- Ο Ναος- Η οικοδομη- Η φιλοσοφια - Απόψεις, Προτάσεις κ.ά.
Συνεχίζουμε την περιγραφή της προσπάθειας τετραγωνισμού του κύκλου από τον Ιπποκράτη τον Χίο:
Από το Πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι τα εμβαδά σχημάτων οιασδήποτε μορφής , τα οποία κατασκευάζονται επί των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου , έχουν άθροισμα ίσο με το εμβαδόν του σχήματος το οποίο κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα , άρα τα εμβαδά των ημικυκλίων :
(ΒΔΑΒ) + (ΑΕΓΑ) = (ΒΖΑΗΓΒ) . (1)
Αλλά το (ΒΔΑΒ) = (ΒΔΑΖΒ) + (ΒΖΑΒ) (2)
(ΑΕΓΑ) = (ΑΕΓΗΑ) + (ΑΗΓΑ) (3)
Από τις παραπάνω εξισώσεις 1 , 2 , 3 προκύπτει :
(ΒΔΑΖΒ) + (ΒΖΑΒ) +( ΑΕΓΗΑ) + (ΑΗΓΑ) = (ΒΖΑΗΓΒ) (4)
Αλλά (ΒΖΑΗΓΒ) = (ΒΖΑΒ) + (ΒΑΓ) + (ΑΗΓΑ) (5)
Από τις 4 , 5 έχομε :
(ΒΔΑΖΒ) + (ΑΕΓΗΑ) = (ΒΑΓ) (6)
Η εξίσωση (6) μας λέει ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο μηνίσκων (ΒΔΑΖΒ) και (ΑΕΓΗΑ) .
Φιλικά
Κηφεύς
Όπως είδαμε από την προηγούμενη κατασκευή , βρέθηκε ότι υπάρχει τρίγωνο (ισοσκελές ορθογώνιο) , του οποίου το εμβαδόν ισούται με το εμβαδόν δύο μηνίσκων .
Ας δούμε το παρακάτω σχήμα που αφορά την ίδια κατασκευή :
Επειδή (ΒΑ) = (ΓΑ) , θα έχομε κατά το πυθαγόρειο θεώρημα :(ΒΓ).(ΒΓ)=2.(ΒΑ) (ΒΑ)
Οι κύκλοι όμως με διαμέτρους (ΒΓ) και (ΒΑ) έχουν μεταξύ τους τον ίδιο λόγο τον οποίο έχουν και τα τετράγωνα των διαμέτρων τους , θα έχομε ότι :
το ημικύκλιο (ΒΑΓ) = 2 . ημικύκλιο (ΒΕΑ)
Άρα το ημικύκλιο (ΒΕΑ) = το ημικύκλιο (ΒΑΓ) : 2
Αλλά :o κυκλικός τομέας (ΒΖΑΔ) = το ημικύκλιο (ΒΑΓ) : 2
Άρα ημικύκλιο (ΒΕΑ) = κυκλικός τομέας (ΒΖΑΔ) .
Αφαιρουμένου του κοινού μέρους (ΒΖΑΒ) έχομε ότι :
Άρα βρέθηκε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο το οποίο έχει το ίδιο εμβαδόν με τον μηνίσκο (βλ. παραπάνω σχήμα) .
Κατ’αυτόν τον τρόπο το εμβαδόν του μηνίσκου (ΒΖΑΒ) συνδέθηκε με το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου το ¼ (ένα τέταρτο) είναι το εμβαδόν του τριγώνου (ΒΔΑ) , και γι’αυτό ο Ιπποκράτης μπόρεσε να ισχυρισθεί ότι τετραγώνισε τον μηνίσκο .
Είναι προφανές ότι για να φθάσει στα συμπεράσματά του αυτά ο Ιπποκράτης χρησιμοποιεί το θεώρημα το οποίο λέγει ότι τα ημικύκλια έχουν μεταξύ τους τον ίδιο λόγο τον οποίο έχουν μεταξύ τους τα τετράγωνα των διαμέτρων τους .
Φιλικά
Κηφεύς
Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.
Πρόσφατα πληροφορήθηκα πώς επιτυγχάνεται ο τετραγωνισμός του κύκλου!
Ο τρόπος είναι απλός και εμπνευσμένος απ'το αέτωμα του Παρθενώνα!
Είναι ο εξής: Απ'το κέντρο του κύκλου σχηματίζουμε μια γωνία 144 μοιρών (τόσες είναι και οι μοίρες της γωνίας του αετώματος του Παρθενώνα...).
Οι πλευρές της γωνίας αυτής, τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία.
Αν λοιπόν ενώσουμε τα δύο αυτά σημεία σχηματίζεται η πλευρά ενός τετραγώνου το οποίο έχει το ίδιο εμβαδό με τον κύκλο!
Πώς σου φαίνεται?
quote:
Πρόσφατα πληροφορήθηκα πώς επιτυγχάνεται ο τετραγωνισμός του κύκλου!Ο τρόπος είναι απλός και εμπνευσμένος απ'το αέτωμα του Παρθενώνα!
Είναι ο εξής: Απ'το κέντρο του κύκλου σχηματίζουμε μια γωνία 144 μοιρών (τόσες είναι και οι μοίρες της γωνίας του αετώματος του Παρθενώνα...).
Οι πλευρές της γωνίας αυτής, τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία.
Αν λοιπόν ενώσουμε τα δύο αυτά σημεία σχηματίζεται η πλευρά ενός τετραγώνου το οποίο έχει το ίδιο εμβαδό με τον κύκλο!
Αγαπητέ helios2012
Άλυτο πρόβλημα είναι ο τετραγωνισμός του κύκλου με γεωμετρική κατασκευή (με Ευκλείδια γεωμετρία, δηλαδή με τη χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη). Διότι χρησιμοποιώντας Άλγεβρα είναι πολύ εύκολος. Βρίσκεις το εμβαδόν του κύκλου που θέλεις να τετραγωνίσεις, στη συνέχεια υπολογίζεις την τετραγωνική του ρίζα και το αποτέλεσμα είναι η πλεύρά του ζητούμενου τετραγώνου .
Μου κίνησε όμως το ενδιαφέρον αυτό που έγραψες ότι συμπεριέλαβαν στις διαστάσεις του Πραθενώνα τον τετραγωνισμό του κύκλου, όχι σαν λύση, βέβαια, του προβλήματος αλλά σαν διαστάσεις που αν σχεδιάσεις με τον τρόπο που υποδεικνύεις.
Το ότι δεν είναι γεωμετρική λύση, είναι φανερό αφού δεν μπορεί να κατασκευαστεί γεωμετρικά γωνία 144 μοιρών.
Παρ'όλα αυτά αντέστρεψα το πρόβλημα σχεδιάζοντας (με σκαρίφημα) το σχέδιο με τον τρόπο που περιγράφεις και υπελόγισα τργωνομετρικά την γωνία που θα έπρεπε να έχει το αέτωμα για να δω αν συμπίπτει με τις 144 μοίρες.
Τον υπολογισμό τον έκανα και "βγαίνει" ότι η γωνία για να συμβαίνει αυτό σύμφωνα με το σχέδιο που αναφέρεις η γωνία πρέπει να είναι 124,75 μοίρες.
Επειδή τώρα δεν προλαβαίνω να σου στείλλω τους υπολογισμούς μου αυτούς γιατί έχω κάποια δουλειά, αφού τους ελέγξω ακόμη μια φορά (μήπως κάνω κανένα λάθος) θα στους στείλλω αύριο.
Φιλικά
Κηφεύς
Με κανόνα και διαβήτη φυσικά και μέχρι τώρα δεν έχει βρεθεί ο τρόπος και το πρόβλημα παραμένει άλυτο...
Γενικότερα τετραγωνίζεται ο κύκλος με πολλούς τρόπους...
Τί περίεργο όμως...Μέτρησα από φωτογραφίες το αέτωμα του Παρθενώνα και η γωνία ποικίλλει από 120-160 μοίρες...!
Άσε που οι περισσότερες φωτογραφίες είναι βγαλμένες κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μην μπορεί πρακτικά να μετρηθεί η γωνία...
Παρατήρησέ το!
Τυχαίον???
Ας αντιστρέψουμε το σκεπτικό και ας υπολογίσουμε (αλγεβρικά και τργωνομετρικά) την γωνία του αετώματος σύμφωνα με το σχέδιο που προτείνεις και το οποίο φαίνεται παρακάτω
Αυτό που ζητάμε να βρούμε είναι πόση πρέπει να είναι η γωνία ΑΚΒ ούτως ώστε το τετράγωνο με πλευρά την (ΑΒ) να έχει το ίδιο εμβαδόν με τον κύκλο Κ .
Φέρομε την κάθετο ΚΓ από το κέντρο του κύκλου Κ στην ΑΒ .
Από το τρίγωνο (ΚΓΑ) έχομε :
ημ. (ΓΚΑ) = (ΑΓ) : (ΚΑ)
από την οποία (ΑΓ) = (ΚΑ) . ημ (ΓΚΑ)
Αλλά (ΑΓ) = (ΑΒ) : 2
Από την οποία συνάγομε ότι :
(ΑΒ) = 2 . (ΑΓ) = 2 . (ΚΑ) . ημ (ΓΚΑ)
Και τόξ ημ (ΓΚΑ) = 62,375 μοίρες
Δηλαδή γωνία (ΑΚΒ) = 2 x 62,375 = 124,75 μοίρες .
Τι μας λέει αυτό;
Μας λέει ότι αν οι αρχαίοι μας πρόγονοι δεν ήξεραν άλγεβρα και τριγωνομετρία (όπως έτσι πιστεύουμε μέχρι σήμερα), πειραματίστηκαν ψάχνοντας και τελικά βρίσκοντας την γωνία των 124,75 μοιρών που με το σχέδιό σου βρίσκεται η πλευρά του τετραγώνου που το εμβαδόν του ισούται με το εμβαδόν του κύκλου και αποτύπωσαν αυτή τη γωνία στο αέτωμα του Παρθενώνα.
Φιλικά
Κηφεύς
Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.
Μού άρεσε πολύ η μέθοδος που χρησιμοποιήσες και τα συμπεράσματα που έβγαλες...
Μένει μόνο να επαληθεύσουμε τη γωνία του αετώματος (ότι είναι δηλαδή 124 μοίρες) ώστε ν'αποδείξουμε, για μια ακόμη φορά, πως οι αρχαίοι ημών πρόγονοι ήξεραν πολύ καλά τι κάνανε και γιατί το κάνανε...
Υ.Γ. ''σ'έχασα'' λίγο στο σημείο που εξισώνεις τα δύο εμβαδά με μια άλλη εξίσωση(στο λευκό κομμάτι που παραθέτεις)...Το αποδέχομαι ως σωστό και διαπιστώνω πως πρέπει να φρεσκάρω τις μαθηματικές μου γνώσεις...
Και σ'ευχαριστώ για το άμεσο και εποικοδομητικό ενδιαφέρον!
Ο Ιπποκράτης ο Χίος δεν περιορίστηκε στον τετραγωνισμό μόνο του μηνίσκου του είδους που προανέφερα , αλλά τετραγώνισε κατά την παράδοση έξι είδη μηνίσκων .
Έτσι π.χ. βρήκε ότι οι τρείς μηνίσκοι που κατασκευάζονται επί των τριών πλευρών του εγγεγραμμένου σε κύκλο κανονικού εξαγώνου ισούνται με το άθροισμα του τραπεζίου που κατασκευάζομε από τη διάμετρο του ημικυκλίου και των τριών πλευρών του εξαγώνου και ενός ημικυκλίου το οποίο έχει ως διάμετρο μία από τις πλευρές του εξαγώνου .
Δηλαδή το εγγεγραμμένο στο ημικύκλιο Λ τραπέζιο (ΑΒΓΔ) ισούται με τους τρείς μηνίσκους συν το ημικύκλιο το οποίο σχηματίζεται με διάμετρο την πλευρά του εξαγώνου , την οποία παριστάνω με το Θ :
Μην. Ε + μην. Ζ + μην. Η + ημικύκλ. Θ = Τραπέζιο (ΑΒΓΔ) .
Ο θεμελιωτής της άλγεβρας Γάλλος Μαθηματικός Βιέτα σε έργο του που γράφτηκε το 1593 αποδεικνύει την στενή συνάφεια που έχει ο τετραγωνισμός των μηνίσκων , από τον Ιπποκράτη , με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου .
Για να προχωρήσει στην εξέταση των ζητημάτων αυτών ο Ιπποκράτης ξεκινούσε από αποδεδειγμένες θεωρητικές προτάσεις .
Προσπάθησε να τετραγωνίσει όχι μόνο τους μηνίσκους τους σχηματιζόμενους εκτός της ημιπεριφερείας , αλλά και εντός αυτής , και ακόμη εντός τόξου το οποίο είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο της ημιπεριφερείας .
Σκέφθηκε ότι αν κατόρθωνε να τετραγωνίσει όλα τα είδη των μηνίσκων θα έφθανε στον τετραγωνισμό του κύκλου , διότι νόμιζε ότι ο κύκλος μπορεί να αναλυθεί σε μηνίσκους χωρίς να μείνει υπόλοιπο .
Επειδή όμως μια τέτοια ανάλυση είναι ακατόρθωτη , κάθε δε ανάλυση του κύκλου σε μηνίσκους αφήνει υπόλοιπο . η απόπειρα του Ιπποκράτη απέτυχε .
Ο Αριστοτέλης κάνει λόγο για την απόπειρα αυτή του Ιπποκράτη του Χίου , κατατάσσοντας αυτήν στα ψευδογραφήματα , δηλαδή στις εσφαλμένες επί τη βάσει γεωμετρικών σχημάτων (και όχι αριθμητικών υπολογισμών) αποδείξεις .
Αλλά η αξία των προσπαθειών του Ιπποκράτη , δεν μειώνεται καθόλου από το γεγονός ότι δεν έφθασε στο επιθυμητό αποτέλεσμα .
Έθεσε ένα πρόβλημα το οποιο υπήρξε καρποφόρο για τις γεωμετρικές σπουδές όχι μόνο κατά την αρχαιότητα αλλά και στα νεώτερα χρόνια .
Όπως προαναφέρθηκε παραπάνω ο Βιέτα ασχολήθηκε πάλι με αυτό , εκτός δε απ’αυτόν και ο Μπερνουΐγι .
Έτσι δικαίως μπορεί να καταταχθεί ο Ιπποκράτης μεταξύ των μεγαλοφυεστέρων μαθηματικών του κόσμου .
Φιλικά
Κηφεύς
Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.
ΒΛΕΠΩ ΟΤΙ ΤΟ ΘΕΜΑ ΠΡΟΧΩΡΗΣΕ ΑΡΚΕΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΦΟΡΑ , ΟΠΩΣ ΑΛΛΩΣΤΕ ΚΑΙ ΟΛΟ ΤΟ ΦΟΡΟΥΜ !
ΝΑ ΑΦΗΣΩ ΛΟΙΠΟΝ ΚΑΙ ΕΓΩ ΔΥΟ "ΓΝΩΣΕΙΣ" ΠΟΥ ΜΟΥ ΕΚΑΝΑΝ ΜΕΓΑΛΗ ΕΝΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΜΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΑΝ ΟΤΑΝ ΑΠΟ ΣΠΟΝΤΑ ΤΙΣ ΑΚΟΥΣΑΜΕ ΑΠΟ ΕΝΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΗ :
1ΟΝ: ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟ "ΑΞΙΩΜΑ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ" ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΛΕΕΙ ΟΤΙ , ΑΠΟ ΑΠΕΙΡΟ ΠΛΗΘΟΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΠΑΝΤΑ ΜΠΟΡΩ ΝΑ ΕΠΙΛΕΞΩ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΑΠΟ ΚΑΘΕ ΣΥΝΟΛΟ . ΑΥΤΟ ΦΥΣΙΚΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΙ ΑΥΤΑΠΟΔΕΙΚΤΟ ΚΑΙ ΟΥΤΕ ΘΥΜΙΖΕΙ ΠΟΛΥ ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΠΟΥ ΞΕΡΟΥΜΕ ΑΠΟ ΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΧ. ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΝΑΙ ΟΛΑ ΘΑ ΛΕΓΑΜΕ ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ, ΟΜΩΣ ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΑΞΙΩΜΑ , ΠΟΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ Ή ΠΙΑ ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ ΜΟΥ ΛΕΕΙ ΟΤΙ ΜΠΟΡΩ ΝΑ ΕΠΙΛΕΓΩ ΠΑΝΤΑ ΑΠΟ ΚΑΘΕ ΣΥΝΟΛΟ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ , ΕΣΤΩ Κ ΑΝ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΣ? 
2ΟΝ:ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ , ΚΑΙ ΟΛΑ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΤΟΙΟΥΤΟΤΡΟΠΩΣ . ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΟΤΑΝ ΛΕΜΕ ΑΡΙΘΜΟΣ , ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΔΩΣΟΥΜΕ ΚΑΠΟΙΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΓΙΑ ΤΟ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΗ Η ΟΝΤΟΤΗΤΑ ΠΟΥ ΕΜΕΙΣ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΕΤΣΙ . ΟΜΩΣ ΟΡΙΖΟΥΜΕ ΤΑ ΣΥΝΟΛΑ ΠΧ ΦΥΣΙΚΟΥΣ ΚΤΛ , ΚΑΙ ΞΕΡΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΜΟΥΣ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ !
ΔΗΛΑΔΗ : ΔΕΝ ΜΑΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΕΙ ΝΑ ΞΕΡΟΥΜΕ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ , ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΞΕΡΟΥΜΕ ΠΩΣ ΑΥΤΟΙ ΣΥΣΧΕΤΙΖΟΝΤΑΙ .
ΤΡΟΜΕΡΗ ΛΕΠΤΟΜΕΡΙΑ ΠΟΥ ΠΟΤΕ ΔΕΝ ΕΙΧΑ ΠΡΟΣΕΞΕΙ .
ΚΑΙ ΕΝΑ ΣΧΟΛΙΑΚΙ ΕΤΣΙ ΓΙΑ ΓΙΑ ΚΟΥΤΣΟΜΠΟΛΙΟ , ΠΟΥ ΑΛΛΟΥ ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΑΙ Η ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ? (ΠΟΥ ΠΑΡΕΠΙΠΤΟΝΤΩΣ ΕΙΧΕ ΞΕΚΙΝΗΣΕΙ ΠΟΛΥ ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΓΕΝΝΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΙΣΤΟΥ) - ΜΑ ΦΥΣΙΚΑ ΣΤΗΝ ΘΡΗΣΚΕΙΑ ! ΑΡΧΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΕΝΤΟΛΕΣ , ΚΑΙ ΕΝΑ ΣΥΝΟΛΟ "ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ" Η ΒΙΒΛΟΣ . ΣΑΦΩΣ ΟΧΙ ΜΕ ΤΗΝ ΑΥΣΤΗΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΝΝΟΙΑ ΟΛΑ ΑΥΤΑ 
"the world is full of kings and queens,who blind your eyes and steal your dreams"
quote:
ΚΑΙ ΕΝΑ ΣΧΟΛΙΑΚΙ ΕΤΣΙ ΓΙΑ ΓΙΑ ΚΟΥΤΣΟΜΠΟΛΙΟ , ΠΟΥ ΑΛΛΟΥ ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΑΙ Η ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ? (ΠΟΥ ΠΑΡΕΠΙΠΤΟΝΤΩΣ ΕΙΧΕ ΞΕΚΙΝΗΣΕΙ ΠΟΛΥ ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΓΕΝΝΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΙΣΤΟΥ) - ΜΑ ΦΥΣΙΚΑ ΣΤΗΝ ΘΡΗΣΚΕΙΑ ! ΑΡΧΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΕΝΤΟΛΕΣ , ΚΑΙ ΕΝΑ ΣΥΝΟΛΟ "ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ" Η ΒΙΒΛΟΣ . ΣΑΦΩΣ ΟΧΙ ΜΕ ΤΗΝ ΑΥΣΤΗΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΝΝΟΙΑ ΟΛΑ ΑΥΤΑ
Αγαπητέ matthias16
Αφού αρχίσω σήμερα από το … σχολιάκι σου , όπως το χαρακτηρίζεις , που για μένα είναι ένα θέμα με μεγάλο ενδιαφέρον , στη συνέχεια (εν ευθέτω χρόνω) θα ασχοληθώ σε επόμενα μηνύματα με τις δυο παρατηρήσεις που παρέθεσες παραπάνω .
Ας ξεκινήσουμε από την έννοια του αξιώματος : Είναι πρόταση που δεν χρήζει απόδειξης . Είναι δηλαδή πρόταση αναπόδεικτη που πρέπει να την αποδεχόμαστε ως έχει .
Ένα σύστημα όμως αξιωμάτων έχει ορισμένες απαιτήσεις : Πρέπει να είναι τουλάχιστον ελεύθερο αντιφάσεων . Εκτός αυτού απαιτείται πολλές φορές να είναι πλήρες , ανεξάρτητο και κατηγορηματικό .
Τι θα πει μη αντιφατικό ; Αυτό σημαίνει ότι δεν πρέπει να είναι δυνατή η παραγωγή με λογικούς – επαγωγικούς συλλογισμούς από τα δεδομένα αξιώματα , είτε του αντίστροφου (της άρνησης) ενός από αυτά , είτε ενός θεωρήματος και της άρνησής του . Παράβαση αυτής της απαίτησης κάνει ένα δεδομένο σύστημα άχρηστο .
Τι είναι πλήρες ; Ένα σύστημα αξιωμάτων είναι πλήρες , εάν προκύπτουν από αυτό όλα τα θεωρήματά του .
Τι είναι ανεξάρτητο ; Ένα ανεξάρτητο σύστημα δεν περιλαμβάνει σαν αξιώματα προτάσεις οι οποίες μπορούν να παραχθούν από τα υπόλοιπα .
Τι είναι κατηγορηματικό ; Ένα σύστημα αξιωμάτων λέγεται κατηγορηματικό , εάν κατ’ουσίαν υπάρχει ένα μοναδικό πρότυπο για το σύστημα . Αυτό για να γίνει κατανοητό ας πάρουμε για παράδειγμα την ευκλείδεια γεωμετρία :
Εάν θεωρηθεί μια ευκλείδια γεωμετρία με κόκκινα σημεία , επίπεδα και ευθείες και άλλη ευκλείδια γεωμετρία με πράσινα σημεία , επίπεδα και ευθείες , αυτές δεν είναι ουσιωδώς διαφορετικές , διότι κάθε πρόταση της πράσινης γεωμετρίας προκύπτει από την αντίστοιχη πρόταση της κόκκινης γεωμετρίας με απλή αντικατάσταση των κόκκινων στοιχείων με πράσινα . Προφανώς , οι συνθήκες δεν είναι συνήθως τόσο απλές . Πάντως δύο πρότυπα ενός κατηγορηματικού συστήματος αξιωμάτων πρέπει να απεικονίζουν αμφιμονοσήμαντα το ένα στο άλλο έτσι , ώστε οι σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του ενός προτύπου να μεταφέρονται επί των αντίστοιχων σχέσεων μεταξύ στοιχείων του άλλου προτύπου .
Πρέπει να διακόψω το μήνυμά μου εδώ , ελλείψει χρόνου , και θα επανέλθω αργότερα , αναφερόμενος στο θέμα της θρησκείας .
Φιλικά
Κηφεύς
Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά .
Κατά τη γνώμη μου είναι ένα ιδιόρρυθμο αξιωματικό σύστημα.
Δεν έχει ανάγκη από θεωρήματα , αλλά όπου αυτό απαιτείται , προσθέτει ακόμα ένα αξίωμα και ξεμπερδεύει .
Ένα παράδειγμα : Πρέπει , λέει η εκκλησία , να πιστεύομε και στον τιμωρό και σκληρό Θεό της Παλαιάς διαθήκης , αλλά συγχρόνως και στον καλοκάγαθο και ελεήμονα Θεό της Καινής διαθήκης .
Ρωτάει ο απλός άνθρωπος : Πώς μπορεί να πιστεύω συγχρόνως σε δυο τόσο αντιφατικά πράγματα ;
Το θέτω αξιωματικά , απαντά η εκκλησία , πρέπει να πιστεύεις και στα δυο .
Μα απ’ότι είπα μόλις παραπάνω σύμφωνα με την τέταρτη απαίτηση του αξιώματος , για να είναι αυτή η εντολή αξιωματική θα πρέπει να είναι κατηγορηματική : Δηλαδή πρέπει να υπάρχει ένα μοναδικό πρότυπο .
Μα εδώ έχομε δυο τελείως διαφορετικά πρότυπα: Τον σκληρό Θεό της Παλαιάς Διαθήκης και τον Πανάγαθο Θεό της Καινής Διαθήκης .
Δηλαδή για το συγκεκριμένο θέμα η εκκλησία καταργεί αξιωματικά την έννοια του αξιώματος , ενώ σου λέει πάλι αξιωματικά ότι πρέπει αυτά τα πράγματα να τα πιστεύεις γιατί λέγονται σε «υπερβατική γλώσσα» που εσύ (ο «πιστός») δεν την γνωρίζεις !!!
Μα αν δεν την γνωρίζω αυτήν την «υπερβατική γλώσσα» τότε τι μου μιλάς σ’αυτήν . Κι’από πάνω μου λες «Μελετάτε τας Γραφάς» . Τι να μελετήσω αφού δεν καταλαβαίνω τι γράφουν οι Γραφές .
Να φέρω ένα άλλο παράδειγμα :
Ορίζει η εκκλησία αξιωματικά τον Θεό σαν Δημιουργό του Σύμπαντος . Σαν αξίωμα , λοιπόν , πρέπει να υπακούει στην πρώτη απαίτησή του που όπως προανέφερα στο προηγούμενό μου μήνυμα είναι : Να μην είναι αντιφατικό : Δηλαδή (όπως προανέφερα) σημαίνει ότι δεν πρέπει να είναι δυνατή η παραγωγή με λογικούς – επαγωγικούς συλλογισμούς από το δεδομένο αξίωμα , του αντίστροφου (της άρνησης) του . Παράβαση αυτής της απαίτησης κάνει το δεδομένο σύστημα άχρηστο .
Τότε τι προσπαθεί με «συλλογισμούς» και «επιχειρήματα» δικά της η εκκλησία να με πείσει περί της ύπαρξης του Θεού – Δημιουργού των πάντων , όταν την ίδια στιγμή μου απαγορεύει την παραγωγή με λογικούς – επαγωγικούς συλλογισμούς από το δεδομένο αξίωμα , το αντίστροφό και την άρνησή του ;
Εάν πάλι ισχυρίζεται (η εκκλησία) ότι δεν είναι αξίωμα το ότι «Ο Θεός είναι δημιουργός του Σύμπαντος» αλλά πραγματικότητα που μεταφέρεται η πληροφορία αυτή στον άνθρωπο σε «υπερβατική γλώσσα» που δεν την καταλαβαίνει τότε μεταπίπτουμε πάλι στην προηγούμενη περίπτωση (δηλ. σ’αυτό που προανέφερα - ..τότε τι μου μιλάς σε υπερβατική γλώσσα … κτλ. κτλ.) .
Φιλικά
Κηφεύς
Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.
quote:
2ΟΝ:ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ , ΚΑΙ ΟΛΑ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΤΟΙΟΥΤΟΤΡΟΠΩΣ . ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΟΤΑΝ ΛΕΜΕ ΑΡΙΘΜΟΣ , ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΔΩΣΟΥΜΕ ΚΑΠΟΙΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΓΙΑ ΤΟ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΗ Η ΟΝΤΟΤΗΤΑ ΠΟΥ ΕΜΕΙΣ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΕΤΣΙ . ΟΜΩΣ ΟΡΙΖΟΥΜΕ ΤΑ ΣΥΝΟΛΑ ΠΧ ΦΥΣΙΚΟΥΣ ΚΤΛ , ΚΑΙ ΞΕΡΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΜΟΥΣ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ !
ΔΗΛΑΔΗ : ΔΕΝ ΜΑΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΕΙ ΝΑ ΞΕΡΟΥΜΕ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ , ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΞΕΡΟΥΜΕ ΠΩΣ ΑΥΤΟΙ ΣΥΣΧΕΤΙΖΟΝΤΑΙ .
ΤΡΟΜΕΡΗ ΛΕΠΤΟΜΕΡΙΑ ΠΟΥ ΠΟΤΕ ΔΕΝ ΕΙΧΑ ΠΡΟΣΕΞΕΙ .
Οι «αριθμοί» αποτελούν μία «ανθρώπινη κατασκευή» .
Βασικές ανάγκες της ζωής οδήγησαν τους μακρινούς προγόνους μας στον δρόμο για τη δημιουργία των «αντικειμένων» , τα οποία σήμερα ονομάζουμε αριθμούς .
Ακριβέστερα : οι ανάγκες αυτές οδήγησαν στην δημιουργία των εννοιών του απόλυτου αριθμού (πληθάριθμος) και του τακτικού αριθμού .
Οι πληθάριθμοι εκφράζουν πλήθη : 1 2 3 …
Οι τακτικοί αριθμοί είναι αριθμοί θέσης : 1ος , 2ος , 3ος , …
Με την παραπάνω κατασκευή ο άνθρωπος διαθέτει ένα λεπτό όργανο με το οποίο εξυπηρετεί πολυάριθμες ανάγκες του και με το οποίο συλλαμβάνει ποσοτικά και ποιοτικά τον κόσμο.
Για νάμαι ειλικρινής δεν είμαι και τόσο΄σίγουρος αν τα παραπάνω αποτελούν έναν ορισμό του "αριθμού" .
Φιλικά
Κηφεύς
Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.
"Οι αριθμοί είναι αντικείμενα που κατασκευάστηκαν από τον άνθρωπο, με τα οποία (αντικείμενα αυτά) συλλαμβάνει ποσοτικά και ποιοτικά τον κόσμο."
Φιλικά
Κηφεύς
Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.
ΓΙ ΑΥΤΟ ΚΑΙ ΑΡΚΟΥΜΑΣΤΕ ΣΤΟ ΝΑ "ΠΑΙΖΟΥΜΕ" ΜΕ ΤΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ .
ΕΠΙΣΗΣ , ΨΑΞΕ ΑΝ ΘΕΛΕΙΣ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ " ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ " ΤΟΥ Ν.ΑΡΤΕΜΙΑΔΗ , ΤΗΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΑΘΗΝΩΝ , ΔΕΝ ΠΕΡΙΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΥΣΤΗΡΑ ΣΕ ΙΣΤΟΡΙΑ , ΛΕΕΙ ΑΠΙΣΤΕΥΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΜΕΣΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΠΛΑΤΩΝΙΣΜΟΥΣ - ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑ ΑΛΛΑ.
ΤΕΛΟΣ , ΣΕ ΑΥΤΑ ΠΟΥ ΑΝΑΦΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΘΡΗΣΚΕΙΑ ΔΕΝ ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑ ΝΑ ΣΥΜΦΩΝΩ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟ !
"the world is full of kings and queens,who blind your eyes and steal your dreams"
quote:
ΦΙΛΕ ΚΗΦΕΑ,Ο ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΣΤΕΥΩ ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ , ΟΠΩΣ "ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ" ! ΕΚΕΙ ΕΙΝΑΙ Η ΟΛΗ ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ , ΑΥΤΟ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ , ΝΑΙ ΦΥΣΙΚΑ ΕΜΕΙΣ ΤΟ ΟΡΙΣΑΜΕ , ΑΛΛΑ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΕΠΑΚΡΙΒΩΣ ΙΔΕΑ ΔΕΝ ΕΧΟΥΜΕ
ΓΙ ΑΥΤΟ ΚΑΙ ΑΡΚΟΥΜΑΣΤΕ ΣΤΟ ΝΑ "ΠΑΙΖΟΥΜΕ" ΜΕ ΤΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ .
Έχεις δίκιο, φίλε matthias16, αυτός ήταν και ο κύριος λόγος που είχα γράψει στο πρότελευταίο μου μήνυμα:
quote:
Για νάμαι ειλικρινής δεν είμαι και τόσο΄σίγουρος αν τα παραπάνω αποτελούν έναν ορισμό του "αριθμού" .
Παρ'όλ'αυτά το ψάχνω το θέμα και αν βρω ή σκεφθώ κάτι καλυτερο που αφορά στον ορισμό του "αριθμού" θα επανέλθω.
Φιλικά
Κηφεύς
Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.
quote:
matthias16: 1ΟΝ: ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟ "ΑΞΙΩΜΑ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ" ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΛΕΕΙ ΟΤΙ , ΑΠΟ ΑΠΕΙΡΟ ΠΛΗΘΟΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΠΑΝΤΑ ΜΠΟΡΩ ΝΑ ΕΠΙΛΕΞΩ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΑΠΟ ΚΑΘΕ ΣΥΝΟΛΟ . ΑΥΤΟ ΦΥΣΙΚΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΙ ΑΥΤΑΠΟΔΕΙΚΤΟ ΚΑΙ ΟΥΤΕ ΘΥΜΙΖΕΙ ΠΟΛΥ ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΠΟΥ ΞΕΡΟΥΜΕ ΑΠΟ ΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΧ. ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΝΑΙ ΟΛΑ ΘΑ ΛΕΓΑΜΕ ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ, ΟΜΩΣ ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΑΞΙΩΜΑ , ΠΟΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ Ή ΠΙΑ ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ ΜΟΥ ΛΕΕΙ ΟΤΙ ΜΠΟΡΩ ΝΑ ΕΠΙΛΕΓΩ ΠΑΝΤΑ ΑΠΟ ΚΑΘΕ ΣΥΝΟΛΟ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ , ΕΣΤΩ Κ ΑΝ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΣ?
Δεν ξέχασα την πρώτη σου παρατήρηση. Απλώς με προβλημάτισε πολύ, αν έπρεπε να ανοίξω ένα τέτοιο θέμα όπως αυτό του "Αξιώματος της Επιλογής".
Η σύνδεση του αξιώματος αυτού με το "θεώρημα της πληρότητας" (ή όπως μ'αρέσει να το λέω: "θεώρημα της μη πληρότητας της λογικής") του Kurt Gödel (στο οποίο έχω αναφερθεί παλαιότερα εκτενώς σε παλαιότερα μηνύματά μου σε άλλα topics), συν την εγγενή δυσκολία του στην σωστή απόδοση της ερμηνείας του η οποία σε οδηγεί αναπόφευκτα στη χρήση Ανώτερων Μαθηματικών τέτοιας τάξης που το καθιστούν όχι και τόσο εύπεπτο, με έκαναν να διστάσω να ασχοληθώ με αυτό επί του παρόντος.
Ίσως αργότερα (όταν θα έχω και λίγο χρόνο περισσότερο), ασχοληθώ και με αυτήν την, όντως, πολύ ωραία παρατήρησή σου.
Φιλικά
Κηφεύς
Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.
Αριθμισημο ειναι ενα συνολο οταν μπορει να υπαρξει μια 1-1 και επι αντιστοιχια των στοιχειων του με τους Φυσικους(το οποιο θεωρειται το "μικροτερο" απειροσυνολο) . Ετσι οταν υπαρχει τετοια αντιστοιχια λεμε οτι το συνολο εχει "βαθμο απειριας" 1 , (το λεμε "Αλεφ-ενα") .
Ολη αυτη ... "κατασταση" συνδεεται με τους πρωτους επισης . Υπαρχει θεωρημα που λεει οτι καθε υποσυνολο αριθμησιμου συνολου ειναι κ αυτο αριθμισιμο . Σαν τετοιο λοιπον κ το συνολο των πρωτων ειναι αριθμισιμο αρα υπαρχει 1-1 και επι αντιστοιχια με τους Φυσικους , αρα η πολυποθητη ακολουθια των πρωτων αριθμων που ψαχνουν τοσους αιωνες οι μαθηματικοι ΥΠΑΡΧΕΙ (γιατι πολλες προσπαθειες εγιναν να αποδηχθει οτι ισως και να μην υπαρχει τελικα) , δεν εχουμε παρα να την βρουμε 
Αν εχω χρονο καποια στιγμη θα κατσω να τα γραψω πιο αναλυτικα ολα αυτα μαζι με τους ορισμους των εννοιων που χρησημοποιω για να γινει πιο κατανοητο
"the world is full of kings and queens,who blind your eyes and steal your dreams"
quote:
Kατι καταπληκτικο που μαθαμε στη σχολη ειναι οτι δεν υπαρχει μονο ενα ειδος απειρου ! Γιατι και οι Φυσικοι δεν τελειωνουν ποτε και οι Πραγματικοι δεν τελειωνουν , ομως διαισθητικα (αντε παλι αυτη η διαισθηση!) μας φαινονται περισσοτεροι οι Πραγματικοι ! Αρα σκεφτηκαν οι μαθηματικοι δεν μπορει ολα τα απειρα να ειναι ιδια . Και ερχεται ο Cantor να ορισει τα "Αριθμησιμα Συνολα" .
Αριθμισημο ειναι ενα συνολο οταν μπορει να υπαρξει μια 1-1 και επι αντιστοιχια των στοιχειων του με τους Φυσικους(το οποιο θεωρειται το "μικροτερο" απειροσυνολο) . Ετσι οταν υπαρχει τετοια αντιστοιχια λεμε οτι το συνολο εχει "βαθμο απειριας" 1 , (το λεμε "Αλεφ-ενα").
Αγαπητέ matthias16
Έρριξες πολλά θέματα μαζί συγκεντρωμένα στο τραπέζι . Θα περιμένω, όταν θα έχεις χρόνο, να κάνεις μια εισαγωγή στα παραπάνω που γράφεις, και στη συνέχεια θα σ'ακολουθήσω. Βέβαια ισχύει και για μένα το κατά πόσο θα υπάρχει διαθέσιμος χρόνος. Έχω, παλιότερα, ασχοληθεί με τα μη πεπερασμένα σύνολα, και ήταν ένα από τα αγαπημένα μου θέματα.
quote:
Ολη αυτη ... "κατασταση" συνδεεται με τους πρωτους επισης . Υπαρχει θεωρημα που λεει οτι καθε υποσυνολο αριθμησιμου συνολου ειναι κ αυτο αριθμισιμο . Σαν τετοιο λοιπον κ το συνολο των πρωτων ειναι αριθμισιμο αρα υπαρχει 1-1 και επι αντιστοιχια με τους Φυσικους , αρα η πολυποθητη ακολουθια των πρωτων αριθμων που ψαχνουν τοσους αιωνες οι μαθηματικοι ΥΠΑΡΧΕΙ (γιατι πολλες προσπαθειες εγιναν να αποδηχθει οτι ισως και να μην υπαρχει τελικα) , δεν εχουμε παρα να την βρουμε.
Για να προσφέρω κι εγώ κάτι, και σ'αυτό το μήνυμά μου, θα καταθέσω παρακάτω μερικές απλές έννοιες για τους "πρώτους αριθμούς":
Πρώτος ονομάζεται κάθε φυσικός αριθμός , ο οποίος έχει μόνον προφανείς διαιρέτες , ( δηλ. τον εαυτό του και την μονάδα) , π.χ. ο 2 , ο 3 , ο 5 , ο 7 , ο 11 , ο 13 είναι πρώτοι αριθμοί .
Ο 1 (συνήθως) δεν συγκαταλέγεται εις τους πρώτους αριθμούς .
Η "ακολουθία" των πρώτων αριθμών αρχίζει με τον 2.
Πρώτοι αριθμοί : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ……
Η ακολουθία των πρώτων αριθμών είναι απέραντη :
Ήδη ο Ευκλείδης ( περί το 300 π.Χ. ) είχε θέσει το ερώτημα, εάν δοθέντος ενός πρώτου υπάρχει μεγαλύτερός του , δηλαδή (με άλλη διατύπωση) εάν η "ακολουθία" των πρώτων αριθμών “διακόπτεται” ή είναι απέραντη . Ο ίδιος έδωσε εμμέσως και την απάντηση αφού απέδειξε ότι : δεν υπάρχει πρώτος αριθμός μεγαλύτερος παντός άλλου πρώτου .
Πράγματι : Έστω ότι υπάρχει “μέγιστος” πρώτος ο P . Λαμβάνομε τον φυσικό αριθμό κ = 1+2.3…Ρ και παρατηρούμε ότι κανείς από τους 2,3…Ρ διαιρεί τον κ , συνεπώς ή
1) Ο κ είναι πρώτος ή
2) Ο κ δεν είναι μεν πρώτος , αλλά διαιρείται από κάποιον πρώτο , μεγαλύτερο του Ρ .
Αλλά τότε , και στις δύο περιπτώσεις θα υπήρχε πρώτος μεγαλύτερος του Ρ . Αυτό όμως είναι άτοπο , διότι ο Ρ υποτέθηκε σαν ο μέγιστος από τους πρώτους . Ώστε πράγματι η ακολουθία των πρώτων αριθμών είναι απέραντη .
Βρήκα μια πιο αναλυτική λύση από αυτήν που προανέφερα, στο διαδίκτυο, κι επειδή είναι πιο ευκολοκατανόητη , την παραθέτω αμέσως παρακάτω :
ΘΕΩΡΗΜΑ 3.1.4. (Ευκλείδης). Υπάρχουν άπειροι πρώτοι .
Απόδειξη:
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο ένα πεπερασμένο πλήθος πρώτοι ούτως ώστε να μπορούμε να τους καταχωρίσουμε όλους στην ακολουθία p1,p2, pk:. Ο συμβολισμός εδώ υποδηλώνει ότι ο p1 είναι ο πρώτος πρώτος αριθμός, δηλαδή p1 = 2, ο p2 είναι ο αμέσως επόμενος, δηλαδή p2 = 3, κ.λπ., με τον pk να είναι ο τελευταίος πρώτος από τους συνολικά κ πρώτους. Δεν μας ενδιαφέρει η τιμή του κ, αλλά μόνον ότι υπάρχει. Αν ο κ δεν υπάρχει τότε οι πρώτοι είναι άπειροι. Αυτό θα πει ότι δεν τελειώνουν ποτέ.
Θεωρήστε, λοιπόν, τον ακέραιο που παίρνουμε πολλαπλασιάζοντας όλους τους πρώτους μεταξύ τους και προσθέτοντας τον 1. Ονομάστε τον τεράστιο αυτόν α¬ριθμό Ν. Δηλαδή Ν= (p1∙p2∙∙∙ pk:) + 1.
Ο αριθμός αυτός μπορεί να σχηματιστεί υπό την προϋπόθεση ότι το πλήθος των πρώτων είναι πεπερασμένο. Για κάθε πρώτο pi ο αριθμός Ν είναι κατά 1 μεγαλύτερος από ένα πολλαπλάσιο του pi. Εφόσον λοιπόν ο Ν, διαιρούμενος με τον pi αφήνει υπόλοιπο 1, δεν είναι πολλαπλάσιο κανενός πρώτου pi, και άρα δεν διαιρείται με κανέναν πρώτο.
Συνεπώς και ο ίδιος είναι πρώτος. Επειδή όμως ο Ν είναι (κατά πολύ) μεγαλύτερος από κάθε pi της λίστας μας, αυτό αντιφάσκει με τον ισχυρισμό ότι είχαμε καταχωρίσει όλους τους πρώτους. ο.ε.δ.
Στην περίπτωση που μας ενοχλεί ο έμμεσος χαρακτήρας της κομψής απόδειξης, σημειώνουμε ότι μια ελαφρά παραλλαγή τού συλλογισμού αυτοί παράγει έναν αλγόριθμο που μπορούμε να εφαρμόζουμε επ' άπειρον παράγοντας συνεχώς νέους πρώτους.
Αρχίζοντας με τον 2, σε κάθε βήμα θέτουμε Ν = Ρ + 1 οπού Ρ είναι το γινόμενο όλων των πρώτων που έχουν παραχθεί μέχρι τότε. Ο εν λόγω Ν είναι ο ίδιος πρώτος ή μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως γινόμενο νέων πρώτων αυτό συμβαίνει διότι ο Ν δεν διαιρείται με κανέναν πρώτο που είχε παραχθεί ως εκείνο το σημείο.
Δείχνουμε τα τρία πρώτα βήματα του αλγόριθμου, και σας ζητάμε να κάνετε το τέταρτο σαν Άσκηση: ποιοι (2 νέοι) πρώτοι παράγονται στο 4ο βήμα;.
1. Ν = 2 + 1 = 3, ο αλγόριθμος δίνει τον νέο πρώτο 3.
2. Ν = 2 • 3 + 1 =7, ο αλγόριθμος δίνει τον νέο πρώτο 7.
3. Ν = 2 • 3 • 7 + 1 = 43, ο αλγόριθμος δίνει τον νέο πρώτο 43.
Σημειώστε ότι δεν ισχυριζόμαστε ότι η μέθοδος αυτή παράγει όλους τους πρώτους αλλά ότι απλώς παράγει νέους πρώτους σε κάθε βήμα.
Ενδιαφέρον , επίσης , είναι ότι υπάρχουν ζεύγη πρώτων αριθμών με διαφορά 2 , π.χ. τα ζεύγη : (3 , 5) , (59 , 61) , (641 , 643) , (1451 , 1453) . Κάθε δύο πρώτοι με διαφορά 2 ονομάζονται "δίδυμοι" . Δεν είναι γνωστό , αν τα ζεύγη διδύμων είναι άπειρα ή όχι .
Καθώς μετράμε από το 1 και προς τα πάνω, οι πρώτοι αριθμοί , όπως είπαμε – που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και το 1 (2, 3, 5, 7, 11, κοκ) - διαρκώς μειώνονται, χωρίς όμως να εξαφανίζονται εξ ολοκλήρου. Μεταξύ του 1 και του 100 υπάρχουν 25, μεταξύ του 901 και του 1000 μόνο 14 και στο τελευταίο 100 πριν από το ένα τρισεκατομμύριο, μόνο 4.
Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά
Πάντα προσπαθούσα να κατανοήσω την βαθύτερη έννοια των άρρητων αριθμών.
Υπάρχει μια σχετική απόδειξη σε ένα σχολικό βιβλίο, αλλά δεν με ικανοποιεί απόλυτα.
Ακόμη, πώς μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι ένας αριθμός είναι άρρητος?
Πώς μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι κάποτε δεν "τελειώνουν" τα ψηφία.
Και ουσιαστικά, όλοι οι αριθμοί άρρητοι περιοδικοί δεν θα μπορούσαν να θεωρηθούν?(να θεωρήσουμε δηλαδή ότι γίνεται μια προσέγγιση σε κάθε αριθμό)
Δεν έχω γνώσεις μαθηματικών πανεπιστημιακού επιπέδου και φαίνεται.
Edited by - Narkissa555 on 12/12/2010 20:49:15
quote:
Narkissa555 :
Με συγχωρείτε αν διακόπτω την παρούσα συζήτηση, αλλά θα ήθελα να αναφέρω κάτι που με προβληματίζει.Πάντα προσπαθούσα να κατανοήσω την βαθύτερη έννοια των άρρητων αριθμών.
Υπάρχει μια σχετική απόδειξη σε ένα σχολικό βιβλίο, αλλά δεν με ικανοποιεί απόλυτα.
Ακόμη, πώς μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι ένας αριθμός είναι άρρητος?
Πώς μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι κάποτε δεν "τελειώνουν" τα ψηφία.
Και ουσιαστικά, όλοι οι αριθμοί άρρητοι περιοδικοί δεν θα μπορούσαν να θεωρηθούν?(να θεωρήσουμε δηλαδή ότι γίνεται μια προσέγγιση σε κάθε αριθμό)
Δεν έχω γνώσεις μαθηματικών πανεπιστημιακού επιπέδου και φαίνεται.
Αγαπητή Narkissa555 , δεν διακόπτεις καμία συζήτηση. Αντιθέτως εμείς πρέπει να σε ευχαριστήσουμε για την συμμετοχή σου στο topic .
Θέλω, μόνο, να επισημάνω ότι δεν είμαι Μαθηματικός αλλά Μηχανολόγος. Παρακαλώ, λοιπόν, οιονδήποτε συνδίκτυο που είναι Μαθηματικός (ή οιουδήποτε άλλου συγγενούς κλάδου), εάν επισημάνει κάποιο σφάλμα, να παρέμβει για να γίνουν οι πιθανές διορθώσεις στα γραφόμενά αυτού του μηνύματός μου.
Για να απαντηθούν τα ερωτήματά σου, Ναρκίσσα, πρέπει, δυστυχώς, να επεκταθώ πρώτα σε μερικές έννοιες και ορισμούς που είναι απαραίτητοι:
Το “σύνολο” των Φυσικών αριθμών συμβολίζεται με το Ν.
Το “σύνολο” των απολύτων Ρητών αριθμών συμβολίζεται με το Q+ .
Το “σύνολο” των Ρητών αριθμών συμβολίζεται με το Q (κλάσματα με αριθμητή και παρονομαστή φυσικούς αριθμούς) .
Το “σύνολο” των Ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το Ζ .
Η μετάβαση από το Ν στο Q μπορεί να γίνει με δύο βήματα επέκτασης :
α) Να κατασκευαστεί το σύνολο Ζ , των ακεραίων αριθμών , και
β) από αυτό το σύνολο Q, των ρητών αριθμών .
Και στις δύο αυτές κατασκευές ένα γνήσιο υποσύνολο του Q είναι το αποτελούμενο από τους ρητούς : 0 , + k/1 , - k/1 για κάθε k ( Ν .
Μεταξύ δύο οιωνδήποτε ρητών ρ1 , ρ2 υπάρχουν άλλοι ρητοί (μάλιστα άπειροι), δηλαδή υπάρχουν ρητοί , ρ , ώστε να είναι ( αν υποτεθεί ρ1 < ρ2 ) δηλ. ρ1 < ρ < ρ2 . .
Το σύνολο το οποίο αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς ονομάσθηκε : Σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται αυτό με : R .
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι μια “επέκταση” των ρητών αριθμών και προφανώς το πλήθος τους είναι άπειρο .
Αν f (x) είναι ένα πολυώνυμο του x , π.χ. :
α0xν + α1xν – 1 + α2xν – 2 + …… + αν – 1 x + αν ,
όπου οι α0 , α1 , α2 , ……, αν είναι ακέραιοι αριθμοί , και ν είναι φυσικός αριθμός τότε η εξίσωση f (x) = 0 λέγομε ότι είναι μία αλγεβρική εξίσωση .
Αν α0 ≠ 0 τότε ο βαθμός ν του πολυωνύμου λέγομε ότι είναι ο βαθμός της εξισώσεως .
Κάθε εξίσωση , η οποία δεν είναι αλγεβρική ή δεν είναι “ισοδύναμη” προς αλγεβρική , ονομάζεται υπερβατική (είναι , δηλ. “υπέρ την άλγεβρα” , πέραν της αλγέβρας , (υπερβαίνει την άλγεβρα ) . Quod Algebrae vires transcendit , όπως έλεγε ο Leonard Euler (1707 – 1783) .
Έτσι , π.χ. : Η λογ x = 1/2 x – 1 είναι μία υπερβατική εξίσωση .
Έτσι φθάνομε να διατυπώσουμε την διαφορά μεταξύ αρρήτων και υπερβατικών αριθμών:
Άρρητος είναι ένας πραγματικός μη περιοδικός αλγεβρικός αριθμός (δηλ. με άπειρα μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία ή ομάδες ψηφίων και αποτελεί ρίζα αλγεβρικής εξισώσεως) .
Υπερβατικός είναι ένας πραγματικός μη περιοδικός ασύμμετρος αριθμός (δηλ. μη αλγεβρικός αριθμός με άπειρα μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία ή ομάδες ψηφίων και δεν αποτελεί ρίζα αλγεβρικής εξισώσεως) .
Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά