- τι ειναι ο χρονος? - .-= Η ΓΝΩΣΗ =-.

Ομολογημένος στόχος τους ήταν να εκφράσουν τη συμπεριφορά του κόσμου με τη βοήθεια των ατόμων και των μορίων .

Εντελώς ανεξάρτητα από τον Poincaré , οι Boltzmann και Gibbs υπέδειξαν έναν κομψό τρόπο για να κάνουν περισσότερο εμφατική τη διαφορά ανάμεσα σε ένα απλό σύστημα με προβλέψιμη συμπεριφορά και σε ένα πολύπλοκο , το οποίο χαρακτηρίζει περισσότερο τους τεράστιους αριθμούς μορίων που συναποτελούν τα καθημερινά αντικείμενα .

Για να καταστήσουν βατή τη συμπεριφορά εκατομμυρίων μορίων , απεικόνισαν το πρόβλημα στο χώρο των φάσεων , μια σχηματική επινόηση η οποία παίζει καθοριστικό ρόλο σε όλες τις τεχνικές πραγματείες περί το ζήτημα .

Τα πορτρέτα συμπεριφοράς στο χώρο των φάσεων μπορεί να είναι εξαιρετικά πληροφοριακά , αποκαλύπτοντας την υποκείμενη συμπεριφορά με την ίδια σιγουριά που οι πινελιές προσδιορίζουν την ταυτότητα του καλλιτέχνη .

Μπορούν επίσης να βοηθήσουν στην αποκάλυψη του βέλους του χρόνου .

Για να σχηματίσουμε στο χώρο των φάσεων το «πορτρέτο» μίας και μόνης μπίλιας του μπιλιάρδου που κυλάει πάνω στο τραπέζι , πρέπει να δηλώσουμε τη θέση της , πράγμα που απαιτεί τρία μεγέθη ή συντεταγμένες (αριστερά / δεξιά , πίσω / μπρος , πάνω / κάτω που έχουν συμβατικά τις ονομασίες χ , ψ και ζ) , και την ταχύτητά της , η οποία εκφράζεται επίσης μέσω τριών συνιστωσών κατά μήκος τριών αμοιβαία κάθετων διευθύνσεων .

Έτσι , γίνονται έξι συνολικά οι συντεταγμένες που χρειάζονται για να απεικονιστεί στο πορτρέτο μας η περιγραφή της συμπεριφοράς της μπίλιας .

Για δύο μπίλιες απαιτούνται δώδεκα τέτοιες συντεταγμένες , για τρεις δεκαοκτώ κ.ο.κ. Για Ν μπίλιες θα υπάρχουν 6Ν συντεταγμένες θέσης και ταχύτητας : Οι 6Ν διαστάσεις αποτελούν στην ουσία τον καμβά του πορτρέτου μας στο χώρο των φάσεων .

Σε κάθε δεδομένη στιγμή του χρόνου , η κατάσταση στην οποία βρίσκονται οι Ν μπίλιες μπορεί να περιγραφεί από ένα μοναδικό σημείο στον 6Ν-διάστατο καμβά του χώρου των φάσεων.

Ενώ είναι αδύνατο να εικονογραφήσουμε διαστάσεις πάνω από τρεις , μπορούμε τουλάχιστον να δούμε διαισθητικά ότι η αναπαράσταση ενός εκατομμυρίου μορίων από ένα και μόνο σημείο σε ένα χώρο των φάσεων με έξι εκατομμύρια διαστάσεις μπορεί να προσφέρει ορισμένα πλεονεκτήματα εν συγκρίσει με μια περιγραφή με ένα εκατομμύριο σημεία που διατρέχουν έναν συνηθισμένο τρισδιάστατο χώρο .

Καθώς οι μπίλιες αναπηδούν συγκρουόμενες σύμφωνα με τις εξισώσεις κίνησης του Νεύτωνα , το σημείο διαγράφει μια απλή τροχιά στο χώρο των φάσεων .

Στη διάρκεια κάθε κύκλου γίνεται μια ανταλλαγή ενέργειας από τη δυναμική μορφή , στα άκρα κάθε αιώρησης , στην κινητική μορφή , όταν το εκκρεμές αποκτά την μεγίστη ταχύτητα , και το αντίστροφο .

Για μικρές αιωρήσεις το εκκρεμές συνιστά ένα ολοκληρώσιμο σύστημα , για το οποίο οι εξισώσεις του Νεύτωνα λύνονται επακριβώς .

Το πορτρέτο του εκκρεμούς στο χώρο των φάσεων δείχνει ένα μοναδικό σημείο που διαγράφει έναν κλειστό , αέναα επαναλαμβανόμενο βρόχο (με συντεταγμένες την γωνία του εκκρεμούς , και την ταχύτητα ταλάντωσης) .

Κάθε περιφορά του σημείου πάνω στο βρόχο αντιστοιχεί στη συμπλήρωση μιας περιόδου ταλάντωσης του εκκρεμούς .

Αν γυρίζαμε μια κινηματογραφική ταινία αυτού του εξιδανικευμένου παραδείγματος , θα ήταν αδύνατο να διακρίνουμε την πραγματική κατεύθυνση προς την οποία κινούνται τα πορτρέτα στο χώρο των φάσεων . Επιτρέπονται και οι δύο κινήσεις , ενώ είναι σαφές ότι λείπει το βέλος του χρόνου .

Και αυτό καθ’ εαυτό το γεγονός ότι η τροχιά διαγράφει έναν κλειστό βρόχο , αποτελεί μια γραφική απεικόνιση του κυκλικού χρόνου και της αέναης επαναφοράς του Poincaré .

Χρησιμοποιώντας την αναλογία μας , θα λέγαμε ότι ο καλλιτέχνης που έκανε αυτό το πορτρέτο προέρχεται από τη σχολή των προβλέψιμων ολοκληρώσιμων συστημάτων .

Ας συγκρίνουμε τώρα αυτή τη δουλειά με κάτι πιο πολύπλοκο , που εμφανίζεται όταν απεικονίζεται η συμπεριφορά των μορίων σ’ ένα αέριο . Τα εκατομμύρια μόρια δεν είναι δεμένα όπως το σφαιρίδιο του εκκρεμούς . Αντιθέτως , συγκρούονται διαρκώς μεταξύ τους και με τα τοιχώματα του δοχείου . Με κάθε σύγκρουση οι συντεταγμένες του αερίου στο χώρο των φάσεων υπόκεινται σε ραγδαίες και ουσιαστικές αλλαγές .

Ο Boltzmann και ο Gibbs ανέπτυξαν το συλλογισμό ότι αν δίνεται ένας αρκετά μεγάλος αριθμός μορίων και αρκετός χρόνος , τότε το σημείο θα διανύσει το σύνολο του καμβά του χώρου των φάσεων .

Φαινόταν λογικό διαισθητικά να περιμένει κανείς ότι ένα μεμονωμένο μόριο θα περάσει , με το πέρασμα του χρόνου , από το σύνολο των σημείων του δοχείου .

Αυτή τη συμπεριφορά την ονόμασαν ιδιότητα των εργοδικών συστημάτων : ένας "εργοδικός πίθηκος" που δοκιμάζει ελεύθερα κάθε πλήκτρο μιας γραφομηχανής : Θα δακτυλογραφούσε έπειτα από αφάνταστα μακρό χρονικό διάστημα τα έργα του Αριστοτέλη (καθώς και οποιουδήποτε άλλου) .

Αν ένα σύστημα , όπως ένα μεμονωμένο δοχείο με αέριο , είναι εργοδικό , τότε τα μόρια περνούν από κάθε διαθέσιμο γι» αυτά σημείο του χώρου των φάσεων .

Αν συγκριθεί με το εκκρεμές , η τυχαία φύση της τροχιάς υποδεικνύει πώς τα μόρια του αερίου επιδεικνύουν τυχαία κίνηση .

“Η μόνη παραδοχή η οποία είναι απαραίτητη για μια απευθείας απόδειξη του προβλήματος της θερμοδυναμικής ισορροπίας είναι ότι το σύστημα , αν αφεθεί μόνο του στην παρούσα κινητική κατάστασή του . θα διέλθει αργά ή γρήγορα από κάθε φάση η οποία είναι συμβατή με την εξίσωση της ενέργειας” .

Μήπως τα εργοδικά συστήματα εμπεριέχουν το κλειδί για την κατανόηση του βέλους του χρόνου ;

Τα αξιοσημείωτα διαφορετικά πορτρέτα στο χώρο των φάσεων ενός εκκρεμούς , το οποίο είναι ολοκληρώσιμο σύστημα , και των μορίων ενός αερίου , που υποτίθεται ότι είναι εργοδικά , μας προσφέρουν μια ανεκτίμητη οπτική βοήθεια για να διακρίνουμε αυτά τα δύο είδη συμπεριφοράς .

Στη δεκαετία του 1930 , μαθηματικοί όπως ο John von Newmann , o George Birkhoff , o Eberhard Hopf και ο P.R. Halmos άρχισαν να θέτουν τις βάσεις ενός αυστηρού μαθηματικού πλαισίου για τη θεωρητική επεξεργασία των εργοδικών συστημάτων .

Πρόκειται για την εργοδική θεωρία , η οποία έκτοτε αναπτύχθηκε σε σημείο να αποτελέσει ολόκληρο πεδίο των καθαρών μαθηματικών .

Από τότε σ’αυτό το πεδίο κυριάρχησε μια ομάδα σοβιετικών μαθηματικών που αρχικά εμπνεύσθηκαν από τον Aleksandr Khinchine , ενώ πιο πρόσφατα καθοδηγήθηκαν από τους Andrei Kolmogorov , D.V. Anosov , Vladimir Arnold και Yasha Sinai .

Η δουλειά τους αποκάλυψε πως υπάρχει ολόκληρη ιεραρχία συμπεριφορών μέσα στα εργοδικά συστήματα – μερικά είναι απλά , άλλα πολύπλοκα , ορισμένα είναι κατά παράδοξο τρόπο και πολύπλοκα και απλά ταυτόχρονα – , η οποία μπορεί κατ’ αναλογία να εκφραστεί με μια έκθεση πορτρέτων στο χώρο των φάσεων .

Όπως ακριβώς ένας ιστορικός της τέχνης ταξινομεί τις τάσεις σε "κλασσικές", "ιμπρεσιονιστικές", «κυβιστικές", "σουρεαλιστικές" κ.ά. έτσι και η ταξινόμηση των πορτρέτων στο χώρο των φάσεων φέρνει στην επιφάνεια τον πραγματικό χαρακτήρα της δυναμικής αστάθειας – που είναι βαθιά συνδεδεμένη με το χάος – πράγμα το οποίο είναι κεντρικό ζήτημα για την κατανόηση του βέλους του χρόνου στο ατομικό και μοριακό επίπεδο .

Αν θέλουμε να βρούμε αυτό το βέλος , πρέπει να ξεπεράσουμε ένα πρόβλημα – γιατί ακόμη και στα εργοδικά συστήματα παραμένει τα φάντασμα της επαναφοράς του Poncaré που πρέπει να εξορκιστεί .

Ένα σύστημα που έχει εμπλακεί σ’ έναν κύκλο αέναης επανόδου δεν μπορεί να διαθέτει βέλος του χρόνου .

Όπως επεσήμανε ο Poincaré , δεν μπορεί να υπάρχει αδυσώπητη αύξηση της εντροπίας που σχετίζεται με τη μη αντιστρεπτότητα σε οποιοδήποτε δυναμικό σύστημα , αδιάφορο πόσο πολύπλοκο είναι , αν αυτό έχει τη μοίρα να επαναλαμβάνει τη συμπεριφορά του .

Ανάμεσα στην επαναφορά του Poincaré και ένα αχρονικό σύμπαν παρεμβάλλεται μια λέξη : χάος .

Όταν υπάρχει χάος , τότε παρατηρείται μια εκπληκτική ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες .

Οι εξισώσεις του Νεύτωνα μπορούν να προβλέψουν τι θα συμβεί σε μικρά χρονικά διαστήματα αλλά όχι μακροπρόθεσμα , εκτός αν είναι επακριβώς γνωστές οι αρχικές συνθήκες.

Αυτή η όψη του πραγματικού κόσμου μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως όπλο για να τεθεί τέρμα τόσο στην αιτιοκρατία όσο και στην αέναη επαναφορά του Poincaré .

Μια μικρή αλλαγή στις αρχικές συνθήκες του αέριου , στο παράδειγμά μας , θα σήμαινε ότι τα μόρια που θα συγκρούονταν δεν πρόκειται πια να συγκρουστούν και αντιστρόφως .

Η τροχιά του μοναδικού σημείου σ’ ένα πορτρέτο του χώρου των φάσεων που αναπαριστά όλα αυτά τα μόρια θα άλλαζε ραγδαία .

Έτσι , ενώ στην ιδανική περίπτωση οι εξισώσεις του Νεύτωνα θα’ πρεπε να είναι σε θέση να περιγράφουν τη συμπεριφορά του αερίου , θα όφειλε να γνωρίζει κανείς τις αρχικές συνθήκες (όλα αυτά τα εκατομμύρια αριθμούς) με άπειρη ακρίβεια, ώστε να προβεί σε οποιαδήποτε ακριβή πρόβλεψη για το μέλλον βασιζόμενος στις αιτιοκρατικές εξισώσεις κίνησης .

Ακόμα και για λόγους αρχής δεν θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί αυτό το έργο από κανέναν εγκέφαλο ή υπολογιστική μηχανή με χωρητικότητα μικρότερη της άπειρης .

Αυτό ακριβώς σημαίνει το να λέμε ότι η αναζήτηση της ακρίβειας θα είναι άπειρη – θα μπορούσε να συνεχίζεται επ’ άπειρον και πάλι να μην έχει τελειώσει .

Η αιτιοκρατία μπορεί να υπάρχει μόνο όταν εισέλθει κανείς στο βασίλειο της θρησκείας . Γιατί , όντως , μόνο ένα όν παντογνώστης όσο ο ίδιος ο Θεός θα μπορούσε να ελπίζει ότι θα χειριστεί μια κυριολεκτικά απεριόριστη ποσότητα πληροφορίας .

Ένα παράδειγμα ασταθούς δυναμικού συστήματος είναι ένα αέριο : μια μικρή αλλαγή στις αρχικές συνθήκες προκαλεί τεράστια αλλαγή στη μακροπρόθσμη συμπεριφορά του .

Με παρόμοιο τρόπο , ένα φλίπερ κάνει πάντοτε διαφορετικό παιχνίδι , αδιάφορο πόσο προσεκτικά προσπαθεί ο "μάγος του φλίπερ" να αναπαράγει την ώθηση που δίνεται στην ατσάλινη σφαίρα .

Ένα δυναμικό σύστημα χαρακτηρίζεται χαοτικό αν είναι εξαιρετικά ασταθές : σ’αυτές τις περιπτώσεις , οι τροχιές που οφείλονται σε γειτονικές αρχικές συνθήκες διαχωρίζονται εξαιρετικά γρήγορα (εκθετικά) με το χρόνο .

Και όμως , το πρόβλημα της περιγραφής της εξέλιξης στο χρόνο πηγαίνει πολύ βαθύτερα από την απλή πρακτική δυσκολία να συγκεντρωθούν οι αναγκαίοι αριθμοί για να εισαχθούν ως αρχικές συνθήκες στις εξισώσεις κίνησης του Νεύτωνα .

Η περίπτωση φαίνεται απλή , κρύβει όμως ένα θεμελιώδες πρόβλημα .

Γιατί κάθε αριθμός που παίρνουμε για να περιγράψουμε αυτή την αρχική κατάσταση είναι πολύ ειδικός και όχι τυπικός .

Αυτό συναρτάται με το γεγονός ότι μπορούμε να δουλεύουμε μόνο με τους λεγόμενους ρητούς αριθμούς , που ορίζονται ακριβώς ως η αναλογία δυο ακεραίων αριθμών , ενώ τα μαθηματικά διαθέτουν αφθονία άρρητων αριθμών , που είναι πολύ πιο άβολα μεγέθη , περιγράφονται δε από μια αυστηρά άπειρη ακολουθία τυχαίων ψηφίων .

Αυτό το πλήγμα κατά της αιτιοκρατίας προκύπτει επειδή , μολονότι υπάρχουν άπειροι ρητοί αριθμοί ανάμεσα στο μηδέν και το ένα , υπάρχουν και απείρως περισσότεροι άρρητοι .

Έτσι και οι ίδιοι οι ρητοί αριθμοί , με τους οποίους μπορούμε να δουλέψουμε (οι άρρητοι πρέπει να προσεγγίζονται πάντοτε με ρητούς αριθμούς) , σχηματίζουν μια εξαιρετικά ανώμαλη επιλογή .

Είναι άπειρες φορές πιθανότερο πως όταν τεθεί σε κίνηση η ατσάλινη σφαίρα , η ταχύτητά της θα δίνεται από έναν άρρητο αριθμό . Δεν μπορούμε να ελπίζουμε ότι θα είμαστε κάποτε σε θέση να περιγράψουμε ακριβώς πώς θα κροταλίζει η σφαίρα μέσα στο φλίπερ . Αυτό το χαρακτηριστικό είναι ζήτημα αρχής και όχι μόνο πρακτικό . Ακόμα και οι ρητοί αριθμοί ενδέχεται να είναι αρκετά μεγάλοι σε μήκος και να απαιτούν άπειρο αριθμό ψηφίων .

Για παράδειγμα , το 1/3 είναι 0,333333 . . . που επανέρχεται επ’ άπειρον , και για να το χειριστούμε αριθμητικά το στρογγυλοποιούμε προς τα κάτω , ας πούμε στο 0,333 .

Κάθε τέτοια στρογγυλοποίηση , όμως , θα οδηγήσει γρήγορα σε μια εντελώς διαφορετική συμπεριφορά της ατσάλινης σφαίρας και σε διαφορετικό παιχνίδι φλίπερ από εκείνο που δημιουργεί η "αληθινή" τιμή της αρχικής συνθήκης .

Πρέπει λοιπόν να δούμε κατά πρόσωπο το γεγονός ότι πάντοτε θα υπάρχει μια αβεβαιότητα για τις αρχικές συνθήκες .

Μόλις πολύ πρόσφατα άρχισε να αναγνωρίζεται η αστάθεια των κλασικών συστημάτων που διέπονται από τις ηλικίας τριών αιώνων νευτώνειες εξισώσεις , καθώς και να εξετάζονται οι ελλείψεις της νευτώνειας αιτιοκρατίας .

Ο Σερ James Lighthill , μια από τις μεγαλύτερες αυθεντίες στο κάποτε παραδοσιακό αντικείμενο της ρευστοδυναμικής , έκανε πρόσφατα μια αρκετά συγκινητική δήλωση μετανοίας εκ μέρους πολλών επιστημόνων που εργάζονταν μάταια επί αιώνες αποπειρώμενοι να πραγματοποιήσουν το αιτιοκρατικό όνειρο :

"Σήμερα κατανοούμε όλοι βαθύτατα ότι ο ενθουσιασμός των προπατόρων μας για τα θαυμαστά επιτεύγματα της νευτώνειας μηχανικής , τους οδήγησε να κάνουν γενικεύσεις σ’ αυτή την περιοχή της προβλεψιμότητας , τις οποίες είχαμε την τάση να πιστεύουμε πριν από το 1960 . Σήμερα , όμως , αναγνωρίζουμε ότι είναι λάθος . Επιθυμούμε να ζητήσουμε συλλογικά συγγνώμη επειδή παραπλανήσαμε το γενικά μορφωμένο κοινό διαδίδοντας ιδέες για την αιτιοκρατία των συστημάτων που ικανοποιούν τους νόμους κίνησης του Νεύτωνα , οι οποίες μετά το 1960 , αποδείχθηκαν αναληθείς» .

Το ίδιο το πεδίο ειδικότητας του Σερ James , το οποίο παλιότερα ανήκε αποκλειστικά στους μηχανικούς και τους εφαρμοσμένους μαθηματικούς , μετασχηματίστηκε σήμερα ριζικά σε έναν νέο και γόνιμο κλάδο της μαθηματικής φυσικής μέσω της νέας προσέγγισης των δυναμικών συστημάτων .

Με την ανάπτυξη της εργοδικής θεωρίας κατέστη εύκολο να γίνει ορατή η πολυπλοκότητα και το βέλος του χρόνου στο χώρο των φάσεων .

Η καλλιτεχνία του χάους μπορεί να εκτεθεί μέσα από τα πορτρέτα του χώρου των φάσεων .

Είδαμε πώς δεν είναι δυνατό να περιγραφούν επακριβώς οι αρχικές συνθήκες , ακόμα και σε ένα παιχνίδι φλίπερ . Αυτό συνεκτιμάται στα πορτρέτα χώρου των φάσεων που χρησιμοποιούν μια κηλίδα αντί για ένα μοναδικό σημείο .

Η κηλίδα εμπεριέχει μια δέσμη πιθανών τροχιών (των μορίων του αερίου ή της ατσάλινης σφαίρας στο φλίπερ) , οι οποίες είναι όλες συμβατές με την αβεβαιότητα στον προσδιορισμό των αρχικών συνθηκών : η κηλίδα εμπεριέχει μια δέσμη δυνατοτήτων.

Τι συμβαίνει όταν μελετήσουμε την κίνησή της στο χρόνο ;

Οι κανόνες του παιχνιδιού είναι απλοί : η κηλίδα εξελίσσεται σύμφωνα με την εξίσωση Liouville που αφορά τη στατιστική μηχανική της μη ισορροπίας .

Ο όγκος της κηλίδας (αλλά όχι αναγκαστικά και το σχήμα της) θα πρέπει να διατηρηθεί .

Μπορούμε να εικονογραφήσουμε το αίτιο αυτής της συμπεριφοράς αν σκεφτούμε ένα αέριο μέσα σ’ ένα δοχείο .

Ανεξαρτήτως των τρόπων κατανομής της ενέργειας ανάμεσα σε όλα τα μόρια του αερίου , η πιθανότητα να βρούμε το αέριο μέσα στο δοχείο πρέπει να είναι σταθερή και να ισούται προς τη μονάδα .

Δεν μπορεί να εξαφανιστεί απλώς μέσα σε ένα παραπέτασμα καπνού .

Έτσι , η κηλίδα που εμπεριέχει όλες τις δυνατές τροχιές των μορίων της , μπορεί να θεωρηθεί ως μια σταγόνα μη συμπιέσιμου ρευστού που διατηρεί πάντοτε τον όγκο του (άρα και τη συνολική του ενέργεια) , μπορεί όμως να παραλλάσσει ως προς το σχήμα του (το σχήμα στο χώρο των φάσεων αποκαλύπτει τον τρόπο με τον οποίο μοιράζεται η κίνηση ανάμεσα στα μόριά του) .

Όσο κοντά και αν βρίσκονται τα διάφορα σημεία της κηλίδας απομακρύνονται πάντοτε με εκθετική ταχύτητα , καθώς περνάει ο χρόνος .

Βραχυπρόθεσμα , δεν θα υπάρχει μεγάλη διαφορά στη συμπεριφορά οποιουδήποτε ζεύγους σημείων .

Με το πέρασμα του χρόνου , όμως , η μακροπρόθεσμη συμπεριφορά μιας τέτοιας τροχιάς στην αρχική κηλίδα διαφοροποιείται πλήρως από την άλλη και δοκιμάζουν εντελώς διαφορετικές περιοχές του χώρου των φάσεων .

Αυτό ακριβώς εννοούμε με την έννοια χαοτική χρονική εξέλιξη , διότι μονον αν γνωρίζουμε με άπειρη ακρίβεια τις αρχικές συνθήκες θα ήμασταν σε θέση να χρησιμοποιήσουμε τις νευτώνειες αιτιοκρατικές εξισώσεις για να υπολογίσουμε τη μελλοντική συμπεριφορά .

Στη γλώσσα της τεχνοτροπίας του χώρου των φάσεων , αν αρχίσουμε μ’ ένα μοναδικό σημείο , μπορούμε να επικαλεσθούμε τον Νεύτωνα .

Για χαοτικά συστήματα , όμως , η πανταχού παρούσα αβεβαιότητα στο χρόνο μηδέν σημαίνει ότι κλονίζεται η προβλεψιμότητα – ο ακρογωνιαίος λίθος τη νευτώνειας φυσικής .

Η σιδερένια αιτιοκρατία πρέπει να δώσει τη θέση της σε πιθανοκρατικές διατυπώσεις για τις αναμειγνυόμενες ροές .

Και τούτο σημαίνει ότι πρέπει να απαρνηθούμε εξ υπαρχής τις αιτιοκρατικές τροχιές και να δουλέψουμε , αντίθετα , με τις πιθανότητες – ακριβώς εκείνο το είδος της περιγραφής που χρησιμοποιείται στη στατιστική μηχανική .

Το συμπέρασμα έχει τεράστια σημασία για το βέλος του χρόνου , επειδή η στατιστική μηχανική ήταν ένας από τους κύριους δρόμους μέσω των οποίων οι επιστήμονες , και ιδιαίτερα ο Boltzmann προσπάθησαν να εκφράσουν τον μη αντιστρεπτό Δεύτερο Νόμο της θερμοδυναμικής με όρους μοριακών κινήσεων .

Και τώρα πετύχαμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα αυτό χωρίς να αναφερθούμε σε υποκειμενικά επιχειρήματα .

1.ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ο χρονος θεωριται η τεταρτη διασταση(οπως και το μηκος)

2.ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ:χρονος ειναι ο,τι μετραει ενα 'ακριβες ρολοι'.Δηλαδη συμφωνα με τις αισθησεις μας ο χρονος ρεει προς μια ορισμενη κατευθηνση.Συγκεκριμενα το παρελθον ειναι ορισμενο,το μελλον ακαθοριστο,ενω η πραγματικοτητα βιωνεται στο παρον.

3.ΣΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ: η ιστορια εξελιζεται απο το παρελθον στο παρον.

4.ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ: το χρονικο διαστημα αναμεσα σε δυο γεγονοτα ειναι διαφορετικο για εναν ακινητο και εναν κινουμενο παρατηρητη.

Στο παρόν topic, εξετάζουμε για τη φύση του χρόνου αφότου άρχισε να υπάρχει χρόνος ... Δηλαδή εξετάζουμε το χρόνο στη Φυσική - στην κλασική μηχανική , τη σχετικότητα , την κβαντική μηχανική , τη χαοτική μηχανική , τη θερμοδυναμική - αλλά και τις ευρύτερες εκδηλώσεις του στη βιολογία , τη χημεία ... κ.τ.λ. , προσπαθώντας να δείξουμε πως είναι πράγματι δυνατόν να επιτευχθεί μια ενοποιημένη οπτική για το χρόνο : μια συμβατική οπτική που δεν αντιβαίνει στην καθημερινή μας αντίληψη γι'αυτόν .

Έτσι, διατρέχουμε τις μεγαλύτερες περιοχές της σύγχρονης επιστήμης , προσπαθώντας να γνωρίσουμε αλλά και να λύσουμε το μυστήριο του χρόνου .

Οποιαδήποτε προσφορά από οιονδήποτε συνδίκτυο πάνω στο θέμα αυτό είναι, βέβαια, δεκτή, αλλά, κυριως και επιθυμητή ! .

Οι αναμειγνυόμενες ροές είναι ενδιάμεσα σημεία σε μια ιεραρχία αύξουσας αστάθειας και συνεπώς χαοτικής εργοδικότητας των δυναμικών συστημάτων .

Ακόμα περισσότερο χαοτική συμπεριφορά υπάρχει στις λεγόμενες ροές Κ .

Το Κ αποτελεί μνεία του Kolmogorov , που μελέτησε τις ιδιότητές τους μαζί με τον Sinai .

Η συμπεριφορά τους βρίσκεται στο όριο της πλήρους μη προβλεψιμότητας , παρότι οι “υποκείμενες” εξισώσεις κίνησης είναι και πάλι αιτιοκρατικές .

Οι ροές Κ έχουν την αξιοσημείωτη ιδιότητα ότι ακόμα και άπειρος αριθμός πρότερων μετρήσεων δεν χρησιμεύει για να προβλεφθεί η έκβαση της επόμενης – εκτός αν οι πρότερες μετρήσεις είχαν άπειρη ακρίβεια , πράγμα αδύνατο στη φυσική .

Αυτές οι ροές υπακούουν ενδογενώς στην τυχαιότητα .

Ενδεχομένως όλα αυτά τα είδη συμπεριφοράς φαίνονται μάλλον αφηρημένα .

Τι το κοινό έχουν τα εργοδικά συστήματα με τον πραγματικό κόσμο ;

Για την ακρίβεια , πολλοί είχαν αρχίσει να αμφιβάλλουν αν υπήρχε κάποια σύνδεση ανάμεσα στην πραγματικότητα και τα αφηρημένα μαθηματικά τα οποία είναι ενσωματωμένα στην εργοδική θεωρία, ώσπου ήρθε η συνταρακτική συμπεριφορά του Sinai.

Το 1962 , ο Sinai ανακοίνωσε ότι είχε αποδείξει πως ένα κουτί που περιείχε δύο ή περισσότερες μπίλιες του μπιλιάρδου , περιγραφόμενες από τις εξισώσεις του Νεύτωνα , έχει την ιδιότητα της Χρονικής εξέλιξης των πυκνοτήτων πιθανότητας στο χώρο των φάσεων της αναμειγνυόμενης μάζας (δηλαδή χαοτικής εργοδικότητας των δυναμικών συστημάτων) .

Το αποτέλεσμα του Sinai ήταν ένα ακόμη πλήγμα κατά της αιτιοκρατίας.

Μολονότι κάπως εξιδανικευμένη , η κίνηση μόνο δυο σφαιρών είναι τυπική για το είδος συμπεριφοράς που μελετά η στατιστική μηχανική .

Όμως μέχρι τότε οι άνθρωποι πίστευαν ευρύτατα ότι η εργοδικότητα (για να μη μιλήσουμε για τη μείξη , που είναι ισχυρότερη ιδιότητα) μπορεί να αποτελεί ιδιότητα μόνο μεγάλου αριθμού ατόμων ή μορίων , όπως τα εκατομμύρια επί εκατομμυρίων μόρια μέσα σ’ένα αέριο .

Ο Sinai έδειξε ότι αν υπάρχουν περισσότερες από δύο μπίλιες μέσα στο κουτί , η δυναμική εκφυλίζεται ακόμη περισσότερο και γίνεται εκείνη μιας ροής Κ .

Συνεπώς , ακόμα και ένα παιχνίδι μπιλιάρδου είναι στην πραγματικότητα χαοτικό και απρόβλεπτο .

Ένα μικρό λάθος στην περιγραφή του τρόπου με τον οποίο η στέκα χτυπάει την μπίλια οδηγεί μακροπρόθεσμα σε απόλυτη αβεβαιότητα για τη θέση της .

Ευτυχώς για τους λάτρεις του μπιλιάρδου , η μη προβλεψιμότητα γίνεται φανερή σε χρονικά διαστήματα μεγαλύτερα της διάρκειας των χτυπημάτων τους , θα μπορούσε δε να πραγματωθεί μόνο αν απουσίαζαν τα φαινόμενα τριβής .

Από τον καιρό της πρωτοποριακής δουλειάς του Sinai, αποδείχθηκε ότι πολλές εξιδανικευμένες καταστάσεις , μερικές από τις οποίες αφορούσαν μπίλιες του μπιλιάρδου που συγκρούονταν μεταξύ τους ή πάνω σε κυρτά εμπόδια , έχουν την ιδιότητα της μείξης , και μάλιστα τις ιδιότητες της ροής Κ . Το μειονέκτημα από θεωρητική σκοπιά ότι οι εργοδικές ιδιότητες αποδεικνύονται εξαιρετικά δύσκολα .

Οι αυστηρές αποδείξεις φτάνουν για τυπικές περιπτώσεις σε ρεκόρ σελίδων .

Όλες οι περιπτώσεις , για τις οποίες αποδείχθηκαν οι εργοδικές ιδιότητες είναι φοβερά "ιδιόμορφες" , με την έννοια ότι οι αλληλεπιδράσεις τύπου μπίλιας μπιλιάρδου είναι μάλλον μη τυπικές για δυνάμεις μεταξύ μορίων , επειδή οι μπίλιες αγνοούν χαρούμενα η μία την ύπαρξη της άλλης έως την κρούση .

Οι αλληλεπιδράσεις στον πραγματικό κόσμο είναι ομαλότερες.

Εντούτοις , πιστεύεται γενικά ότι πρόκειται απλώς για τεχνική δυσκολία , και ότι τα περισσότερα πραγματικά συστήματα είναι δυνατόν να παρασταθούν με μοντέλα εργοδικών ροών Κ .

Είδαμε πώς η κατανομή πιθανότητας ενός χαοτικού αναμειγνυομένου συστήματος , για παράδειγμα ενός αερίου σ’ ένα δοχείο , ξεκινάει σαν κηλίδα και με το πέρασμα του χρόνου ξεπετάει όλο και λεπτότερα βλαστάρια .

Αυτή η ανάπτυξη και εξερεύνηση του χώρου αντιπροσωπεύει τη διερεύνηση ιλιγγιώδους αριθμού δυνατοτήτων που είναι ανοιχτές για τα μόρια του αερίου .

Το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι ότι τα μόρια του αέριου , αφού βρέθηκαν κάπου σε έναν μικρό όγκο στο χώρο των φάσεων (που αναπαρίσταται από ένα μοναδικό σημείο στο χώρο των φάσεων) , μπορούν τώρα να βρίσκονται οπουδήποτε μέσα σε ένα από τα χνουδωτά νήματα του πορτρέτου του χώρου των φάσεων . Προσφέρονται έτσι αναρίθμητες επιλογές .

Εδώ μπορεί να βρίσκεται το μικροσκοπικό βέλος του χρόνου , επειδή υπάρχει η αδυσώπητη τάση εξάπλωσης της κηλίδας προς τη νεκρή κατάσταση της ισορροπίας , όπου ο χώρος των φάσεων είναι υπερπλήρης από ένα λεπτό χνούδι , ένα βαμβακερό χνούδι ομοιόμορφης πιθανότητας .

Αν εγκαταλείψουμε την αιτιοκρατική περιγραφή που βασίζεται στις τροχιές , θα έχουμε κάνει μια ριζική θεωρητική και φιλοσοφική επανατοποθέτηση θεμελιωμένη στο είδος γνώσης που μας διατίθεται ακόμα και στις απλούστερες περιπτώσεις .

Απομακρυνόμενοι από ένα άκαμπτο αιτιοκρατικό πλαίσιο και μια ανελαστική προγνωστική ισχύ , "αναγόμαστε" τώρα σε ένα στατιστικό επίπεδο, όπου δεν υπάρχει θέση για την αιτιοκρατία , και η μελλοντική συμπεριφορά δεν είναι προβλέψιμη παρά μόνο υπό πιθανοκρατική έννοια .

Υπάρχει πλέον χώρος για τη μη αντιστρεπτότητα εκεί όπου πριν δεν υπήρχε , και μάλιστα με εντελώς αντικειμενικό τρόπο , στενότατα συνδεδεμένο με την αστάθεια της δυναμικής , μια ενδογενή ή αντικειμενική ιδιότητα ενός δεδομένου συστήματος .

Τώρα μπορούμε να δούμε πως υπάρχουν βαθύτερα αίτια λόγω των οποίων καταφεύγουμε στη χρήση των πιθανοτήτων , και θεωρούμε αυτή την περιγραφή θεμελιακή , ακόμα και για λίγες μπίλιες μπιλιάρδου ή για ένα μικρό αριθμό μορίων .

Αυτό στηρίζεται σε ενδογενείς ιδιότητες του συστήματος για το οποίο ενδιαφερόμαστε , και όχι στη δική μας παρέμβαση , στις διεργασίες , στην τεχνική που χρησιμοποιείται στην προσέγγιση των αδρών κόκκων ή σε άλλες "υποκειμενικές" προσεγγίσεις .

Η χρήση της θεωρίας των πιθανοτήτων για την περιγραφή ασταθών εργοδικών συστημάτων καθιστά εφικτά πολλά πράγματα που πριν εθεωρούντο απαγορευμένα – συμπεριλαμβανομένης της μη αντιστρεπτότητας , και συνεπώς ενός βέλους του χρόνου .

Τι γίνεται όμως με τη φαινομενική δολιοφθορά που έγινε στο έργο αυτό με την επαναφορά του Poincaré , η οποία φαίνεται να λέει ότι δεν υπάρχει διαφυγή από την αέναη επάνοδο ;

O Baidyanath Misra , ο οποίος διατύπωσε : το κβαντικό παράδοξο του Ζήνωνα (1977) , έδειξε ότι η επαναφορά του Poincaré δεν ισχύει κατ’ ανάγκην αν εγκαταλείψουμε την εικόνα που βασίζεται στα σημεία προς όφελος μιας εικόνας που προκύπτει από τις κηλίδες , και ανταλλάξουμε την εικόνα που βασίζεται στις τροχιές με την πιθανοκρατική περιγραφή .

Σε ένα συναρπαστικό άρθρο του , που δημοσιεύθηκε το 1978 , ο Misra απέδειξε ότι μια τέτοια εντροπία μπορεί να κατασκευαστεί για τις ροές Κ .

Όπως είδαμε παραπάνω , στις ροές Κ συγκαταλέγονται οι μπίλιες του μπιλιάρδου και τα ιδανικά αέρια , πιστεύεται δε (αλλά δεν έχει αποδειχθεί) ότι είναι ευρέως διαδεδομένες στη φύση , ιδιαίτερα στα μακροσκοπικά συστήματα .

Ακριβώς όπως η θερμοδυναμική εντροπία , έτσι και η εντροπία του Misra (δηλαδή οι ροές Κ) λαμβάνει τη μεγίστη τιμή της στην ισορροπία , όταν σταματά κάθε εξέλιξη της κατανομής πιθανοτήτων .

Με αυτή τη δυναμική εντροπία της μη ισορροπίας αναθεωρήσαμε τις ιδέες του Νεύτωνα και βρήκαμε πως είναι συμβατές με τη θερμοδυναμική έννοια της ισορροπίας .

Η ανακάλυψη έχει ζωτική σημασία για την αναζήτησή μας της φοράς του χρόνου στο μικροσκοπικό επίπεδο . Και τούτο επειδή , όπως υποδεικνύει ο Δεύτερος Νόμος , η κατάσταση ισορροπίας ισοδυναμεί με το στόχο του βέλους του χρόνου . Παραμένει πάντως το πρόβλημα , κατά πόσον το βέλος του χρόνου δείχνει “μπροστά” ή “πίσω”. Θυμηθείτε ότι η κλασσική μηχανική , στην οποία βασίζεται αυτή η ανάλυση , είναι συμμετρική ως προς το χρόνο .

Υπάρχουν δύο διακριτές εξελίξεις του χρόνου θεωρητικά δυνατές : Η μια εξελίσσεται προς τη θερμοδυναμική ισορροπία στο μέλλον , η άλλη προς την ισορροπία στο παρελθόν .

Το ερώτημα ποια απ’ αυτές τις εξελίξεις οφείλουμε να επιλέξουμε είναι πολύ βαθύ για να επιλυθεί μόνο με τις υπάρχουσες θεμελιώδεις αρχές μας .

Πιθανότατα , οι ρίζες της απάντησης είναι κοσμολογικές , ενδεχομένως κατά μήκος της θεωρητικής γραμμής που πρότεινε ο Roger Penrose εξετάζοντας το κοσμολογικό βέλος του χρόνου .

Πρόκειται όμως για εικασίες .

Αντίθετα , εγκαλούμε τον Δεύτερο Νόμο ως φαινομενολογικό δεδομένο της φύσης για να επιλέξουμε την εξέλιξη προς τη μελλοντική ισορροπία σε συμφωνία με ό,τι παρατηρούμε . Με αυτό το απλό , αν και τεράστιας σημασίας , βήμα , το βέλος του χρόνου του Δεύτερου θερμοδυναμικού Νόμου ενσωματώνεται στη δομή της δυναμικής , η οποία υφίσταται έτσι μια μάλλον ριζική μεταλλαγή . Αυτή η επίλυση του παράδοξου της μη αντιστρεπτότητας , που θέτει τον Δεύτερο Νόμο και τη μηχανική σε ισότιμη βάση , διαφέρει αρκετά από τον ανεπιτυχή δρόμο που επέλεξαν πολλοί φυσικοί , οι οποίοι επιθυμούν να δουν τη μηχανική να εξηγεί τη θερμοδυναμική σύμφωνα με το παραδοσιακό πνεύμα του αναγωγισμού .

Οι τρεις επιστήμονες απέδειξαν ότι αν υπάρχει ένα μέγεθος του τύπου της εντροπίας το οποίο αυξάνει με το χρόνο , τότε δεν είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν οι αντιστρεπτές τροχιές .

Επιπλέον , ανακάλυψαν μια νέα διατύπωση του χρόνου , συνεπή με τη μη αντιστρεπτότητα . Αυτή η εκδοχή , που αποκαλείται εσωτερικός χρόνος , παριστάνει την ηλικία ενός δυναμικού συστήματος .

Μπορεί κανείς να φανταστεί την ηλικία ως αντανάκλαση της θερμοδυναμικής όψης του συστήματος , ενώ η περιγραφή του συστήματος που ενυπάρχει στις εξισώσεις του Νεύτωνα σκιαγραφεί τα καθαρώς δυναμικά και αντιστρεπτά χαρακτηριστικά .

Η θερμοδυναμική και η δυναμική έσκαβαν η μια το λάκκο της άλλης τουλάχιστον επί έναν αιώνα , από τη στιγμή που εμφανίστηκε το παράδοξο της μη αντιστρεπτότητας .

Η ομάδα των Βρυξελλών , όμως , εγκαθίδρυσε μια αξιοσημείωτη σχέση ανάμεσά τους .

Σε πλήρη αναλογία με την ασυμβατότητα παρατηρήσιμων μεγεθών στην κβαντική μηχανική , που εκφράστηκε με την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg και φωτίστηκε από τον Bohr με την ερμηνεία του για την κβαντική μηχανική , βρίσκουμε εδώ ότι η πλήρης γνώση των θερμοδυναμικών ιδιοτήτων ενός συστήματος – δηλαδή η γνώση της μη αντιστρεπτής του ηλικίας – καθιστά άνευ νοήματος την αντιστρεπτή δυναμική περιγραφή , ενώ ταυτόχρονα , και με όμοιο τρόπο , η πλήρης βεβαιότητα στη δυναμική περιγραφή καθιστά αδύνατη τη θερμοδυναμική οπτική .

Ο Prigogine ερμηνεύει αυτή την κατάσταση πραγμάτων τονίζοντας ότι : “ο κόσμος είναι πλουσιότερος απ’ ότι μπορεί κανείς να εκφράσει σε οποιαδήποτε μεμονωμένη γλώσσα . Η μουσική δεν εξαντλείται με τα διαδοχικά στυλιζαρίσματά της , από τον Μπαχ έως τον Σένμπεργκ . Ομοίως , δεν μπορούμε να συμπυκνώσουμε σε μια μόνο περιγραφή τις διάφορες όψεις της εμπειρίας μας” .

Επομένως , η μη αντιστρεπτότητα και η εντροπία φαίνεται πως είναι βασικές ιδιότητες επαρκώς ασταθών δυναμικών συστημάτων , που εμπεριέχουν έστω και δύο συγκρουόμενα σώματα .

Έχει άραγε πραγματοποιηθεί μια καθολικής υφής σύνδεση ανάμεσα στο θερμοδυναμικό βέλος του χρόνου και τις αντιστρεπτές εξισώσεις που κυβερνούν τον μικροσκοπικό χρόνο ;

Όχι ακριβώς : τελικά , δεν εξετάσαμε όλα τα δυνατά είδη κίνησης στην έκθεσή μας με τα πορτρέτα του χώρου των φάσεων , αλλά μόνο παραδείγματα ολοκληρώσιμων και εργοδικών ροών .

Υπάρχει ακόμα η περίπτωση των μη ολοκληρώσιμων συστημάτων που εμπεριέχουν την κίνηση τριών και περισσοτέρων συστημάτων που εμπεριέχουν την κίνηση τριών και περισσοτέρων σωμάτων , τα οποία ανακαλύφθηκαν από τον Poincaré και αναφέρθηκαν παραπάνω .

Τα πορτρέτα του χώρου των φάσεων που συναντήσαμε ως τώρα απεικόνιζαν μόνο τις ακραίες καταστάσεις συμπεριφοράς , αντιπαραβάλλοντας τα “απλά” δυναμικά συστήματα με τα “πολύπλοκα” .

Τα εργοδικά συστήματα , ιδιαίτερα οι αναμειγνυόμενες ροές ή ροές Κ, οφείλουν να θεωρούνται “πολύπλοκες” , επειδή ακόμα και δύο ή τρείς μπίλιες του μπιλιάρδου σ’ ένα δοχείο εξερευνούν όλο τον διαθέσιμο χώρο των φάσεων , πράγμα που εκφράζεται από το “χνουδωτό” πορτρέτο στο χώρο των φάσεων .

Όπως είδαμε , ένα ιδανικό εκκρεμές ή ένας μοναδικός πλανήτης κινούμενος γύρω από τον Ήλιο αποτελούν παραδείγματα “απλών” (ή ολοκληρώσιμων) συστημάτων , με την έννοια ότι οι κινήσεις τους είναι εξαιρετικά περιορισμένες , χωρίς συγκρούσεις , προβλέψιμες και άρα μη εργοδικές , αυτό αποδεικνύεται από τη μονότονη κανονικότητα της συμπεριφοράς τους .

Τα πορτρέτα του χώρου των φάσεων αυτών των ολοκληρώσιμων συστημάτων δείχνουν περιορισμένες (μη εργοδικές) τροχιές , οι οποίες επανέρχονται περιοδικά στο σημείο εκκίνησής τους, δαγκώνοντας την ουρά τους καθώς η συμπεριφορά αυτή επαναλαμβάνεται .

Και με κάποιον ποιοτικό τρόπο , αυτό ταιριάζει στη δική μας εμπειρία των απλών δυναμικών συστημάτων : το δάγκωμα της ουράς αντιστοιχεί στη Γη που ξαναρχίζει νέα περίοδο κίνησης γύρω από τον Ήλιο ή στο εκκρεμές που εγκαινιάζει νέα αιώρηση .

Αυτό μπορεί να φαίνεται αινιγματικό , παρότι είναι βαθιά καθησυχαστικό το να κινείται η Γη σε ευσταθή τροχιά . Με όσα μάθαμε μέχρι στιγμής , φαίνεται ότι η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο πρέπει να έχει όλα τα συστατικά στοιχεία ενός ευαίσθητου και χαοτικού συστήματος :

Στην πραγματικότητα , δεν πρόκειται για ολοκληρώσιμο “πρόβλημα δύο σωμάτων” επειδή υπάρχουν και οι βαρυτικές έλξεις της Σελήνης και των άλλων πλανητών του ηλιακού συστήματος .

Η αλήθεια είναι ότι οι ουράνιες κινήσεις είναι συνέπεια φαινομένων πολλών σωμάτων (υπάρχουν περισσότερα από δύο σώματα) και γι’ αυτό το λόγο , σύμφωνα με τον Poincaré, τα συστήματα αυτά είναι μη ολοκληρώσιμα .

Και μάλλον φαίνεται ότι αποδείξαμε πως , πλην των απλούστερων καταστάσεων , σε όλες τις άλλες πρέπει να προκύπτει χάος .

Αυτό το θεώρημα προέκυψε από τη δουλειά που άρχισε ο Kolmogorov το 1954 πάνω στα μη ολοκληρώσιμα συστήματα του Poincaré και την ανέπτυξε ο συνάδελφός του Arnold κατά τις αρχές της δεκαετίας του 1960 .

Σε παρόμοια κατεύθυνση δούλευε ταυτόχρονα και ο Moser στη Γερμανία και τις ΗΠΑ .

Η έρευνά τους επιβεβαίωσε το γεγονός ότι τα συστήματα του Poincaré αντιπροσωπεύουν ένα είδος ενδιάμεσης κατάστασης ανάμεσα στην τέλεια κανονικότητα και το τελειωτικό χάος .

Η ζώνη του λυκόφωτος της συμπεριφοράς επιτυγχάνεται αν προστεθεί ένα νέο συστατικό στοιχείο σε μια απλή κατάσταση .

Για παράδειγμα , στο μοντέλο μας της Γης που κινείται γύρω από τον Ήλιο μπορούμε να εισαγάγουμε μια μικρή επιπρόσθετη δύναμη ή δυνάμεις για να συνυπολογίσουμε τα φαινόμενα της βαρυτικής έλξης της Σελήνης και των άλλων πλανητών .

Αρχικά πολλοί πίστευαν ότι τέτοιες διαταραχές θα μετέβαλαν αυτόματα τη μη εργοδική συμπεριφορά σε εργοδική , μετατρέποντας ένα απλό πορτρέτο στο χώρο των φάσεων , όπως τους βρόχους που διαγράφονται από ένα εκκρεμές , σε ένα πολύ πολύπλοκο πορτρέτο , για παράδειγμα τη “χνουδωτή” ροή μείξης που έχουμε ήδη συναντήσει .

Όμως το θεώρημα ΚΑΜ δείχνει ότι αυτό δεν συμβαίνει πάντοτε : η μικρή επιπρόσθετη διαταραχή έχει διαφορετικές επιδράσεις σε διαφορετικά μέρη του καμβά του χώρου των φάσεων .

Ορισμένες περιοχές του καμβά εμφανίζουν κανονικά χαρακτηριστικά , σαν αυτά που είχαμε προτού εισαγάγουμε την επιπρόσθετη αλληλεπίδραση , ενώ σε άλλα μέρη του πορτρέτου στο χώρο των φάσεων αναδύονται αρκετά ακανόνιστες , χαοτικές συμπεριφορές .

Στην πρώτη περίπτωση , η κηλίδα των αρχικών συνθηκών παραμένει εγκλωβισμένη σε σχετικά απλούς κλειστούς βρόχους .

Στη δεύτερη ξεφυτρώνουν βλαστάρια και έλικες αναρριχητικών φυτών . Οι κανονικές περιοχές αντιστοιχούν σε ευσταθή κίνηση χωρίς συγκρούσεις ανάμεσα στα σώματα .

Οι χαοτικές περιοχές είναι εκείνες όπου τα σώματα υφίστανται τα αποτελέσματα των συγκρούσεων που προκαλούν τυχαία συμπεριφορά .

Πράγματι , φαίνεται σαν να έχουν δουλέψει δύο καλλιτέχνες πάνω στο πορτρέτο του χώρου των φάσεων , καθένας από τους οποίους δούλεψε σε διαφορετικά μέρη του καμβά . Εντούτοις , αυτές οι περιοχές εν γένει αλληλοδιαπλέκονται με πολύπλοκο τρόπο .

Διάφοροι παράγοντες προσδιορίζουν με ποιο τρόπο χωρίζεται ο καμβάς σε κανονικά ή μη κανονικά καθεστώτα .

Ας υποθέσουμε ότι αρχίζουμε με μια πολύ μικρή επιπρόσθετη διαταραχή . Καθώς αρχίζουμε να εισάγουμε περισσότερη ενέργεια στη διαταραχή , παρατηρεί κανείς , έπειτα από κάποιο οριακό σημείο , μια στοχαστική μετάβαση , όπως ονομάζεται , από μια κυρίαρχα εξαιρετικά κανονική κίνηση σε μια κυρίαρχα τυχαία κίνηση .

Αυτό συμβαίνει επειδή όσο μεγαλύτερη είναι η ενέργεια τόσο περισσότερο πεδίο υπάρχει ώστε οι συγκρούσεις να αναστατώνουν τις ειρηνικές κανονικές κινήσεις .

Ακόμα , καθώς αυξάνεται η ισχύς των επιπρόσθετων διαταραχών , όλη η δυναμική κίνηση γίνεται χαοτική πέραν κάποιου σημείου , για τους ίδιους και πάλι λόγους .

Αν οι πλανητικές κινήσεις ήταν ασταθείς , θα περιμέναμε ότι ένας πλανήτης όπως η Γη θα μπορούσε να πετάξει προς την άβυσσο χωρίς να δώσει καμιά προειδοποίηση .

Η ζωή μπορεί να μην είχε εμφανιστεί ποτέ .

Αλλά ακόμα και αν είχε εμφανιστεί , οι αρχαίοι θα είχαν πολύ λίγες ενδείξεις για την "κανονικότητα που αποτελεί το υπόβαθρο" του σύμπαντος λόγω της χαοτικής συμπεριφοράς των ουρανών .

Χωρίς αυτή την έμπνευση , η οποία , έπαιξε σπουδαιότατο ρόλο στην ανάπτυξη της σκέψης (και του αντιστρεπτού χρόνου) , ίσως να μην είχε ποτέ κατορθώσει να αναδυθεί και η ίδια η νευτώνεια επιστήμη .

Υπάρχουν όμως μη κανονικότητες στο ηλιακό σύστημα , ακριβώς όπως το θεώρημα του ΚΑΜ προβλέπει ότι θα υπάρχουν σε μερικές περιοχές του χώρου των φάσεων .

Το ουράνιο χάος μπορεί να βρεθεί στην κίνηση του Υπερίωνος , ενός δορυφόρου του Κρόνου που έχει περίπου το σχήμα πατάτας .

Η τροχιά του είναι συνολικά κανονική , αλλά όπως κινείται , δονείται με τον ίδιο τρόπο που κάνει μια πατάτα αν κυλίσει πάνω στο έδαφος , με ακανόνιστο και απρόβλεπτο τρόπο.

Παρόμοια συμπεριφορά επιδεικνύει και η τροχιά του Πλούτωνα . Τα κενά στη ζώνη των αστεροειδών ανάμεσα στον Άρη και τον Δία εξηγήθηκαν επίσης βάσει της χαοτικής δυναμικής.

Όσοι αναζητούν ακατάπαυστα ένα βέλος του χρόνου μέσα στη μηχανική , δεν θα καλοδεχτούν το θεώρημα ΚΑΜ .

Μόλις είχαμε πιστέψει ότι τα καταφέραμε να θεμελιώσουμε την περιγραφή μας για το χρόνο πάνω στη δυναμική αστάθεια και την τυχαιότητα , το θεώρημα ΚΑΜ μας τα χάλασε, δείχνοντας ότι πολύπλοκα συστήματα μπορούν να επιδείξουν απλή αχρονική συμπεριφορά σε ορισμένα μέρη του καμβά του χώρου των φάσεων , με την ίδια βεβαιότητα με την οποία θα εμφανιστεί το βέλος του χρόνου σε άλλα.

Σ’αυτή την περίπτωση το θεώρημα ΚΑΜ στερείται σημασίας – γι’ άλλη μια φορά η εργοδικότητα , η αστάθεια και συνεπώς η μη αντιστρεπτότητα κυριαρχούν απολύτως .

Το βέλος του χρόνου ανασταίνεται έτσι μέσω του υπολογιστή που καταβροχθίζει νούμερα , αν και πρέπει να τονίσουμε ότι κανένας δεν έχει αποδείξει αυτούς τους ισχυρισμούς με μαθηματικά αυστηρό τρόπο .

Όλα αυτά ταιριάζουν καλά με την εμπειρία μας , αφού ακριβώς στο επίπεδο των καθημερινών αντικειμένων και συμβάντων , όπως των χιονάνθρωπων που λιώνουν , συνειδητοποιούμε τόσο καλά το βέλος του χρόνου .

Εντούτοις , φαίνεται πως υπάρχει εδώ μια τομή που μοιάζει αρκετά με την προσέγγιση των αδρών κόκκων , στην οποία δώσαμε πολύ μικρή σημασία , επειδή έλεγε ότι το βέλος του χρόνου θα εμφανιζόταν μυστηριωδώς καθώς θα ανεβαίναμε την κλίμακα μεγέθους από τα άτομα προς τα μήλα .

Μήπως έχουμε την ίδια αυθαίρετη εμφάνιση του βέλους όταν μετακινούμαστε από λίγα άτομα σε "αρκετά μεγάλο αριθμό σωμάτων" ;

Η στατιστική μηχανική προτείνει ένα μέσο για να χειριστούμε αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας μια επινόηση που ονομάζεται θερμοδυναμικό όριο .

Αντί να φανταστούμε έναν μεγάλο και αυθαίρετο αριθμό μορίων , μπορούμε να θεωρήσουμε τις ιδιότητες ενός υποθετικού συστήματος για το οποίο ο αριθμός των μορίων (Ν) και ο όγκος που τα περιέχει (V) γίνονται και οι δύο απείρως μεγάλοι , αλλά με τέτοιο τρόπο ώστε η πυκνότητα ή συγκέντρωση των μορίων (το Ν διαιρούμενο δια του V = Ν / V) να παραμένει πεπερασμένη .

Το θερμοδυναμικό όριο αποφεύγει την εμφάνιση του βέλους σε μια αυθαίρετη κλίμακα μήκους . Πρόκειται για ένα ουσιαστικό στοιχείο στη στατιστική μηχανική και χρησιμοποιείται ευρέως , για παράδειγμα όταν σε θεωρητικούς υπολογισμούς θέλουμε να λάβουμε το ακριβές σημείο τήξης , των θερμοκρασιών στις οποίες τα στερεά μετατρέπονται σε υγρά .

Το θεώρημα ΚΑΜ παύει να είναι σημαντικό στο θερμοδυναμικό όριο : εξαφανίζεται κάθε "αχρονική" κανονική συμπεριφορά και παραμένει μόνον η ακανόνιστη "χαοτική" κίνηση . Μ’ αυτό τον τρόπο κάνει την εμφάνισή του το βέλος του χρόνου .

Στη γενική σχετικότητα η κίνηση λαμβάνει χώρα κατά μήκος των γεωδεσικών , των διαδρομών ελάχιστης απόστασης ανάμεσα σε γειτονικά σημεία .

Στο τέλος του 19ου αιώνα , ο γάλλος μαθηματικός Jacques Hadamard έδειξε ότι η γεωδαισική κίνηση πάνω σε μια επιφάνεια σταθερής αρνητικής καμπυλότητας ήταν εξαιρετικά ασταθής , αργότερα δε αποδείχθηκε πως είναι μια ροή Κ .

Μπορεί να αποδειχθεί ότι σε συγκεκριμένα κοσμολογικά πλαίσια υπάρχει πράγματι τέτοια γεωδαισική κίνηση , και ότι μ’ αυτό τον τρόπο γίνεται δυνατός ένας εσωτερικός χρόνος καθώς και μια θεμελίωση της έννοιας της ηλικίας .

Επιπρόσθετα , φαίνεται ότι σχετικιστικά αναλλοίωτα πεδία – σαν αυτά που χρησιμοποιούνται στην περιγραφή ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων – μπορούν να έχουν ιδιότητες ροής Κ , και συνεπώς είναι ενδογενώς μη αντιστρεπτά.

Όμως το γενικό πρόβλημα απόδειξης της ύπαρξης τέτοιων μεγεθών , όπως η δυναμική εντροπία και η ηλικία , είναι τρομερά δύσκολο στο πλαίσιο βαρυτικών αλληλεπιδράσεων , και μέχρι στιγμής δεν είναι γνωστή καμία απάντησή του .

Οι σύγχρονες μαρτυρίες , όμως , υποδεικνύουν ότι η ορθή μικροσκοπική περιγραφή της ύλης , παρά τις πολλές δυσκολίες της , πρέπει να συνταχθεί στη γλώσσα της κβαντικής θεωρίας.

Μ’ αυτό το πνεύμα , επιδίωξή μας θάπρεπε στην ουσία να είναι να βασίσουμε τη θεωρία μας για τη μη αντισττρεπτότητα και το χρόνο στην κβαντική θεωρία παρά στην κλασική. Θα εμφανιστούν τότε ενδιαφέρουσες ομοιότητες με όσα ανακαλύψαμε στην κλασική μηχανική .

Στην κβαντική θεωρία , η αρχή της απροσδιοριστίας διασφαλίζει ότι υπάρχει πάντοτε μια ενδογενής ανακρίβεια στις τιμές των παρατηρήσιμων μεγεθών (όπως είναι η θέση και η ορμή) που ενσωματώνονται στην κυματοσυνάρτηση, η οποία περιγράφει την κατάσταση του συστήματος .

Όμως η εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης που δίνεται από την εξίσωση του Schrödinger είναι αντιστρεπτή , όπως είναι οι τροχιές της νευτώνειας μηχανικής .

Εύλογα , λοιπόν , τίθεται το ερώτημα αν υπάρχει κάτι σαν δυναμική αστάθεια της κυματοσυνάρτησης , ανάλογη προς το χάος της κλασικής μηχανικής .

Αυτό απαιτεί την εισαγωγή του κβαντομηχανικού πίνακα πυκνότητας, που αναφέραμε προηγουμένως , ως πρωταρχικού αντικειμένου στη θέση της κυματοσυνάρτησης , με τον ίδιο τρόπο που η συνάρτηση πυκνότητας πιθανοτήτων αποβαίνει το βασικό αντικείμενο στην κλασική μηχανική των δυναμικά ασταθών συστημάτων.

Παρά τις εντατικές προσπάθειες που έγιναν επί πολλά χρόνια από πολλούς ανθρώπους , μέχρι στιγμής δεν γνωρίζουμε να υπάρχει κάτι ανάλογο του χάους σε μικρά κβαντικά συστήματα.

Αυτό το χαρακτηριστικό σχετίζεται με την ύπαρξη μιας ισχυρής μορφής επαναφοράς του Poincaré στην κβαντική θεωρία , πράγμα που σημαίνει ότι όλα τα πεπερασμένα και μεμονωμένα κβαντικά συστήματα , για παράδειγμα η συσκευή που περιέχει τη γάτα του Schrödinger είναι περιοδικά – υπόκεινται στην αέναη επάνοδο . Η γάτα θα εγκλωβιστεί για πάντα σε μια κατάσταση – φάντασμα , έναν συνδυασμό ζωντανής και νεκρής γάτας .

Φαίνεται πως η ιδέα μιας μη αντιστρεπτής προσέγγισης της ισορροπίας είναι υπονομευμένη στην κβαντική θεωρία .

Εντούτοις , μπορούμε να εισαγάγουμε μια εντροπία στην κβαντική μηχανική , αναγνωρίζοντας απλώς την παρουσία μακροσκοπικών αντικειμένων με τεράστιο αριθμό μορίων .

Αυτό μπορεί να γίνει αν λάβουμε το θερμοδυναμικό όριο με τον ίδιο τρόπο που το κάνουμε σε μεγάλα , μη ολοκληρώσιμα συστήματα Poincaré στην κλασική μηχανική .

Είναι μια πανίσχυρη προσέγγιση που λειτουργεί και στους δύο κλάδους . Φυσικά , όπως και πριν , η μη αντιστρεπτότητα μπορεί να εξαχθεί μ’ αυτόν τον τρόπο αν θεωρήσει κανείς μακροσκοπικά συστήματα και όχι μικροσκοπικά .

Αυτό το συμπέρασμα έχει σημασία για μια από τις μείζονες δυσκολίες της κβαντικής θεωρίας . Ενώ η πραγματιστική εφαρμογή της κβαντικής μηχανικής είναι αρκετά συνηθισμένη , η ερμηνεία της παραμένει ανοιχτή σε αμφισβητήσεις.

Η κβαντική θεωρία ήταν εξαιρετικά επιτυχής στο μικροσκοπικό επίπεδο , άρα γιατί γίνεται όλη αυτή η φασαρία ;

Ο John Bell , θεωρητικός φυσικός στο Ευρωπαϊκό Κέντρο Φυσικής των Σωματιδίων , CERN , και ένας από τους ανθρώπους που έχει στοχαστεί σε βάθος πάνω στα ενδογενή προβλήματα της κβαντικής μηχανικής , υιοθετεί "μια πολύ πολύ απαλή" προσέγγιση .

Κατά την άποψή του , " . . . η πρόοδος συντελείται παρά τη θεμελιακή ασάφεια που υπάρχει στην κβαντική μηχανική . Οι θεωρητικοί μας προχωρούν αλματωδώς μέσα σ’ αυτή την ασάφεια με αμείωτη ορμή . . . Η πρόοδος που συντελείται κατ’ αυτόν τον τρόπο είναι φοβερά εντυπωσιακή . Αν πραγματοποιείται από υπνοβάτες , είναι άραγε φρόνιμο να τους φωνάξουμε “ξυπνείστε” . Δεν είμαι βέβαιος ότι αυτό είναι το σωστό . Γι’ αυτό τώρα μιλάω με πολύ χαμηλή φωνή".

Αν σε κάποιον αρέσει να ζει στον μικροσκοπικό κόσμο , τότε η υπνοβασία είναι πιθανώς μια καλή ασχολία .

Εντούτοις , το συμπέρασμα που συνάγεται είναι ότι η κβαντική θεωρία σφάλλει στο μακροσκοπικό επίπεδο , όταν αποπειράται να περιγράψει τον κόσμο μας .

Οι δυσκολίες εικονογραφούνται από τα κβαντικά παράδοξα , όπως είναι η γάτα του Schrödinger , στα οποία "η κβαντική πραγματικότητα" πρέπει να περιγράφει από λανθάνουσες καταστάσεις – φαντάσματα , όπως η "ζωντανή και νεκρή γάτα".

Ο Bell αποδίδει περιεκτικά την κατάσταση ως εξής : "Πώς ακριβώς πρέπει να διαιρεθεί ο κόσμος σε διατυπώσιμη συσκευή μέτρησης , για την οποία μπορούμε να μιλάμε , και σε μη διατυπώσιμο κβαντικό σύστημα , για το οποίο δεν μπορούμε να μιλάμε ; Τα μαθηματικά της συνήθους θεωρίας απαιτούν μια τέτοια διάκριση , αλλά δεν λένε τίποτε για το πώς πρέπει να γίνει" .

Προσθέτει ακόμη : " Μήπως η κυματοσυνάρτηση του κόσμου περίμενε επί χιλιάδες εκατομμύρια χρόνια να κάνει το άλμα ώσπου να εμφανιστεί ένας μονοκύτταρος ζωντανός οργανισμός ; Ή μήπως αναγκάστηκε να περιμένει λίγο ακόμα για να έρθει κάποιος που πραγματοποίησε τη μέτρηση με περισσότερα προσόντα – κάποιος με διδακτορικό ; Αν η θεωρία μπορεί να εφαρμοστεί σε οτιδήποτε πέρα από τις εξιδανικευμένες εργαστηριακές λειτουργίες , τότε δεν οφείλουμε να παραδεχτούμε ότι οι διαδικασίες που λίγο ή πολύ είναι του τύπου της μέτρησης , αναπτύσσονται λίγο – πολύ παντού ; Τότε , υπάρχει έστω και μία στιγμή που να μη γίνονται άλματα και να ισχύει η εξίσωση Schrödinger ;"