- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Εφεύρεση ή ανακάλυψη? - .-= Η ΓΝΩΣΗ =-.

Παραθέτω αμέσως παρακάτω τον Λογισμό με αριθμούς και γενικά συμβολα αριθμών:

Θα μας φανούν χρήσιμα για μια πιθανή συνέχεια.

Φιλικά

Φιλικά

Παραθέτω παρακάτω τον ορισμό των Υπερβατικών αριθμών:

Τα τρία τελευταία μηνύματα τα έστειλλα (εκτός των άλλων λόγων) και για να δείξω γιατί:
1) η Χρυσή Τομή Φ = 1,618... είναι άρρητος αριθμός (αφού είναι ρίζα εξισώσεως).
2) Η παγκόσμια σταθερά π = 3,14... είναι υπερβατικός αριθμός.
3) Η βάση των νεπερείων λογαρίθμων e = 2,718... είναι επίσης υπρβατικός αριθμός.

Κηφεύς

Καταλήγουμε, λοιπόν, στα εξής συμπεράσματα για ΤΗΝ ΠΥΡΑΜΙΔΑ ΤΟΥ ΧΕΟΠΑ

Απ’όσα προαναφέρθηκαν, προκύπτει ότι: εάν και εφ’όσον οι Αιγύπτιοι υλοποίησαν, σε μία και την αυτή Πυραμίδα τους αριθμούς Φ, π και e, θα έπρεπε να θεωρούσαν αυτό εφικτό.

Θα έπρεπε δηλαδή να γνώριζαν, ότι πράγματι οι αριθμοί Φ και π όπως και ο e, μπορούν να υλοποιηθούν στην ίδια πυραμίδα, κατά μία μεγάλη προσέγγιση, που δεν θα έβλαπτε την αξία τους, τουλάχιστον πρακτικώς.

Έτσι μπορούμε να συνάγουμε το συμπέρασμα, ότι και το όλο μυστικό της Πυραμίδος του Χέοπος, συνίσταται στο ότι:

Οι Αιγύπτιοι γνώριζαν την από κοινού συνεμφάνιση των
τριών ασύμμετρων αριθμών σε κανονική τετραγωνική πυραμίδα, που οι έδρες της έχουν κλίση 51ο 50΄ 0,0΄΄.

Γεννάται, μετά απ’όλα αυτά, το εξής μεγάλο ερώτημα:

Μήπως, εκτός του Φ, του e και του π, η ίδια Πυραμίδα υλοποιεί και άλλες γεωμετρικές και αναλυτικές σχέσεις, που θα αποκαλυφθούν στο μέλλον, αλλά και γνώσεις που πιθανόν να είναι άγνωστες ακόμη σε μας, και γι’αυτό να απαιτείται μία συνεχής και αδιάλειπτη μελέτη του θαυμαστού αυτού Γεωμετρικού Μνημείου ;

Φιλικά

Κηφεύς

Λίαν συντόμως λοιπόν!

In anticipation of my resurrection...

Ακόμα μία παράθεση για τις Εξισώσεις με έναν άγνωστο, που έκρινα πως είναι απαραίτητη για μελλοντική χρήση:

Φιλικά

Κηφεύς

Στην εικόνα και στην έκτη, ένατη, δέκατη και ενδέκατη σειρά έχει γραφεί (για λόγο που δεν γνωρίζω) η εσφαλμένη μαθηματική έκφραση:

α ? 0, αντί της σωστής:

α ≠ 0 , που σημαίνει: « α διάφορο του μηδενός ».

Ευχαριστώ

Άλλωστε, πάντοτε συμπαθούσα περισσότερο την Γεωμετρία από την Άλγεβρα.

In anticipation of my resurrection...

Σήμερα θα ασχοληθούμε με τα πέντε (5) Πλατωνικά πολύεδρα:

1. Γενικά .
Ένα πολύεδρο καλείται ομοιομερές , εάν περικλείεται από επίπεδες έδρες με ίσο αριθμό πλευρών .
Ένα κυρτό πολύεδρο καλείται κανονικό , όταν όλες οι έδρες του είναι πολύγωνα ίσα και κανονικά , οι δε στερεές γωνίες του κανονικές και ίσες .
Το κανονικό πολύεδρο είναι προφανώς ομοιομερές .
Τα μόνα υπάρχοντα κανονικά πολύεδρα είναι πέντε (5) , σε αντίθεση με τα κανονικά πολύγωνα που είναι άπειρα . Αυτά είναι τα εξής :
α) Το κανονικό τετράεδρο με έδρες 4 ισόπλευρα ίσα τρίγωνα .
β) Το κανονικό εξάεδρο με έδρες 6 τετράγωνα ίσα ( ο κύβος ) .
γ) Το κανονικό οκτάεδρο με έδρες 8 ισόπλευρα ίσα τρίγωνα .
δ) Το κανονικό δωδεκάεδρο με έδρες 12 κανονικά ίσα πεντάγωνα .
ε) Το κανονικό εικοσάεδρο με έδρες 20 ισόπλευρα ίσα τρίγωνα .

2. Ιστορικό σημείωμα .
Πρώτοι οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν το κανονικό τετράεδρο , τον κύβο και το κανονικό δωδεκάεδρο , ο δε Θεαίτητος , ο φίλος του Πλάτωνος , ανεκάλυψε το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο , έδωσε τον γενικό ορισμό , ενός κανονικού σώματος και απέδειξε ότι δεν μπορεί να υπάρχουν περισσότερα από αυτά τα συγκεκριμένα κανονικά πολύεδρα .
Στο 13ο βιβλίο του Ευκλείδη δίδεται η κατασκευή των πέντε αυτών κανονικών πολυέδρων και αποδεικνύεται ότι αυτά είναι εγγράψιμα σε σφαίρα .
Στο 14ο βιβλίο του Ευκλείδη , το οποίο συντάχθηκε από τον Υψικλέα το 190π.Χ. υπάρχουν προτάσεις για τις επιφάνειες και τους όγκους των κανονικών πολυέδρων .
Στο 15ο βιβλίο του Ευκλείδη , του οποίου ο συγγραφέας θα πρέπει να έζησε αρκετούς αιώνες μ.Χ. , περιλαμβάνονται προτάσεις περιγραφής των κανονικών πολυέδρων , οι οποίες αναφέρονται στον αριθμό των ακμών και των κορυφών και στις κλίσεις των διαδοχικών εδρών .
Ο μαθηματικός Πάππος (295 μ.Χ.) , πραγματεύεται τον τρόπο της εγγραφής των κανονικών πολυέδρων σε δεδομένη σφαίρα .
Ο μαθηματικός Ήρων (2ος αιώνας μ.Χ.) , πραγματεύεται τον υπολογισμό των όγκων των κανονικών πολυέδρων με την ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας .
Στον Ήρωνα υπάρχει ο όρος Πλατωνικά σώματα . Και τούτο διότι με αυτά ο Πλάτων καθορίζει τα στοιχεία δομής του Κόσμου και της Ψυχής .
Την απόδειξη , την οποία δεν είχαν τελείως συμπληρώσει οι Αρχαίοι Έλληνες , ότι εκτός των πέντε Πλατωνικών σωμάτων , δεν μπορούν να υπάρχουν άλλα κανονικά σώματα , συμπλήρωσε ο Legendre (1752 – 1833 μ.Χ.) στο συμπλήρωμα , του 6ου και 7ου βιβλίου των στοιχείων του .

Φιλικά

Κηφεύς

Παραθέτω αμέσως παρακάτω τα προοπτικά σχέδια των 5 Πλατωνικών Πολυέδρων:

Φιλικά

Κηφεύς

Παραθέτω, παρακάτω την μαθηματική απόδειξη της υπάρξεως των 5 μόνον , συγκεκριμένων , κανονικών ( Πλατωνικών ) , πολυέδρων :

Στο αμέσως επόμενο μήνυμα, θα γράψω την συνέχεια και το τέλος της αποδείξεως.

Φιλικά

Παραθέτω τη συνέχεια της αποδείξεως του προηγουμένου μηνύματός μου:

Έτσι αποδείχθηκε ότι υπάρχουν 5 μόνον κανονικά πολύεδρα που οι έδρες τους είναι ισόπλευρα τρίγωνα , ή τετράγωνα , ή πεντάγωνα και αυτά είναι :
α) Το κανονικό τετράεδρο , ( με έδρες ισόπλευρα τρίγωνα ) .
β) Το κανονικό οκτάεδρο , ( με έδρες ισόπλευρα τρίγωνα ) .
γ) Το κανονικό εικοσάεδρο , ( με έδρες ισόπλευρα τρίγωνα ) .
δ) Το κανονικό εξάεδρο ή κύβος , ( με έδρες τετράγωνα ) .
ε) Το κανονικό δωδεκάεδρο , ( με έδρες κανονικά πεντάγωνα ) .

Φιλικά

Κηφεύς

Σήμερα θα παραθέσω τις (βασικές) ιδιότητες των 5 Πλατωνικών πολυέδρων:

Φιλικά

Κηφεύς

Σήμερα συνεχίζω με την Κοσμογονική σημασία που έχουν τα 5 κανονικά πολύεδρα για τον Πλάτωνα:

5 . Η Κοσμογονική και οντολογική θεωρία του Πλάτωνος :

Ο Πλάτων δεχόταν την ύπαρξη ενός υλικού στοιχείου του οποίου χαρακτηριστικά είναι : η ενδεχομενικότης , η απροσδιοριστία , η ασσυμετρία και η απειρότης .
Από οντολογικής απόψεως , το υλικό στοιχείο το θεωρούσε ως κατώτερη μορφή της υπάρξεως , ως φορέα κατά κάποιον τρόπο της μεταβλητικότητος και ανυπαρξίας και γι’αυτό το κατέτασσε στην χώρα « του μη όντος » .

Η ύλη όμως μπορεί να γίνει πλήρες όν εφ’όσον δεχθεί την επίδραση της Ιδέας . Δεχόμενη η ύλη , κατά τον Πλάτωνα , την επίδραση της Ιδέας , εμφανίζεται υπό την μορφή των πρωταρχικών τριγώνων .
Πρωταρχικά τρίγωνα , ο Πλάτων ονομάζει :
α) Το ορθογώνιο ισοσκελές .
β) Το ορθογώνιο σκαληνό του οποίου η μκρότερη κάθετος πλευρά είναι το μισό της υποτείνουσας .

Ο κόσμος δημιουργήθηκε με σύμπραξη του Νού και της ανάγκης .

Πλήν του κόσμου των Ιδεών , του αιώνιου και αναλλοίωτου , και του αντιγράφου του , του ορατού και μεταβλητού , υπάρχει και ο χώρος .

Ο χώρος , το απόλυτον όν και η Γένεσις προϋπήρχαν του Σύμπαντος .

Για τη δημιουργία του κόσμου ο Θεός ετακτοποίησε τα τέσσερα στοιχεία : πύρ , γή , ύδωρ και αέρα , που μέχρι της στιγμής εκείνης ήταν αλόγως και αμέτρως διασκορπισμένα (Τίμαιος 48Α – 53C , κεφ.17 – 19) .

Τα τέσσερα αυτά σώματα εσχηματίσθησαν από τα δύο είδη ορθογωνίων τριγώνων , του ορθογωνίου ισοσκελούς και του ορθογωνίου σκαληνού του οποίου η μικρότερη κάθετος πλευρά είναι το της υποτεινούσης.

Διάφοροι συνδυασμοί 24 ορθογωνίων ισοσκελών τριγώνων , παράγουν το τέταρτο στερεό , τον κύβο .

Το τετράεδρο (ή τριγωνική πυραμίς) , είναι το στοιχείο του πυρός (παρατηρούμε ότι το πρώτο συνθετικό της λέξεως Πυραμίς είναι η λέξη Πύρ) .

Το οκτάεδρο είναι το στοιχείο του αέρος .

Το εικοσάεδρο του ύδατος .

Ο κύβος , ως το σταθερότερο των σχημάτων αντιπροσωπεύει την γή .

Από τα στοιχεία αυτά :

Η γή (κύβος) δεν μεταβάλλεται σε άλλο .

Το ύδωρ (εικοσάεδρο) όμως γίνεται πύρ ή αήρ (τετράεδρο ή οκτάεδρο) .

Ο αήρ (οκτάεδρο) γίνεται πύρ ή ύδωρ (τετράεδρο ή εικοσάεδρο) .

Το πύρ (τετράεδρο) γίνεται αήρ (οκτάεδρο) και ύδωρ (εικοσάεδρο) .

Aυτά συμβαίνουν διότι τα πρωταρχικά τρίγωνα του Πλάτωνος των τριών στερεών : εικοσάεδρο , οκτάεδρο και τετράεδρο είναι ορθογώνια σκαληνά που η μικρότερη κάθετος πλευρά τους , όπως προαναφέραμε , ισούται με το μισό της υποτείνουσας .

Τα τρία αυτά πολύεδρα έχουν έδρες ισόπλευρα τρίγωνα .

Η κάθε έδρα των προαναφερθέντων τριών πολυέδρων , που είναι όπως είπαμε ισόπλευρο τρίγωνο , χωρίζεται σε 6 πρωταρχικά Πλατωνικά τρίγωνα (ορθογώνια σκαληνά με την μικρή κάθετο πλευρά να ίσουται προς το της υποτεινούσης) , όταν φέρομε τα 3 ύψη του ισοπλεύρου αυτού τριγώνου (μάλιστα τα 3 αυτά ύψη είναι συγχρόνως : διάμεσοι , διχοτόμοι των γωνιών του και το σημείο τομής τους , κέντρο του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου) . άρα έχομε :

1)Για το τετράεδρο , που έχει 4 έδρες : 4 x 6 = 24 πρωταρχικά σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα ,

2)Για το οκτάεδρο , που έχει 8 έδρες : 8 x 6 = 48 πρωταρχικά σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα και

3)Για το εικοσάεδρο , που έχει 20 έδρες : 20 x 6 = 120 πρωταρχικά σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα .

Απ’ότι βλέπομε τα τρία αυτά πολύεδρα αποτελούνται το καθένα από πρωταρχικά σκαληνά ίσα ορθογώνια τρίγωνα πολλαπλάσια του 24 :

1)Το τετράεδρο (πύρ) από 24 πρωταρχικά τρίγωνα .

2)Το οκτάεδρο (αήρ) από 24 x 2 = 48 .

3)To εικοσάεδρο (ύδωρ) από 24 x 5 = 120 .
Γι’αυτό το λόγο ομιλεί ο Πλάτων για μετατρεψιμότητα του ενός στοιχείου στα άλλα δύο .

Η ανάμειξη των 4 στοιχείων : γής (κύβου) , πυρός (τετραέδρου) , αέρος (οκταέδρου) και ύδατος (εικοσαέδρου) , δημιουργεί τα απειράριθμα σώματα (Τίμαιος 53C – 57D , κεφ. 20 – 22) .

Η κίνηση των στοιχείων είναι αποτέλεσμα της ανομοιομορφίας τους , η οποία προέρχεται από την ανισότητα , Η κίνηση είναι αιωνία (Τίμαιος 57C – 58C , κεφ. 23) .

Τα είδη του πυρός είναι τρία , του αέρος δύο κύρια και μερικά δευτερεύοντα και του ύδατος δύο με πολλές υποδιαιρέσεις . Της γής τα είδη εξαρτώνται από τις περιεχόμενες στην μάζα της ποσότητες ύδατος ή πυρός (Τίμαιος 58C – 61B , κεφ. 24 – 25) .

Φιλικά

Κηφεύς

Συνοψίζοντας τα προαναφερθέντα χαρακτηριστικά των 5 Πλατωνικών πολυέδρων, δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα:

Φιλικά

Κηφεύς

Παραθέτω ακόμα μία φορά τα 5 Πλατωνικά πολύεδρα για να αιτιολογήσω την σειρά διαδοχής τους που έχω απεικονίσει:

Φιλικά

Βέβαια οφείλω να ομολογήσω ότι ο συγγραφέας έχει μια κάπως αρνητική προδιάθεση για τον Πλάτωνα...

Αυτό που αναφέρει λοιπόν ως αντίλογο στα πλατωνικά πολύεδρα είναι ότι ενώ τα πολύεδρα που αντιπροσωπεύουν τα 4 στοιχεία (τετράεδρο - πυρ, οκτάεδρο - αέρας, εικοσάεδρο - νερό και κύβος - γη) προκύπτουν από τους συνδυασμούς του ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου και του σκαληνού τριγώνου του οποίου η μικρότερη κάθετη πλευρά είναι το μισό της υποτείνουσας, στο δωδεκάεδρο - αιθέρα δεν συμβαίνει το ίδιο.

Οπότε καταλήγει ότι θα πρέπει να υπάρχει και κάποιο άλλο βασικό γεωμετρικό σχήμα πέραν των δύο προαναφερθέντων.

Εν πάσει περιπτώσει, προσωπικά γοητεύομαι από τα πλατωνικά πολύεδρα και την γεωμετρική τους διάσταση...

In anticipation of my resurrection...

quote:

---

Οπότε καταλήγει ότι θα πρέπει να υπάρχει και κάποιο άλλο βασικό γεωμετρικό σχήμα πέραν των δύο προαναφερθέντων.

---

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

Σήμερα, θα αναφερθώ στην αιτιολόγηση του Πλάτωνα, της αντιστοίχησης του δωδεκαέδρου με την Ψυχή.

ΥΓ.: Θα ακολουθήσει μήνυμα με την πενταγωνική έδρα και τις διαγωνίους (του πενταγώνου) που τέμνονται κατά χρυσή τομή.

Φιλικά

Κηφεύς