- Εμβαδό τριγώνου - .-= Η ΓΝΩΣΗ =-.
Αν βάλουμε Χ ανθρώπους να διαλέξουν τη μία από τις τρεις πόρτες, περιμένουμε ότι την κάθε πόρτα θα την έχουν επιλέξει περίπου το 1/3 του συνόλου δηλαδή από Χ/3.
Άρα τις λάθος πόρτες θα τις έχουν διαλέξει συνολικά οι 2Χ/3 και τη σωστή (αυτή με το δώρο) οι Χ/3.
Αν όλοι αλλάξουν την επιλογή τους μετά από την αποκάλυψη της μίας λάθος πόρτας, τότε οι 2Χ/3 θα βρουν τη σωστή και οι Χ/3 τη λάθος.
Άρα σαν τακτική έχεις περισσότερες πιθανότητες (δύο στις τρεις) αν αλλάξεις την επιλογή σου όταν ανοίξει η μία πόρτα.
Αν βέβαια από αυτή την επιλογή κρινόταν κάτι πολύ πολυτιμότερο από ένα δώρο, θα αρκούσε αυτή και μόνο η γνώση;
Έστω ότι έχεις να διαλέξεις ανάμεσα στις πόρτες Α, Β, Γ και το δώρο είναι στην Α.
Οι πιθανές επιλογές είναι τρεις από τις οποίες η μία –η επιλογή της πόρτας Α -κερδίζει .
Αν όμως αφού κάνουμε την αρχική επιλογή, κάνουμε και μια δεύτερη απορρίπτοντας την πρώτη, θα έχουμε τρεις περιπτώσεις:
1) Να έχουμε επιλέξει την Α (σωστή) και μετά το άνοιγμα της Β (ή της Γ) να επιλέξουμε την Γ (ή τη Β αντίστοιχα) οπότε χάνουμε
2) Να έχουμε επιλέξει την Β (λάθος) και μετά το άνοιγμα της Γ να επιλέξουμε την Α οπότε κερδίζουμε
3) Να έχουμε επιλέξει την Γ (λάθος) και μετά το άνοιγμα της Β να επιλέξουμε την Α οπότε πάλι κερδίζουμε.
Πιθανότητες δηλαδή δύο στις τρεις να κερδίσουμε.
Σχόλιο:
Τι είναι αυτό που μας κάνει να επιλέγουμε κάτι ανάμεσα σε άλλα όταν δεν μπορούμε να κατονομάσουμε συγκεκριμένο λόγο για την επιλογή μας παρά μόνο την τύχη;
Σε τι βασιζόμαστε όταν επιλέγουμε «τυχαία»; Πόσο τυχαίες είναι οι τυχαίες επιλογές μας;
Στο 1 βάζεις το διαζευκτικό [ή] ενώ αντίστοιχα δεν κάνεις το ίδιο και στη παρακάτω υπόθεσή σου ή αντίστροφα
Θα ήταν ποιό σωστό αν έλεγες
1) Να έχουμε επιλέξει την Α (σωστή) και μετά το άνοιγμα της Β να επιλέξουμε την Γ οπότε χάνουμε
2) Να έχουμε επιλέξει την Α (σωστή) και μετά το άνοιγμα της Γ να επιλέξουμε την Β οπότε χάνουμε
2) Να έχουμε επιλέξει την Β (λάθος) και μετά το άνοιγμα της Γ να επιλέξουμε την Α οπότε κερδίζουμε
3) Να έχουμε επιλέξει την Γ (λάθος) και μετά το άνοιγμα της Β να επιλέξουμε την Α οπότε πάλι κερδίζουμε.
οπότε έχουμε 2/4 να χάσουμε και 2/4 να κερδίσουμε, δηλαδή 50%.
η θα μπορούσες να πεις.
1) Να έχουμε επιλέξει την Α (σωστή) και μετά το άνοιγμα της Β (ή της Γ) να επιλέξουμε την Γ (ή τη Β αντίστοιχα) οπότε χάνουμε
2) Να έχουμε επιλέξει την Β [ή την Γ] (λάθος) και μετά το άνοιγμα της Γ [ή της Β] να επιλέξουμε την Α οπότε κερδίζουμε
οπότε έχουμε πάλι 50%.
The love is like a ball. Ul c
.|.
δεν θα συμφωνήσω μαζί σου.
Οι πιθανές περιπτώσεις προς εξέταση είναι τρεις και όχι τέσσερις . Δες και την πρώτη εκδοχή που κατέθεσα.
Θα το διατυπώσω λίγο διαφορετικά
Πόσες πιθανότητες έχεις να βρεις την σωστή πόρτα αρχικά;
Μία στις τρεις.;
Πιθανότητα επιτυχίας δηλαδή μία στις τρεις.
Πιθανότητα αποτυχίας δύο στις τρεις
Συμφωνούμε μέχρι εδώ;
Αν στη δεύτερη φάση του παιχνιδιού αλλάξεις την επιλογή σου αυτό που «μετρήθηκε» ως επιτυχία γίνεται αποτυχία και αυτό που «μετρήθηκε» ως αποτυχία γίνεται επιτυχία.
Δεν ξέρω αν στο έκανα έτσι κατανοητό ή βρίσκεις κι εδώ λογικό σφάλμα.
Θα δοκιμάσω και αλλιώς.
Έστω εγώ, εσύ και ένας ακόμη φίλος διαλέγουμε από μία πόρτα ο καθένας.
Προφανώς μόνο ο ένας μας έχει βρει τη σωστή και οι άλλοι δύο την λάθος.
Αν στη συνέχεια και οι τρεις αντιστρέψουμε την επιλογή μας αφού πρώτα μας ανοίξουν μία από τις λάθος πόρτες, τότε οι δύο από μας θα κερδίσουν το δώρο και το πολύ -πολύ να κοιτάξουμε να βρούμε τρόπο να το μοιραστούμε και με τον τρίτο που θα του μείνει το γλυφιτζούρι.
Είπες:
quote:
1) Να έχουμε επιλέξει την Α (σωστή) και μετά το άνοιγμα της Β να επιλέξουμε την Γ οπότε χάνουμε
2) Να έχουμε επιλέξει την Α (σωστή) και μετά το άνοιγμα της Γ να επιλέξουμε την Β οπότε χάνουμε
2) Να έχουμε επιλέξει την Β (λάθος) και μετά το άνοιγμα της Γ να επιλέξουμε την Α οπότε κερδίζουμε
3) Να έχουμε επιλέξει την Γ (λάθος) και μετά το άνοιγμα της Β να επιλέξουμε την Α οπότε πάλι κερδίζουμε.
Πρώτα απ'όλα αυτό δεν ισχύει διότι η πιθανότητα 1 στο παραπάνω ειναι ίση με την 2. Μην τα βλέπεις σαν πόρτες αλλα σαν πιθανότητες. Πορτα Β = Πόρτα Γ.
Για να στο αποδείξω:
έστω έχουμε 10 πόρτες, Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ.
Έστω Α = Σωστή.
Με βάση την λογική σου θα λέγαμε
1) Έστω επιλέγουμε Α, και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Κ, επιλέγουμε Κ οπότε χάνουμε!
2) Έστω επιλέγουμε Α, και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Ι, επιλέφουμε Ι οπότε χάνουμε!
3) Έστω επιλέγουμε Α, και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Θ, επιλέγουμε Θ οπότε χάνουμε
4) Έστω επιλέγουμε Α, και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Η, επιλέγουμε Η οπότε χάνουμε
5) Έστω επιλέγουμε Α, και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Ζ, επιλέγουμε Ζ οπότε χάνουμε
6) Έστω επιλέγουμε Α, και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Ε, επιλέγουμε Ε οπότε χάνουμε
7) Έστω επιλέγουμε Α, και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Δ, επιλέγουμε Δ οπότε χάνουμε
8) Έστω επιλέγουμε Α, και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Γ, επιλέγουμε Γ οπότε χάνουμε
9) Έστω επιλέγουμε Α, και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Β, Επιλέγουμε Β οπότε χάνουμε
10) Έστω επιλέγουμε Β και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Α, επιλέγουμε Α οπότε κερδίζουμε
11) Έστω επιλέγουμε Γ και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Α, επιλέγουμε Α οπότε κερδίζουμε
12) Έστω επιλέγουμε Δ και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Α, επιλέγουμε Α οπότε κερδίζουμε
13) Έστω επιλέγουμε Ε και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Α, επιλέγουμε Α οπότε κερδίζουμε
14) Έστω επιλέγουμε Ζ και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Α, επιλέγουμε Α οπότε κερδίζουμε
15) Έστω επιλέγουμε Η και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Α, επιλέγουμε Α οπότε κερδίζουμε
16) Έστω επιλέγουμε Θ και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Α, επιλέγουμε Α οπότε κερδίζουμε
17) Έστω επιλέγουμε Ι και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Α, επιλέγουμε Α οπότε κερδίζουμε
18) Έστω επιλέγουμε Κ και μας ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός απο Α, επιλέγουμε Α οπότε κερδίζουμε
Με αυτή την λογική (οποία χρησιμοποίησες νωρίστερα) μου λές ότι έχεις να διαλέξεις 10 πόρτες και έχεις πιθανότητα 50% να επιλέξεις την σωστή με την πρώτη σου επιλογή.
Το σωστό είναι:
1) Έστω επιλέγεις Α, Επιλογές είναι Α(σωστή) και μια άσχετη πόρτα οποία είναι λάθος (πραγματικά.. αν επιλέξεις το σώστο με την πρώτη ΟΤΙ άλλη επιλογή και να κάνεις είναι λάθος)
2) Έστω επιλέγεις Β, Επιλογές = Β, Α
3) Έστω επιλέγεις Γ, Επιλογές = Γ, Α
4) Έστω επιλέγεις Δ, Επιλογές = Δ, Α
5) Έστω επιλέγεις Ε, Επιλογές = Ε, Α
6) Έστω επιλέγεις Ζ, Επιλογές = Ζ, Α
7) Έστω επιλέγεις Η, Επιλογές = Η, Α
8) Έστω επιλέγεις Θ, Επιλογές = Θ, Α
9) Έστω επιλέγεις Ι, Επιλογές = Ι, Α
10) Έστω επιλέγεις Κ, Επιλογές = Κ, Α
Αποτέλεσμα: 9 στις 10 εάν αλλάξεις πόρτα, 1 στις 10 εάν κρατήσεις ίδια.
Το ίδιο και με τις 3 πόρτες..
Να το δούμε με βάση την λογική.
Πόρτα Α
Επιλογές: Ίδια Πόρτα = True. Αλλαγή Πόρτας = False
Πόρτα Β
Επιλογές: Ίδια Πόρτα = False. Αλλαγή Πόρτας = True
Πόρτα Γ
Επιλογές: Ίδια Πόρτα = False. Αλλαγή Πόρτας = True
Συμπέρασμα με βάση 3 πόρτες: 66,6% Μεγαλύτερη πιθανότητα να πετύχει την σωστή πόρτα εάν αλλάξει..
--------
Ελπίζω να σας έπεισα.. τι να πω.. Δεν έχω άλλα επιχειρήματα
------
Edited by - Χρήστος on 21/04/2005 03:18:25
quote:
1) Να έχουμε επιλέξει την Α (σωστή) και μετά το άνοιγμα της Β (ή της Γ) να επιλέξουμε την Γ (ή τη Β αντίστοιχα) οπότε χάνουμε
2) Να έχουμε επιλέξει την Β [ή την Γ] (λάθος) και μετά το άνοιγμα της Γ [ή της Β] να επιλέξουμε την Α οπότε κερδίζουμε
Ας πάρω ένα συγεκριμένο κομμάτι..
quote:
1) Να έχουμε επιλέξει την Α (σωστή)...
2) Να έχουμε επιλέξει την Β [ή την Γ] (λάθος)...
Σοβαρά, αυτό δεν είναι λίγο άκυρο;; Σαν να λες ότι έχουμε 3 επιλογές και είναι 50-50 για αν θα πετύχουμαι την σωστή με την πρώτη.
Και δεν κατάλαβα πως σύμφωνα με την λογική μου, που δεν είναι λογική μου αλλά απάντηση στην λογική του Ampere, έφτασες στο παράδειγμα με τις 10 πόρτες.
Επίσης πουθενά δεν λέω πως, από την αρχή, οι πιθανότητες είναι 50/50. Είναι σίγουρα 1/3.
Και η ερώτηση είναι αν μετά το άνοιγμα μιας λάθος πόρτας οι πιθανότητες αυξάνονται αν αλλάξει η επιλογή της πόρτας.
Και εγω αυτό που λέω είναι πως όταν μείνουν δύο (2) πόρτες, με την αλλαγή της αρχικής μας επιλογής δεν αλλάζουν και οι πιθανότητες εύρεσης της σωστής πόρτας.
Από την στιγμή που έχουμε δύο (2) πόρτες, οι πιθανότητες είναι 50%, είτε αλλάξουμε επιλογή είτε διατηρήσουμε την ίδια.
Εγω δεν μπορώ να προσθέσω τίποτα άλλο στον συλλογισμό μου.
Αν πιστεύεται ότι είναι λάθος, τα λόγια μόνο μέχρι εκεί μου επιτρέπουν να προχωρήσω.
Αν μπορέσω να το εκφράσω μαθηματικά ίσως να επανέλθω.
The love is like a ball. Ul c
.|.
Edited by - scar_face on 21/04/2005 11:31:58
Λοιπόν, πριν προσπαθήσω και εγώ να εξηγήσω γιατί έχουμε καλύτερες πιθανότηες αν ΑΛΛΑΞΟΥΜΕ πόρτα, νά και λίγο background:
Από ο,τι γνωρίζω, η ερώτηση αυτή πρωτοτέθηκε έτσι από την Marilyn Vos Savant, που ήταν μια από της πρόσφατες "γκουρού του IQ" Νέας Εποχής, στο στυλ του Tony Buzzan, Edward de Bono, κ.α., τους οποίους οι φίλοι των πάζλ μάλλον θα γνωρίζουν καλά.
Ακολούθησε "ζωηρή" συζήτηση στις εφημερίδες (δεν είχαν ακόμα WWW 
), οπου το ένα πράγμα που έγινε φανερό ηταν ο,τι δεν παιζόταν πάντα έτσι το παιχνίδι! Συγκεκριμμένα ο Monty Hall άλλοτε μπορεί να προσέφερε αυτήν την ευκαιρία αλλάγης στους αγωνιζώμενους, άλλοτε όχι, ανάλογα με τα κέφια του!
Το οποίο είναι και πιο λογικό, γιατί αλλοιώς μόλις την ψυλλιαζόταν την δουλειά ο κάσμος, θα άλλαζε πάντα πόρτα, και το παιχνίδι θα έχανε το ενδιαφέρον του...
Το παζλ όμως έγινε διάσημο με την μορφή που δώθηκε αρχικά εδώ.
===
Φίλε scar_face, νομίζω οτι αυτό που μας μπερδεύει αρχικά (και ομολογώ οτι και εγώ όταν το πρωτοάκουσα σκέφθηκα όπως εσύ), είναι η γνώση οτι όταν έχουμε κάποια τυχαία επιλογή, οι πιθανότητες είναι πάντα ίσες. Αυτό εξ'άλλου είναι και νόμος της στατιστικής.
Ο νόμος αυτός όμως στέκει ΜΟΝΟ όταν οι επιλογές μας είναι ανεξάρτητες από το ότι έχει συμβεί μέχρι στιγμής, και σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι.
Για να το πώ και αλλοιώς, αν κάποιος πάρει μιά τράπουλα και ανοίξει ένα χαρτί, οι πιθανότητες είναι 50-50 να είναι κόκκινο ή μαύρο. Αν ανοίξει 26 χαρτιά και τύχει να είναι ΟΛΑ κόκκινα, οι πιθανότητες είναι 100% οτι το επόμενο θα είναι μαύρο! Οι πιθανότητες θα ήταν 50-50 ΜΟΝΟ αν άρχιζε κάθε φορά με φρέσκια τράπουλα.
Ή αλλοιως:- Πές οτι έπαιζες το παιγνίδι εσύ, και σου δινόταν ΜΙΑ μόνο επιλογή: Να διαλέξεις μία πόρτα, η να διαλέξεις δύο πόρτες. Τί θα προτιμούσες; Τις δύο, φυσικά, έτσι;
Όμως αν είχες γκαραντί οτι ο Μόντυ Χωλλ θα σου προσέφερε την ευκαιρία να αλλάξεις, εσύ, διαλέγοντας αρχικά την πόρτα που ΔΕΝ ΗΘΕΛΕΣ, εξασφάλιζες τις άλλες δύο! HTH (Hope This Helps!), που λένε...
========
Και τώρα, προς τιμήν των φίλων Ampere, Χρήστου και scar_face, να το ξαναθέσω - ελαφρώς αλλαγμένο - το ερώτημα, για να είναι και πιό ρεαλιστικό....
Το παιγνίδι παραμένει το ίδιο αλλά μπορει (με πιθανότητα 50%) ο Μόντυ Χωλλ να ΜΗΝ σου προσφέρει την ευκαιρία να αλλάξεις. Δηλαδή ίσως ναι, ίσως και όχι. Τί σε συμφέρει καλύτερα; Να διαλέξεις την πόρτα που αληθινά νομίζεις οτι έχει το αυτοκίνητο ή να διαλέξεις αυτην που θεωρείς πιο απίθανη, σε περίπτωση που σου επιτρέψει να αλλάξεις;
====
Σημείωση - έτσι όπως το έθεσα πιο πάνω, υπονοώ οτι η ίδια η διαίσθησή μας έχει κάποια αξία, καί αυτό δεν είναι κάτι που υπολογίζεται στον τομέα της στατιστικής.
Σωστά τέθηκε το ερώτημα (απ'τον Αμπέρ, νομίζω) τί είναι αυτό που μας κάνει να διαλέγουμε, ούτως ή άλλως;
Άσε που πολλοί από αυτούς που δεν θα θέλαν να κάνουν την αλλαγή πόρτας, θα είχαν επιρρεαστεί από την υψηλή εκτίμιση που έχουν για την ίδια τους την διαίσθηση....! Θα μπορούσαν όμως, άραγε, να μαντέψουν σωστά τα χρώματα μιας τράπουλας, με σταθερή και προβλέψιμη επιτυχια άνω των 66.6% ;; 
======
Να και κάποια λίνκς για όσους θέλουν να επιβεβαιώσουν το αληθές του λόγου, (ἠ απλώς βάλτε "Monty Hall" στο Google).
Λυπάμαι, αλλά το δεύτερο βραβείο εδώ είναι γίδα, και όχι γλυφιτζούρι!! (ενδεχομένως πιο χρήσιμη...)
http://math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html
http://www.cut-the-knot.org/hall.shtml
Φιλικά
k
ΥΓ. Στράτο, πολύ μου άρεσε το
5 + 5 + 5 = 555 => 545 + 5 = 550 !!!
πολύ πιό κομψό από το
5 + 5 + 5 = 555 => 5 + 5 + 5 =/= 550 !!!
Edited by - kynikos on 21/04/2005 16:24:13
Το συναίσθημα δεν έχει σταθερή μαθηματική έκφραση.
Αν το συμπεριλάβουμε στην ερώτηση τότε ξεφεύγουμε από τα μαθηματικά και θα φτάσουμε να μιλάμε για "κβαντικά" μαθηματικά :)))
The love is like a ball. Ul c
.|.
quote:
ΕΝΣΤΑΣΗ κύριε πρόεδρε :)
I know the feeling...quote:
Το συναίσθημα δεν έχει σταθερή μαθηματική έκφραση.
Εδώ είσαι απόλυτα σωστός!
Αλλά για να καταλάβω καλύτερα, η ένσταση σου είναι ως προς την αρχική ερώτηση, ή την δεύτερη, νέα, ερώτηση που έθεσα;
Ελπίζω όχι την αρχική. Εκεί ΔΕΝ τίθεται θέμα συναισθήματος.
Τώρα, αν ο Μόντυ Χωλλ είχε ανοίξει μια από τις δύο εναπομείνουσες θύρες ΧΩΡΙΣ να κοιτάξει, ΟΚ, τα πράγματα θα ήταν ακριβώς όπως έλεγες. Οπότε και άν ανακάλυπτε κατα τύχη αυτός το αυτοκίνητο, θα τέλειωνε και το παιγνίδι.
Το γεγονός οτι ΗΞΕΡΕ ποία πόρτα άνοιγε, αλλάζει τας πιθανότητας, αγαπητέ, διότι περιορίζει την επιλογήν του!
Τα πειράματα των ιστιοδελίδων, εξ άλλου, πιστεύω να αε πείσαν!
====
Τώρα, στην 2η ερώτηση που θέτω, η οποία ουσιαστικά λέει «έχω καλύτερη πιθανότητα αν αρχικά πώ ψέμματα για το τί νομίζω;», είναι εντελώς άλλο ζήτημα, και παίζει ΚΑΘΕ ρόλο το συναίσθημα....
k
Edited by - kynikos on 21/04/2005 18:59:28