- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Εφεύρεση ή ανακάλυψη? - .-= Η ΓΝΩΣΗ =-.

ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΙΑ ΕΦΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΑΝΘΡΩΠΟΥ,ΓΙΑΤΙ ΤΟΥ ΗΤΑΝ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΑ ΣΤΗΝ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΥΤΩΝ ΠΑΝΩ ΣΤΙΣ ΑΛΛΕΣ ΘΕΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΑΛΛΟΥ,Η ΕΙΝΑΙ ΑΝΑΚΑΛΗΨΗ,ΕΙΝΑΙ ΔΗΛΑΔΗ ΚΑΠΟΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ(Π.Χ. ΣΥΝΑΣΤΗΣΕΙΣ) ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΠΟΥ ΠΡΟΥΠΗΡΧΕ ΚΑΙ ΕΜΕΙΣ ΑΠΛΩΣ ΤΑ ΑΝΑΚΑΛΥΠΤΟΥΜΕ ΣΤΑΔΙΑΚΑ?
Η ΜΗΠΩΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΙ ΤΑ ΔΥΟ?[quote]

Αγαπητέ Xountini

Την 1η/06/2008, έγραψα ένα μήνυμα του οποίου την αρχή παραθέτω παρακάτω:

"Μετά τα προηγούμενα μηνύματα (ιστορική προέλευση των Μαθηματικών, στοιχεία θεωρίας Αριθμών, έρευνα προέλευσης και υπολογισμού των παγκόσμιων σταθερών π, Φ, e ...κ.τ.λ.), νομίζω ότι δημιουργήθηκε το κατάλληλο πλαίσιο, για να απαντηθεί το αρχικό ερώτημα:

Τι είναι τα Μαθηματικά - Εφεύρεση ή ανακάλυψη;

Θεωρώ, φίλοι μου, ότι δεν είναι ούτε εφεύρεση ούτε ανακάλυψη.

Στα επόμενα μηνύματά μου θα προσπαθήσω να δείξω ότι τα Μαθηματικά είναι (κατά τη γνώμη μου) κάτι βαθύτερο:

Ο Άνθρωπος στις κληρονομικές καταβολές του, δεν κουβαλάει ούτε ένστικτα συμπλέγματα ούτε έμφυτες ιδέες.

Για να λειτουργήσει η μηχανή του εγκεφάλου του χρειάζεται από το εξωτερικό περιβάλλον διάφορα στοιχεία των οποίων συλλέκτες είναι τα αισθητήρια όργανα.

Οι αισθητηριακής προέλευσης πληροφορίες, που επεξεργάζεται ο νους μας, προκαλούν την εκκόλαψη ιδεών οι οποίες χάνουν λίγο–πολύ τους δεσμούς τους με κάποιον υλικό φορέα ή πρόξενο.
Καμιά φορά οι δεσμοί αυτοί γίνονται τόσο λεπτοί, ώστε είναι αδιόρατοι για το μη εξασκημένο μάτι.

Κάτι τέτοιο συμβαίνει με τα μαθηματικά, κυρίως με τα μαθηματικά εκείνα που πραγματεύονται τους αριθμούς..."

Τελειώνοντας το μήνυμα αυτό της 1ης/06/2008 συνέχισα την επιχειρηματολογία μου υποστηρίζοντας την άποψή μου αυτή, στα μηνύματά μου στις 02/06, 04/06 και 05/06/2008.

Φιλικά

Κηφεύς

Τελικά θυμήθηκα γιατί μου είχε "κολλήσει" η περίπτωση με τα κλάσματα και γιατί το μυαλό μου πήγαινε σε αρνητικό αριθμό.
Είχα στο νου μου τις περιπτώσεις όπου έχουμε μια βάση υψωμένη σε αρνητική δύναμη.
Για παράδειγμα, 2 εις τη μείον 3η όπου νομίζω πως δημιουργείται ένα κλάσμα με αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή το 2 υψωμένο εις την συν 3η.

2^(-3) ====> 1/2^3

Νομίζω ότι τώρα το "έπιασα".

In anticipation of my resurrection...

quote:

---

Τελικά θυμήθηκα γιατί μου είχε "κολλήσει" η περίπτωση με τα κλάσματα και γιατί το μυαλό μου πήγαινε σε αρνητικό αριθμό.
Είχα στο νου μου τις περιπτώσεις όπου έχουμε μια βάση υψωμένη σε αρνητική δύναμη.
Για παράδειγμα, 2 εις τη μείον 3η όπου νομίζω πως δημιουργείται ένα κλάσμα με αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή το 2 υψωμένο εις την συν 3η.

2^(-3) ====> 1/2^3

---

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

Θα δούμε τώρα τι πλροφορίες έχομε για το μαθηματικό έργο του Σπεύσιππου και του Μέλισσου του Σάμιου:

ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΣΠΕΥΣΙΠΠΟΥ

Το Μαθηματικό έργο του Σπεύσιππου του Αθηναίου , υιού της αδελφής του Πλάτωνα , Ποτώνης , έχει σκοπό φιλοσοφικό και όχι μαθηματικό .

Το μισό του έργου του αναφέρεται στον αριθμό και τα είδη του με απώτερο σκοπό να αποδώσει τις μορφές του κόσμου .

Στην ανάπτυξη περί αριθμού και τα είδη του φαίνεται εμφανώς η επίδραση των Πυθαγορείων , του Φιλολάου και του Πλάτωνα .

Ο Σπεύσιππος εξετάζει ιδιαίτερα την δεκάδα , επηρεασμένος από τις δοξασίες των Πυθαγορείων . Οι Πυθαγόρειοι , όπως είναι γνωστό , προσπαθούσαν με τους δέκα πρώτους αριθμούς να αναπτύξουν τις θεωρίες τους περί τάξεως στην φύση και στην ηθική .

Δεν γνωρίζομε , αν ο Σπεύσιππος ασχολήθηκε με τον συμβολισμό των πέραν των 10 αριθμών .

Ο Σπεύσιππος στο έργο του αυτό , όπως μπορεί να διακρίνει κανείς , προσπαθεί να αποδείξει ότι η δεκάδα είναι η φυσική κατεύθυνση όλων των πραγμάτων και αποτελεί την βασική ιδέα κάθε κοσμικής ενέργειας και την ουσία του σύμπαντος .

Ο μελετητής λοιπόν του Μαθηματικού έργου του Σπεύσιππου δεν μπορεί να συμπεράνει από αυτό , το μαθηματικό έργο των Πυθαγορείων και της Ακαδημίας του Πλάτωνα .

Χαρακτηριστική είναι η προσπάθειά του , να πετύχει με τα Μαθηματικά να εξηγήσει όχι μόνο την λογική σκέψη αλλά και την υπερβατική .

Το έργο του το αναφέρει συχνά ο Ευκλείδης .

ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΜΕΛΙΣΣΟΥ ΤΟΥ ΣΑΜΙΟΥ

Ο Mullach συγκέντρωσε το έργο του Μέλισσου σε 17 αποσπάσματα από εικασίες , οι οποίες προήλθαν από όσα αναφέρει γι’αυτόν τον φιλόσοφο ο σχολιαστής του έργου του Αριστοτέλη Simplicius .

Και αυτός με μαθηματικές τοποθετήσεις προσπαθεί να αναπτύξει τις φιλοσοφικές του θεωρίες και να θεμελιώσει ορισμένες φιλοσοφικές αρχές .

Δηλαδή και το μαθηματικό έργο του Μέλισσου , αποτελεί εισαγωγή για την κατανόηση των φιλοσοφικών προσπαθειών του .

Φιλικά

Κηφεύς

οπως και η προγονοι μας,και εμεις βασιζομαστε σε μαθηματικα για να κανουμε τη ζωη τους ποιο ευκολη, ετσι πιστευω και το συμπαν, ο θεος, ή οποιος αλλος θελετε εσεις και πιστευετε οτι εφτιαξε ολους μας, βασιστηκε στα μαθηματικα για να τα φτιαξει...

quote:

---

η δικη μου γνωμη ειναι οτι ειναι ανακαλυψη..

οπως και η προγονοι μας,και εμεις βασιζομαστε σε μαθηματικα για να κανουμε τη ζωη τους ποιο ευκολη, ετσι πιστευω και το συμπαν, ο θεος, ή οποιος αλλος θελετε εσεις και πιστευετε οτι εφτιαξε ολους μας, βασιστηκε στα μαθηματικα για να τα φτιαξει...

ισως οταν ανακαλυψουμε και εξελιξουμε τα μαθηματικα στο απολυτο τους, να γινουμε και εμεις θεοι... ποιος ξερει..

---

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

Σήμερα θα αρχίσουμε να ασχολούμαστε με Τα στοιχεία του Ευκλείδη και ειδικότερα με τα βιβλία VII , VIII και IX.

Τα στοιχεία του Ευκλείδη πρέπει να θεωρηθούν σαν Αριθμητική μέθοδος, σαν βιβλίο που προορίζονταν για τους σπουδαστές του Μαθηματικού έργου των προγόνων μας. Σε αυτό το σημείο συνηγορούν: η διάταξη της ύλης και η μέθοδος απόδειξης των θεωρημάτων.

Ο Ιάμβλιχος στον περί Μαθηματικών λόγο του, κεφ. XVII, γράφει:
"Και μην ότι γε τάξις εν αυτή διττή η μεν κατά φύσιν αυτή συνυπάρχουσα, η δε ως προς την μάθησιν ράδιον εντεύθεν καταμαθείν...η μεν ουν κατά φύσιν των μαθημάτων τάξις προτάττει τα απλούστερα ως πρότερα οίον αριθμητικήν γεωμετρίας, ενίοτε δε και προς διδασκαλίαν τα αυτά προηγείται, όταν από των στοιχείων γίγνεται των συνθέτων η μάθησις...".

Στα παραπάνω συνηγορούν και τα αναφερόμενα από τον σχολιαστή των Στοιχείων:

Ο Πρόκλος γράφει:
"Έστι δε τούτο (το στοιχειώσαι) χαλεπόν και το εκλέξασθαι και τάξαι κατά τρόπον τα στοιχεία καθ'εκάστην επιστήμην, αφ'ων τα άλλα προάγεται πάντα και εις α τα άλλα αναλύεται. Και των επιχειρησάντων οι μεν πλείω, οι δε ελάττω συναγαγείν ηδυνήθησαν, και οι μεν βραχυτέραις αποδείξεσιν εχρήσαντο, οι δε εις μήκος απέραντον εξέτειναν την θεωρίαν, και οι μεν τον δι'αδυνάτου τρόπον εξέκλιναν, οι δε την αναλογίαν, οι δε προπαρασκευάς εμηχανήσαντο προς τους αναιρούντας τας αρχάς, και όλως πολλοί τινες εύρηνται τρόποι της στοιχειώσεως εκάστοις".

Εκείνο το οποίο πέτυχε λοιπόν ο Ευκλείδης με την μέθοδό του είναι, όπως αναφέρει ο Πρόκλος, το καθολικό της απόδειξης και η μετάβαση με τα θεωρήματα στα ζητούμενα.

Άλλη επιτυχία του Ευκλείδη είναι η οικονομία , η οποία γίνεται παρά την επιστημονική ανάπτυξη της ύλης, όπως και ο Πρόκλος αναφέρει.

Εξετάζοντας παραπέρα τα "Στοιχεία", καταλήγομε στο ίδιο συμπέρασμα που κατέληξε και ο Paul Tannery ξεκινώντας από διαφορετικά στοιχεία, ότι δηλαδή η γεωμετρική μέθοδος απόδειξης των αριθμητικών προτάσεων, την οποία χρησιμοποιεί ο Ευκλείδης, δεν είναι Πυθαγόρεια μέθοδος.

Μήπως όμως τα στοιχεία του Ευκλείδη είναι ικανά να μας πληροφορήσουν με ακρίβεια την ποσότητα των αριθμητικών γνώσεων των προγόνων μας;
Όχι, δεν είμαστε σίγουροι ότι αρκούν.
Υπάρχουν μαθηματικά θέματα, όπως είναι η εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας , το περί τελείων αριθμών και τόσα άλλα τα οποία δεν θίγονται καθόλου στα στοιχεία του Ευκλείδη.

Άρα τα στοιχεία του Ευκλείδη δεν μπορούν επακριβώς να μας πληροφορήσουν για τις μαθηματικές γνώσεις των Αρχαίων Ελλήνων ούτε τις μεθόδους του "μαθηματικώς σκέπτεσθαι και λογίζεσθαι" .

Φιλικά

Κηφεύς

Αν δούμε, όμως, το έργο του Ευκλείδη συνολικά, μπορούμε να διακρίνουμε σε τι έγκειται η μεγάλη του προσφορά στην Μαθηματική Επιστήμη.

Το σύνολο των δεκατριών βιβλίων , τα οποία αποτελούν το σώμα των «Στοιχείων» , μπορεί να διαιρεθεί σε τρία μεγάλα τμήματα .

Το πρώτο περιλαμβάνει τα έξι πρώτα βιβλία και ασχολείται με την Επιπεδομετρία .

Το δεύτερο τμήμα περιλαμβάνει τα τέσσερα επόμενα βιβλία (έβδομο μέχρι και δέκατο) , αποτελεί την αριθμητική θεωρία των «Στοιχείων» .

Τα υπολειπόμενα τρία βιβλία , ασχολούνται με την Στερεομετρία .

Στα επί μέρους αυτά τρία τμήματα βρίσκομε επίσης μερικότερες ομάδες βιβλίων . Έτσι τα τέσσερα πρώτα βιβλία δεν περιέχουν καμία απόδειξη που να στηρίζεται στην αρχή της ομοιότητας και της αναλογίας , διότι περί αναλογίας γίνεται λόγος στο πέμπτο βιβλίο και περί της ομοιότητας στο έκτο .

Στο δεύτερο τμήμα , το οποίο αποτελεί την αριθμητική του Ευκλείδη , το δέκατο βιβλίο έχει σαν θέμα του την θεωρία των ασυμμέτρων μεγεθών , ενώ τα προηγούμενα τρία (7 – 9) πραγματεύονται τους ρητούς αριθμούς .

Μεγαλύτερη ενότητα εμφανίζουν τα τρία τελευταία βιβλία που αναφέρονται στην στερεομετρία .

Στο πέμπτο και έκτο βιβλίο στηρίζεται ο Ευκλείδης στις διδασκαλίες του Ευδόξου .

Το δέκατο βιβλίο που πραγματεύεται τα ασύμμετρα μεγέθη στηρίζεται στις έρευνες του Θεαίτητου . Πολλές δε προτάσεις που βρίσκομε στα τρία τελευταία βιβλία , προέρχονται από τις έρευνες του Θεαίτητου και του Εύδοξου .

Το κατόρθωμα του Ευκλείδη δεν συνίσταται μόνο στο ότι ταξινόμησε στην πρέπουσα συστηματική σειρά τις προτάσεις που είχαν ανακαλυφθεί από προηγούμενούς του αλλά τις περισσότερες τις συμπλήρωσε και τις στερέωσε με ακαταμάχητα αποδεικτικά επιχειρήματα .

Φανερή δε είναι και η επίδραση του Πλάτωνα , ιδιαίτερα στους ορισμούς του .

Ως προς την συστηματική διάρθρωση της επιστήμης , θεωρούμενης σαν ενιαίο σύνολο , στηριζόμενο σε γενικότατες αρχές , ακολουθεί τα συμπεράσματα τα οποία έχει εκθέσει ο Αριστοτέλης στα «Αναλυτικά» του .

Έχοντας όλα αυτά υπόψη του ο Ευκλείδης κατόρθωσε να συστηματοποιήσει με θαυμαστό τρόπο τις γεωμετρικές προτάσεις .

Κανένα στοιχείο δεν χρησιμοποιείται αν δεν είναι τελείως καθορισμένη η σημασία του , και αν δεν είναι εγγυημένο το κύρος του από αξιώματα , θεωρήματα ή ή προηγούμενες αποδειχθείσες προτάσεις .

Φιλικά

Κηφεύς

Ας εξετάσουμε, σήμερα, τις περιόδους της ανάπτυξης της Ελληνικής μαθηματικής επιστήμης:

Παρακολουθώντας ιστορικά την ανάπτυξη των μαθηματικών στην Ελλάδα , διακρίνουμε τις ακόλουθες επτά περιόδους :

1η Θεμελιωτική περίοδος : Από τις αρχές του 6ου αιώνα , οπότε σημειώνεται η επιστημονική δράση του Θαλή μέχρι τα μέσα του 5ου αιώνα (450 π.Χ.) , οπότε τίθενται για μαθηματική έρευνα τα τρία μεγάλα γεωμετρικά προβλήματα (ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου και η τριχοτόμηση της γωνίας).

2η Περίοδος πρώτης ανάπτυξης και κρίσης : Από τα μέσα του 5ου αιώνα μέχρι το 368 π.Χ. έτους , κατά το οποίο ιδρύθηκε από τον Πλάτωνα η Ακαδημία .

3η Περίοδος σταθεροποίησης και υπερνίκησης της κρίσης : Από το 386 μέχρι το 323 π.Χ. , οπότε ανέβηκε στο θρόνο της Αλεξάνδρειας ο Πτολεμαίος ο πρώτος .

4η Περίοδος ωριμότητας και ύψιστης ακμής : Από το 323 π.Χ. μέχρι το 30 π.Χ. έτους , κατά το οποίο καταλύθηκε από τους Ρωμαίους το ελληνικό βασίλειο των Λαγιδών .

5η Περίοδος των σχολιαστών : Από το 30 π.Χ. μέχρι την κτίση της Αγίας Σοφίας το 537 μ.Χ.

6η Περίοδος συντήρησης των αρχαίων συγγραμμάτων στο Βυζάντιο : Από το 537 μ.Χ. μέχρι την άλωση της Κωνσταντινουπόλεως το 1453 μ.Χ. Μετά το έτος αυτό με την κατάλυση της Ελληνικής Αυτοκρατορίας τερματίζεται η ασχολία στην Ελλάδα με τα Μαθηματικά .

7η Περίοδος από το 1453 μέχρι σήμερα .

Είναι προφανές ότι η ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης παρακολουθεί τις τύχες του ελληνικού έθνους :
Ξεκινάει από την Ιωνία , μεταφέρεται έπειτα στο κέντρο του Ελληνισμού , την Αθήνα, και φθάνει στο κατακόρυφο της ανάπτυξής της στην Αλεξάνδρεια . Μετά την κατάλυση του βασιλείου των Λαγιδών ανασυγκροτείται από τους μεγάλους σχολιαστές και κατά την μεσαιωνική περίοδο φροντίζεται να διατηρηθούν τα παλιά συγγράμματα , να σχολιαστούν και να ερμηνευθούν .

Κατά την τελευταία περίοδο αναζωογονούνται και πάλι οι μαθηματικές σπουδές. Ο Βενιαμίν ο Λέσβιος και ο Θεόφιλος Καΐρης , γνώριζαν και καλλιεργούσαν με αγάπη και αφοσίωση τις μαθηματικές επιστήμες .

Κατά την σύγχρονη εποχή η Ελλάδα έχει πλέον να επιδείξει διάσημους μαθηματικούς, μεταξύ των οποίων τον Κωνσταντίνο Καραθεοδωρή (1873 – 1950) , που υπήρξε ο κορυφαίος Έλληνας μαθηματικός που διακρίθηκε σε παγκόσμιο επίπεδο .

Φιλικά

Κηφεύς

Με την λύση του προβλήματος αυτού ασχολήθηκε ο Αναξαγόρας.
Η παράδοση αναφέρει ότι επιχειρούσε να το λύσει με γεωμετρικά διαγράμματα.

Εκτός αυτού αναφέρεται ότι άλλοι τρείς ερευνητές ασχολήθηκαν με το ίδιο πρόβλημα .Ο Ιπποκράτης ο Χίος , ο Ιππίας ο Ηλείας και ο Αντιφών .

Ο Ιπποκράτης ο Χίος χρησιμοποίησε δύο γεωμετρικές προτάσεις , τις οποίες είχε ανακαλύψει και θέλησε να προχωρήσει στην λύση , επιλύοντας κατά την συνήθειά του άλλο πρόβλημα ευκολότερο .

Επιχείρησε δηλαδή κατ’αρχάς να βρει τον τετραγωνισμό των μηνίσκων .

Μηνίσκοι είναι στην γεωμετρική ορολογία γεωμετρικά σχήματα που μοιάζουν με την Σελήνη , όπως παρουσιάζεται με σχήμα ελλειπτικό κατά τις πρώτες μέρες της εμφάνισής της .

Αν κατασκευάσουμε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ΒΑΓ , μπορούμε με διάμετρο τις πλευρές του ΑΒ , ΒΓ και ΓΑ , να σχηματίσουμε τρία ημικύκλια .

Το δεύτερο είναι το ημικύκλιο που γράφεται με διάμετρο την υποτείνουσα ΒΓ και διέρχεται από την κορυφή Α της ορθής γωνίας .

Τα δύο άλλα ημικύκλια, τα οποία κατασκευάστηκαν με διαμέτρους την ΑΒ και την ΓΑ , κείνται εκτός του τριγώνου και έχουν κοινά μέρη με το ημικύκλιο της ΒΓ (που είναι το ΒΖΑΗΓΒ) τα κυκλικά τμήματα (ΒΖΑΒ) και (ΑΗΓΑ) .

Αν τώρα αφαιρέσουμε από το ημικύκλιο , που κατασκευάστηκε με διάμετρο την ΑΒ (που είναι το ΒΔΑΒ) το κυκλικό τμήμα (ΒΖΑΒ) μένει το σεληνοειδές τμήμα (ΒΔΑΖΒ) , το οποίο καλείται μηνίσκος .

Επίσης αν αφαιρέσουμε από το ημικύκλιο που κατασκευάστηκε με διάμετρο την ΓΑ (που είναι το ΑΕΓΑ) το κυκλικό τμήμα (ΑΗΓΑ) , μένει το σεληνοειδές τμήμα (ΑΕΓΗΑ) , το οποίο επίσης καλείται μηνίσκος.

Στο επόμενο μήνυμα θα εξετάσουμε την σχέση των εμβαδών των τριών αυτών ημικυκλίων.

Φιλικά

Συνεχίζουμε την περιγραφή της προσπάθειας τετραγωνισμού του κύκλου από τον Ιπποκράτη τον Χίο:

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι τα εμβαδά σχημάτων οιασδήποτε μορφής , τα οποία κατασκευάζονται επί των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου , έχουν άθροισμα ίσο με το εμβαδόν του σχήματος το οποίο κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα , άρα τα εμβαδά των ημικυκλίων :
(ΒΔΑΒ) + (ΑΕΓΑ) = (ΒΖΑΗΓΒ) . (1)
Αλλά το (ΒΔΑΒ) = (ΒΔΑΖΒ) + (ΒΖΑΒ) (2)

(ΑΕΓΑ) = (ΑΕΓΗΑ) + (ΑΗΓΑ) (3)

Από τις παραπάνω εξισώσεις 1 , 2 , 3 προκύπτει :

(ΒΔΑΖΒ) + (ΒΖΑΒ) +( ΑΕΓΗΑ) + (ΑΗΓΑ) = (ΒΖΑΗΓΒ) (4)

Αλλά (ΒΖΑΗΓΒ) = (ΒΖΑΒ) + (ΒΑΓ) + (ΑΗΓΑ) (5)

Από τις 4 , 5 έχομε :

(ΒΔΑΖΒ) + (ΑΕΓΗΑ) = (ΒΑΓ) (6)

Η εξίσωση (6) μας λέει ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο μηνίσκων (ΒΔΑΖΒ) και (ΑΕΓΗΑ) .

Φιλικά

Όπως είδαμε από την προηγούμενη κατασκευή , βρέθηκε ότι υπάρχει τρίγωνο (ισοσκελές ορθογώνιο) , του οποίου το εμβαδόν ισούται με το εμβαδόν δύο μηνίσκων .

Ας δούμε το παρακάτω σχήμα που αφορά την ίδια κατασκευή :

Επειδή (ΒΑ) = (ΓΑ) , θα έχομε κατά το πυθαγόρειο θεώρημα :(ΒΓ).(ΒΓ)=2.(ΒΑ) (ΒΑ)

Οι κύκλοι όμως με διαμέτρους (ΒΓ) και (ΒΑ) έχουν μεταξύ τους τον ίδιο λόγο τον οποίο έχουν και τα τετράγωνα των διαμέτρων τους , θα έχομε ότι :

το ημικύκλιο (ΒΑΓ) = 2 . ημικύκλιο (ΒΕΑ)

Άρα το ημικύκλιο (ΒΕΑ) = το ημικύκλιο (ΒΑΓ) : 2

Αλλά :o κυκλικός τομέας (ΒΖΑΔ) = το ημικύκλιο (ΒΑΓ) : 2

Άρα ημικύκλιο (ΒΕΑ) = κυκλικός τομέας (ΒΖΑΔ) .

Αφαιρουμένου του κοινού μέρους (ΒΖΑΒ) έχομε ότι :

Άρα βρέθηκε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο το οποίο έχει το ίδιο εμβαδόν με τον μηνίσκο (βλ. παραπάνω σχήμα) .

Κατ’αυτόν τον τρόπο το εμβαδόν του μηνίσκου (ΒΖΑΒ) συνδέθηκε με το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου το ¼ (ένα τέταρτο) είναι το εμβαδόν του τριγώνου (ΒΔΑ) , και γι’αυτό ο Ιπποκράτης μπόρεσε να ισχυρισθεί ότι τετραγώνισε τον μηνίσκο .

Είναι προφανές ότι για να φθάσει στα συμπεράσματά του αυτά ο Ιπποκράτης χρησιμοποιεί το θεώρημα το οποίο λέγει ότι τα ημικύκλια έχουν μεταξύ τους τον ίδιο λόγο τον οποίο έχουν μεταξύ τους τα τετράγωνα των διαμέτρων τους .

Φιλικά

Κηφεύς

Πρόσφατα πληροφορήθηκα πώς επιτυγχάνεται ο τετραγωνισμός του κύκλου!

Ο τρόπος είναι απλός και εμπνευσμένος απ'το αέτωμα του Παρθενώνα!

Είναι ο εξής: Απ'το κέντρο του κύκλου σχηματίζουμε μια γωνία 144 μοιρών (τόσες είναι και οι μοίρες της γωνίας του αετώματος του Παρθενώνα...).
Οι πλευρές της γωνίας αυτής, τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία.
Αν λοιπόν ενώσουμε τα δύο αυτά σημεία σχηματίζεται η πλευρά ενός τετραγώνου το οποίο έχει το ίδιο εμβαδό με τον κύκλο!

quote:

---

Πρόσφατα πληροφορήθηκα πώς επιτυγχάνεται ο τετραγωνισμός του κύκλου!

Ο τρόπος είναι απλός και εμπνευσμένος απ'το αέτωμα του Παρθενώνα!

Είναι ο εξής: Απ'το κέντρο του κύκλου σχηματίζουμε μια γωνία 144 μοιρών (τόσες είναι και οι μοίρες της γωνίας του αετώματος του Παρθενώνα...).
Οι πλευρές της γωνίας αυτής, τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία.
Αν λοιπόν ενώσουμε τα δύο αυτά σημεία σχηματίζεται η πλευρά ενός τετραγώνου το οποίο έχει το ίδιο εμβαδό με τον κύκλο!

---

Κηφεύς

Με κανόνα και διαβήτη φυσικά και μέχρι τώρα δεν έχει βρεθεί ο τρόπος και το πρόβλημα παραμένει άλυτο...

Γενικότερα τετραγωνίζεται ο κύκλος με πολλούς τρόπους...

Ας αντιστρέψουμε το σκεπτικό και ας υπολογίσουμε (αλγεβρικά και τργωνομετρικά) την γωνία του αετώματος σύμφωνα με το σχέδιο που προτείνεις και το οποίο φαίνεται παρακάτω

Αυτό που ζητάμε να βρούμε είναι πόση πρέπει να είναι η γωνία ΑΚΒ ούτως ώστε το τετράγωνο με πλευρά την (ΑΒ) να έχει το ίδιο εμβαδόν με τον κύκλο Κ .

Φέρομε την κάθετο ΚΓ από το κέντρο του κύκλου Κ στην ΑΒ .

Από το τρίγωνο (ΚΓΑ) έχομε :

ημ. (ΓΚΑ) = (ΑΓ) : (ΚΑ)

από την οποία (ΑΓ) = (ΚΑ) . ημ (ΓΚΑ)

Αλλά (ΑΓ) = (ΑΒ) : 2

Από την οποία συνάγομε ότι :

(ΑΒ) = 2 . (ΑΓ) = 2 . (ΚΑ) . ημ (ΓΚΑ)

Και τόξ ημ (ΓΚΑ) = 62,375 μοίρες

Δηλαδή γωνία (ΑΚΒ) = 2 x 62,375 = 124,75 μοίρες .

Τι μας λέει αυτό;

Μας λέει ότι αν οι αρχαίοι μας πρόγονοι δεν ήξεραν άλγεβρα και τριγωνομετρία (όπως έτσι πιστεύουμε μέχρι σήμερα), πειραματίστηκαν ψάχνοντας και τελικά βρίσκοντας την γωνία των 124,75 μοιρών που με το σχέδιό σου βρίσκεται η πλευρά του τετραγώνου που το εμβαδόν του ισούται με το εμβαδόν του κύκλου και αποτύπωσαν αυτή τη γωνία στο αέτωμα του Παρθενώνα.

Φιλικά

Κηφεύς

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

Μού άρεσε πολύ η μέθοδος που χρησιμοποιήσες και τα συμπεράσματα που έβγαλες...
Μένει μόνο να επαληθεύσουμε τη γωνία του αετώματος (ότι είναι δηλαδή 124 μοίρες) ώστε ν'αποδείξουμε, για μια ακόμη φορά, πως οι αρχαίοι ημών πρόγονοι ήξεραν πολύ καλά τι κάνανε και γιατί το κάνανε...

Ο Ιπποκράτης ο Χίος δεν περιορίστηκε στον τετραγωνισμό μόνο του μηνίσκου του είδους που προανέφερα , αλλά τετραγώνισε κατά την παράδοση έξι είδη μηνίσκων .

Έτσι π.χ. βρήκε ότι οι τρείς μηνίσκοι που κατασκευάζονται επί των τριών πλευρών του εγγεγραμμένου σε κύκλο κανονικού εξαγώνου ισούνται με το άθροισμα του τραπεζίου που κατασκευάζομε από τη διάμετρο του ημικυκλίου και των τριών πλευρών του εξαγώνου και ενός ημικυκλίου το οποίο έχει ως διάμετρο μία από τις πλευρές του εξαγώνου .

Δηλαδή το εγγεγραμμένο στο ημικύκλιο Λ τραπέζιο (ΑΒΓΔ) ισούται με τους τρείς μηνίσκους συν το ημικύκλιο το οποίο σχηματίζεται με διάμετρο την πλευρά του εξαγώνου , την οποία παριστάνω με το Θ :
Μην. Ε + μην. Ζ + μην. Η + ημικύκλ. Θ = Τραπέζιο (ΑΒΓΔ) .

Ο θεμελιωτής της άλγεβρας Γάλλος Μαθηματικός Βιέτα σε έργο του που γράφτηκε το 1593 αποδεικνύει την στενή συνάφεια που έχει ο τετραγωνισμός των μηνίσκων , από τον Ιπποκράτη , με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου .

Για να προχωρήσει στην εξέταση των ζητημάτων αυτών ο Ιπποκράτης ξεκινούσε από αποδεδειγμένες θεωρητικές προτάσεις .

Προσπάθησε να τετραγωνίσει όχι μόνο τους μηνίσκους τους σχηματιζόμενους εκτός της ημιπεριφερείας , αλλά και εντός αυτής , και ακόμη εντός τόξου το οποίο είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο της ημιπεριφερείας .

Σκέφθηκε ότι αν κατόρθωνε να τετραγωνίσει όλα τα είδη των μηνίσκων θα έφθανε στον τετραγωνισμό του κύκλου , διότι νόμιζε ότι ο κύκλος μπορεί να αναλυθεί σε μηνίσκους χωρίς να μείνει υπόλοιπο .

Επειδή όμως μια τέτοια ανάλυση είναι ακατόρθωτη , κάθε δε ανάλυση του κύκλου σε μηνίσκους αφήνει υπόλοιπο . η απόπειρα του Ιπποκράτη απέτυχε .

Ο Αριστοτέλης κάνει λόγο για την απόπειρα αυτή του Ιπποκράτη του Χίου , κατατάσσοντας αυτήν στα ψευδογραφήματα , δηλαδή στις εσφαλμένες επί τη βάσει γεωμετρικών σχημάτων (και όχι αριθμητικών υπολογισμών) αποδείξεις .

Αλλά η αξία των προσπαθειών του Ιπποκράτη , δεν μειώνεται καθόλου από το γεγονός ότι δεν έφθασε στο επιθυμητό αποτέλεσμα .

Έθεσε ένα πρόβλημα το οποιο υπήρξε καρποφόρο για τις γεωμετρικές σπουδές όχι μόνο κατά την αρχαιότητα αλλά και στα νεώτερα χρόνια .

Όπως προαναφέρθηκε παραπάνω ο Βιέτα ασχολήθηκε πάλι με αυτό , εκτός δε απ’αυτόν και ο Μπερνουΐγι .

Έτσι δικαίως μπορεί να καταταχθεί ο Ιπποκράτης μεταξύ των μεγαλοφυεστέρων μαθηματικών του κόσμου .

Φιλικά

Κηφεύς

ΝΑ ΑΦΗΣΩ ΛΟΙΠΟΝ ΚΑΙ ΕΓΩ ΔΥΟ "ΓΝΩΣΕΙΣ" ΠΟΥ ΜΟΥ ΕΚΑΝΑΝ ΜΕΓΑΛΗ ΕΝΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΜΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΑΝ ΟΤΑΝ ΑΠΟ ΣΠΟΝΤΑ ΤΙΣ ΑΚΟΥΣΑΜΕ ΑΠΟ ΕΝΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΗ :

1ΟΝ: ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟ "ΑΞΙΩΜΑ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ" ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΛΕΕΙ ΟΤΙ , ΑΠΟ ΑΠΕΙΡΟ ΠΛΗΘΟΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΠΑΝΤΑ ΜΠΟΡΩ ΝΑ ΕΠΙΛΕΞΩ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΑΠΟ ΚΑΘΕ ΣΥΝΟΛΟ . ΑΥΤΟ ΦΥΣΙΚΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΙ ΑΥΤΑΠΟΔΕΙΚΤΟ ΚΑΙ ΟΥΤΕ ΘΥΜΙΖΕΙ ΠΟΛΥ ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΠΟΥ ΞΕΡΟΥΜΕ ΑΠΟ ΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΧ. ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΝΑΙ ΟΛΑ ΘΑ ΛΕΓΑΜΕ ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ, ΟΜΩΣ ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΑΞΙΩΜΑ , ΠΟΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ Ή ΠΙΑ ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ ΜΟΥ ΛΕΕΙ ΟΤΙ ΜΠΟΡΩ ΝΑ ΕΠΙΛΕΓΩ ΠΑΝΤΑ ΑΠΟ ΚΑΘΕ ΣΥΝΟΛΟ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ , ΕΣΤΩ Κ ΑΝ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΣ?

2ΟΝ:ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ , ΚΑΙ ΟΛΑ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΤΟΙΟΥΤΟΤΡΟΠΩΣ . ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΟΤΑΝ ΛΕΜΕ ΑΡΙΘΜΟΣ , ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΔΩΣΟΥΜΕ ΚΑΠΟΙΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΓΙΑ ΤΟ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΗ Η ΟΝΤΟΤΗΤΑ ΠΟΥ ΕΜΕΙΣ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΕΤΣΙ . ΟΜΩΣ ΟΡΙΖΟΥΜΕ ΤΑ ΣΥΝΟΛΑ ΠΧ ΦΥΣΙΚΟΥΣ ΚΤΛ , ΚΑΙ ΞΕΡΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΜΟΥΣ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ !
ΔΗΛΑΔΗ : ΔΕΝ ΜΑΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΕΙ ΝΑ ΞΕΡΟΥΜΕ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ , ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΞΕΡΟΥΜΕ ΠΩΣ ΑΥΤΟΙ ΣΥΣΧΕΤΙΖΟΝΤΑΙ .
ΤΡΟΜΕΡΗ ΛΕΠΤΟΜΕΡΙΑ ΠΟΥ ΠΟΤΕ ΔΕΝ ΕΙΧΑ ΠΡΟΣΕΞΕΙ .

ΚΑΙ ΕΝΑ ΣΧΟΛΙΑΚΙ ΕΤΣΙ ΓΙΑ ΓΙΑ ΚΟΥΤΣΟΜΠΟΛΙΟ , ΠΟΥ ΑΛΛΟΥ ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΑΙ Η ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ? (ΠΟΥ ΠΑΡΕΠΙΠΤΟΝΤΩΣ ΕΙΧΕ ΞΕΚΙΝΗΣΕΙ ΠΟΛΥ ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΓΕΝΝΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΙΣΤΟΥ) - ΜΑ ΦΥΣΙΚΑ ΣΤΗΝ ΘΡΗΣΚΕΙΑ ! ΑΡΧΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΕΝΤΟΛΕΣ , ΚΑΙ ΕΝΑ ΣΥΝΟΛΟ "ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ" Η ΒΙΒΛΟΣ . ΣΑΦΩΣ ΟΧΙ ΜΕ ΤΗΝ ΑΥΣΤΗΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΝΝΟΙΑ ΟΛΑ ΑΥΤΑ

quote:

---

ΚΑΙ ΕΝΑ ΣΧΟΛΙΑΚΙ ΕΤΣΙ ΓΙΑ ΓΙΑ ΚΟΥΤΣΟΜΠΟΛΙΟ , ΠΟΥ ΑΛΛΟΥ ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΑΙ Η ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ? (ΠΟΥ ΠΑΡΕΠΙΠΤΟΝΤΩΣ ΕΙΧΕ ΞΕΚΙΝΗΣΕΙ ΠΟΛΥ ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΓΕΝΝΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΙΣΤΟΥ) - ΜΑ ΦΥΣΙΚΑ ΣΤΗΝ ΘΡΗΣΚΕΙΑ ! ΑΡΧΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΕΝΤΟΛΕΣ , ΚΑΙ ΕΝΑ ΣΥΝΟΛΟ "ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ" Η ΒΙΒΛΟΣ . ΣΑΦΩΣ ΟΧΙ ΜΕ ΤΗΝ ΑΥΣΤΗΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΝΝΟΙΑ ΟΛΑ ΑΥΤΑ

---

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά .