερασμένοι και άπειροι, συνάγεται το συμπέρασμα ότι το πεπερασμένο και το άπειρο είναι τα κύρια συστατικά των αριθμών και "πάντων των πραγμάτων , εξ ών συνέστα ο κόσμος»".

Εδώ σταματάει η κοσμοθεωρία του Πυθαγόρα.

Φιλικά

Κηφεύς