- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Εφεύρεση ή ανακάλυψη? - .-= Η ΓΝΩΣΗ =-.

Στο ποσό των 25 δολαρίων, ο καθένας πληρώνει 8,33.
Σε αυτό θα προσθέσουμε το ένα δολάρια που επιστρέφεται στον καθένα.
8,33 + 1 = 9,33.
Μετά πολλαπλασιάζουμε 3 x 9,33 = 27,999.
Οπότε δε λείπει τίποτα.

Υ.Γ. Μήπως λέμε το ίδιο πάνω - κάτω, βρε pyramid?

In anticipation of my resurrection...

Είστε και οι δύο εξαιρετικοί, μπράβο!

Όπως πολύ σωστά καταλάβατε, το πρόβλημα ήταν σκόπιμα διατυπωμένο έτσι για να μπερδέψει τον λύτη. Επέτεινα κι εγώ εσκεμμένα τη σύγχυση λέγοντας ότι πρόκειται για παράδοξο, ενώ στην ουσία ήταν ένα ψευδοπρόβλημα. Το ζήτημα είναι στο "και":

quote:

---

Και δύο που τσέπωσε ο θαλαμηπόλος;

---

Λέτε κάπως έτσι να δουλεύει η πλάνη;

Από τις ίδιες εκδόσεις, αν δεν κάνω λάθος κυκλοφορεί και το πολύ καλό βιβλίο "Μυστικοί Αριθμοί" του Ian Stewart.

Ένα άλλο πολύ καλό βιβλίο είναι το "Ιερή Γεωμετρία" του Δημήτρη Ευαγγελόπουλου από τις εκδόσεις Αρχέτυπο. Και βέβαια, τα βιβλία του Τεύκρου Μιχαηλίδη (όπως π.χ. το "Μαθηματικά επίκαιρα").

Και μια και λέω για τον Τεύκρο Μιχαηλίδη να πω και πως στις 19 Σεπτεμβρίου, ημέρα Τετάρτη, ο Μιχαηλίδης μαζί με τη Φιλένια Σιδέρη δίνουν διάλεξη με θέμα "Η Χημεία των Μαθηματικών" στις 19.30 στον Ιανό. Όσοι πιστοί προσέλθετε...

Ένα από αυτά είναι ότι τα μαθηματικά αναπτύσσονται στη βάση της λογικής αυτο-συνέπειας. Αρκεί δηλαδή να εμφανίζουν λογική συνοχή και να μπορούν να αποδεικνύονται σε σχέση με τον εαυτό τους, χωρίς να είναι ζητούμενο να ανταποκρίνονται σε κάτι πραγματικό, σε κάτι που αφορά τον *πραγματικό* κόσμο. Αυτό θα ενδιαφέρει ίσως τον θεματοθέτη μας matthias16 μια και έχει να κάνει με το αρχικό του ερώτημα.

Κάτι άλλο ενδιαφέρον έχει να κάνει με ακολουθίες που φαίνονται να επαναλαμβάνονται στο άπειρο, όπως αυτή:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... στο άπειρο.

Δίκαια θα λέγαμε πως το αποτέλεσμα μιας τέτοιας ακολουθίας είναι S=0.

Για κοιτάξτε όμως τι συμβαίνει αν τη γράψω έτσι:

S = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) ...

Κατ' ανάγκη το αποτέλεσμα είναι S=1. Δηλαδή μόλις απέδειξα ότι 0=1!

Και δεν τελειώσαμε. Γιατί αν τη γράψω έτσι:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ....)

Δηλαδή S = 1 - S ή 2S = 1 παίρνουμε S = 1/2!

Τρία διαφορετικά αποτελέσματα για την ίδια ακολουθία. Για τέτοιες λοιπόν ακολουθίες που εκτείνονται στο άπειρο, το αποτέλεσμα φαίνεται να εξαρτάται από τον τρόπο που ο *παρατηρητής* θέλει να τις δει...

Καλημέρα
Unseen

Στον κόσμο του Πνεύματος είμαστε πάντα στην αρχή.

S=T_P(2+T_P(2+T_P(2+.....άπειροι όροι

ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΗ ΑΛΛΑ ΣΤΗΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΑΝ ΥΨΩΣΟΥΜΕ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ, ΕΧΟΥΜΕ:

S^2=S+2

ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ, ΠΕΡΝΟΥΜΕ 2.
ΑΡΑ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΠΟΥΜΕ ΟΤΙ ΕΝΑΣ ΤΕΤΟΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕ ΑΠΡΕΙΡΑ "ΣΤΟΙΧΕΙΑ" ΕΙΝΑΙ ΑΚΕΡΑΙΟΣ!!

Υ.Γ.: ΠΕΡΑΣΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΑΠΘ

Χάθηκαν τα απλά μαθηματικά 1+1=3

quote:

---

Υ.Γ.: ΠΕΡΑΣΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΑΠΘ

---

Συγχαρητήρια, φίλε μου!
Άντε, καλό πτυχίο!
Και κάνε μας και κανένα ιδιαίτερο...

Να σου πω την αλήθεια, την ακολουθία που αναφέρεις δεν την κατάλαβα...
Της Unseen όμως την κατάλαβα!

quote:

---

Τρία διαφορετικά αποτελέσματα για την ίδια ακολουθία. Για τέτοιες λοιπόν ακολουθίες που εκτείνονται στο άπειρο, το αποτέλεσμα φαίνεται να εξαρτάται από τον τρόπο που ο *παρατηρητής* θέλει να τις δει...

---

Αυτό με τον παρατηρητή έχει και πολύ μεγάλη σχέση με την πλάνη της αλήθειας που συζητάμε και με το μπερδεμένο elo!
Υποθέτω όμως ότι μπορεί να είναι κι αυτή μια αιτία που ορισμένοι άνθρωποι αποδίδουν καλύτερα στα Μαθηματικά κι άλλοι όχι.
Κατά πόσο δηλαδή μπορούν να παρατηρήσουν ένα φαινόμενο μέσα από διαφορετικές οπτικές...

In anticipation of my resurrection...

Συγχαρητήρια βρε matthias16 και καλές σπουδές!!!!

Και μην ξεχνάς κι εμάς τους κοινούς θνητούς. Ό,τι ενδιαφέρον συναντάς, γράφε το και σ' εμάς να φωτιζόμαστε.

Συγχαρητήρια και πάλι
Unseen

ΥΓ Χωρίς πλάκα, τα μαθηματικά είναι ένας εξαιρετικός τρόπος να γυμνάσει κανείς τη σκέψη του, κυρίως συνθετικά. Και ένας λόγος που οι μαθηματικοί γίνονται δυσνόητοι είναι ότι λύνουν χωρίς να εξηγούν επαρκώς τα βήματα που ακολουθούν και όταν πια φτάνουν στη λύση, κανείς δεν έχει καταλάβει τι έκαναν και πώς. Αυτό συμβαίνει όμως επειδή η σκέψη τους είναι πολύ πυκνή, πολύ συνθετική.

Εγώ πάντως σε κατάλαβα καλέ μου matthias16. Χρόνια εξασκούμαι, βλέπεις...

Στον κόσμο του Πνεύματος είμαστε πάντα στην αρχή.

quote:

---

Κάτι άλλο ενδιαφέρον έχει να κάνει με ακολουθίες που φαίνονται να επαναλαμβάνονται στο άπειρο, όπως αυτή:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... στο άπειρο.

Δίκαια θα λέγαμε πως το αποτέλεσμα μιας τέτοιας ακολουθίας είναι S=0.

Για κοιτάξτε όμως τι συμβαίνει αν τη γράψω έτσι:

S = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) ...

Κατ' ανάγκη το αποτέλεσμα είναι S=1. Δηλαδή μόλις απέδειξα ότι 0=1!

Και δεν τελειώσαμε. Γιατί αν τη γράψω έτσι:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ....)

Δηλαδή S = 1 - S ή 2S = 1 παίρνουμε S = 1/2!

Τρία διαφορετικά αποτελέσματα για την ίδια ακολουθία.

---

Impious Varmint

Ασφαλώς δεν είμαι μαθηματικός. Εναλλασσόμενες σειρές όπως η S όμως ανήκουν στις ακολουθίες που ονομάζονται "αποκλίνουσες", οι οποίες δεν έχουν ένα μοναδικό άθροισμα. Για να βρούμε το άθροισμά τους, πρέπει να προσδιορίσουμε την ακολουθούμενη διαδικασία αρίθμησης (να ορίσουμε τις παρενθέσεις δηλαδή), πράγμα που δεν ισχύει όταν υπολογίζουμε το άθροισμα μιας πεπερασμένης ακολουθίας όρων.

Υπάρχουν και οι αποκαλούμενες συγκλίνουσες ακολουθίες ή σειρές, γιατ ις οποίες ο νορβηγός μαθηματικός Νιλς Άμπελ είχε πει κάποτε πως είναι "επινόηση του διαβόλου και (πως) οποιαδήποτε απόδειξη βασίζεται σε αυτές είναι απαράδεκτη. Χρησιμοποιώντας συγκλίνουσες σειρές, μπορεί κανείς να εξάγει όποιο συμπέρασμα θέλει και είναι γι' αυτόν ακριβώς το λόγο που η χρήση τους έχει οδηγήσει σε τόσα λογικά σφάλματα και παράδοξα".

Καλημέρα
Unseen

Στον κόσμο του Πνεύματος είμαστε πάντα στην αρχή.

σε αυτό:

και σε αυτό:

και σε αυτό:

και σε αυτό:

και, τέλος, σε αυτό:

Στον κόσμο του Πνεύματος είμαστε πάντα στην αρχή.

Πολύ ωραία τα ... μαθηματικά σου ανέκδοτα.
Αλλά το πιο σημαντικό είναι ότι επανενεργοποίησες ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα.΄

Φιλικά

Αγαπητέ μου Κηφέα, για μένα αυτό το θέμα είναι πάντα ενεργό, όμως τα μαθηματικά δεν είναι το αντικείμενό μου και αναγκαστικά η συμμετοχή μου περιορίζεται στα όσα (λίγα) μπορώ να κατανοήσω απ' αυτά.

Καλημέρα,
Unseen

Στον κόσμο του Πνεύματος είμαστε πάντα στην αρχή.

Διάβασα τα προηγούμενα μηνύματά σας και πρέπει να ομολογήσω ότι με ικανποίησε πολύ και το επίπεδο συζητήσεώς σας, αλλά και το περιεχόμενό τους.

Θα προσπαθήσω να μην επαναλάβω πράγματα που έχετε ήδη αναφέρει, χωρίς όμως να σας διαβεβαιώσω, όμως, ότι θα τα καταφέρω.

Παραθέτω αμέσως την άποψή μου για την προέλευση των Μαθηματικών:

Βασικές ανάγκες της ζωής οδήγησαν τους απομακρυσμένους προγόνους μας στον δρόμο για την δημιουργία των "αντικειμένων" τα οποία σήμερα ονομάζουμε αριθμούς.

Το πρώτο στάδιο της πορείας της ανθρώπινης δραστηριότητας
χαρακτηρίζεται από τη δημιουργία των λεγόμενων:
Απόλυτων αριθμών ή αριθμών πλήθους ή πληθάριθμων.

Οι απόλυτοι αριθμοί ή πληθάριθμοι εκφράζουν πλήθη: 1,2,3, . . .

Εκτός από την ανάγκη της συγκρίσεως συνόλων (που οδήγησε στους πληθάριθμους ή απόλυτους αριθμούς) οι μακρινοί μας πρόγονοι βρέθηκαν και στην ανάγκη να δημιουργήσουν ένα είδος "ιεραρχήσεως", εντός ενός και του αυτού συνόλου αντικειμένων.
Κι’έτσι δημιούργησαν τους τακτικούς αριθμούς.

Οι τακτικοί αριθμοί είναι αριθμοί θέσεως: 1ος, 2ος, 3ος, . . .

Οι απόλυτοι και οι τακτικοί αριθμοί δημιουργήθηκαν συγχρόνως και εν συνδυασμώ μεταξύ τους, εκφράζουν τις δύο "όψεις" (μορφές) των λεγομένων φυσικών αριθμών: 1, 2, 3, . . .

Το "σύνολο" των φυσικών αριθμών συμβολίζεται: Φ .

Κατά την δια μέσου της ιστορίας εξέλιξής τους τα Μαθηματικά ξεκίνησαν από μία τελείως απλοϊκή στάθμη. Άρχισαν, όπως είπαμε, από τους αριθμούς 1, 2, 3, ... και από τα εποπτικώς τελείως απλά γεωμετρικά σχήματα, δηλαδή σημεία, ευθύγραμμα σχήματα, ευθείες, γωνίες, επίπεδα, τρίγωνα, κύκλους, και βαθμιαία έφθασαν σε περίπλοκα κατασκευάσματα.

Κατά την εξελικτική αυτή πορεία οι "αριθμοί" και τα "σχήματα" δεν αναπτύχθηκαν ανεξάρτητα, αντίθετα μάλιστα συνδέθηκαν μεταξύ τους με την έννοια του "μέτρου".

Η παραπάνω εξέλιξη κατά την πορεία της δημιουργίας των Μαθηματικών υπήρξε αργή, αλλά νωρίς αποδείχθηκε η μεγάλη σημασία των αποτελεσμάτων τους.

Έτσι π.χ., οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι πέτυχαν εκπληκτικά αποτελέσματα στην Αστρονομία με την πρόβλεψη των εκλείψεων της Σελήνης.

Μια νέα εποχή στην εξέλιξη των Μαθηματικών σημειώνεται με την εμφάνιση στην ιστορική σκηνή των αρχαίων Ελλήνων, οι οποίοι, όχι μόνο ανέπτυξαν περαιτέρω τα τότε Μαθηματικά, αλλά και ανύψωσαν αυτά σε επιστήμη, με την σύγχρονη έννοια του όρου.

Οι Έλληνες πρώτοι αντιλήφθηκαν τι σημαίνει "απόδειξη" προκειμένου για μια "πρόταση", αντιλήφθηκαν δηλαδή ότι η αλήθεια μιας πρότασης μπορεί να αναχθεί σε λίγες απλές προτάσεις, των οποίων η αλήθεια είναι "φανερή" (τα "αξιώματα") και μερικές άλλες, των οποίων η αλήθεια είναι ήδη γνωστή.

Με τον τρόπο αυτό οι Έλληνες κατόρθωσαν, για πρώτη φορά, να δημιουργήσουν ένα σύστημα από "βασικά γεγονότα" (π.χ. ότι: δια δύο σημείων διέρχεται μία μόνον ευθεία) και να αναπτύξουν τις αρχές της λογικής.

Δημιούργησαν έτσι μια συστηματική, επαγωγική οικοδόμηση της λεγόμενης σήμερα Ευκλείδειας Γεωμετρίας, η οποία παρέμεινε ως είχε (εκτός μερικών συμπληρώσεων) επί δύο χιλιετηρίδες σαν το υπόδειγμα της Επιστήμης. Κατά το διάστημα αυτό δεν καταβλήθηκαν προσπάθειες προς την κατεύθυνση της δημιουργίας των γνωστών σήμερα κλάδων της Άλγεβρας και της Αναλύσεως. Το ενδιαφέρον των Ελλήνων περιορίστηκε κυρίως στις βασικές ιδιότητες των φυσικών αριθμών και στα προβλήματα που αφορούν στην διαιρετότητα και τους πρώτους αριθμούς.

Ασχολήθηκαν, επίσης, με τα συνηθισμένα κλάσματα, αλλά δεν συνέλαβαν την ιδέα να ορίσουν αρνητικούς αριθμούς. Παρ'όλα αυτά και σε συνδυασμό με την μελέτη του ορθογωνίου - ισοσκελούς τριγώνου αντιλήφθηκαν, ότι τα κλάσματα δεν ήταν επαρκή για την περιγραφή όλων των μεγεθών, παρατήρησαν δηλαδή ότι η σχέση μεταξύ καθέτου πλεύρας και της υποτείνουσας ορθογωνίου - ισοσκελούς τριγώνου δεν είναι δυνατόν να παρασταθεί με κλάσμα. Από αυτό όμως δεν οδηγήθηκαν στην σκέψη ότι το πεδίο των κλασμάτων θα έπρεπε να επεκταθεί κατά τρόπο, ώστε τα στοιχεία του νέου, επεκτεταμένου, πεδίου να είναι δυνατόν να εκφράσουν και σχέσεις όπως η παραπάνω μεταξύ καθέτου πλευράς και υποτεινούσης του ορθογωνίου - ισοσκελους τριγώνου.

Με άλλες λέξεις δεν προχώρησαν στην δημιουργία των αρρήτων αριθμών, πράγμα, το οποίο θα ήταν ένα βήμα προς την Αλγεβρα και την Ανάλυση.

Αντίθετα μάλιστα γεωμετρικοποίησαν, αν μπορούμε να πούμε, την Άλγεβρα.

Έτσι προέκυψε μια θεωρία, ισοδύναμη προς την θεωρία των πραγματικών αριθμών, αλλά αυτή η γεωμετρικοποίηση προκάλεσε μία τέτοια επιπλοκή, η οποία τελικά οδήγησε στην αποτελμάτωση των ελληνικών Μαθηματικών.

Αυτά προς το παρόν, όσον αφορά την χαραυγή των Μαθηματικών.

Φιλικά

Κηφεύς

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

Σήμερα θα σας απασχολήσω με την παράσταση των αριθμών.

1) Παράσταση των αριθμών με Προσθετικά συστήματα:

Το πλέον γνωστό προσθετικό σύστημα είναι το ρωμαϊκό.

Κατά την ρωμαϊκή γραφή των φυσικών αριθμών χρησιμοποιούνται
τέσσερα βασικά σύμβολα και τρία βοηθητικά όπως φαίνεται αμέσως παρακάτω:

Ρωμαϊκά σύμβολα των αριθμών:
Βασικά σύμβολα I , X , C , M
Βοηθητικά σύμβολα V , L , D
Παράδειγμα: MDCCLXVIII , 1768

Τα βασικά σύμβολα: I , X , C , M δηλώνουν (αντιστοίχως) τους αριθμούς: 1 , 10 , 100 , 1000 .

Τα βοηθητικά σύμβολα: V , L , D τους: 5 , 50 , 500 .

Για την γραφή ενός αριθμού σε ένα προσθετικό σύστημα τοποθετούνται επί ευθείας βασικά και βοηθητικά σύμβολα.

Στην ρωμαϊκή, ειδικά, γραφή, για να βρούμε τον αριθμό, τον οποίο δηλώνει μια παράσταση, προσθέτομε τους αριθμούς, τους οποίους δηλώνουν τα σύμβολα της παραστάσεώς του.

Π.χ. VIII σημαίνει: 5 + 3 , δηλαδή 8 ,
XI σημαίνει: 10 + 1 , δηλαδή 11 κ.ο.κ.

Κατά την γραφή τηρείται ο εξής κανόνας:
Από δύο σύμβολα, τα οποία δηλώνουν διαφόρους μεταξύ τους φυσικούς αριθμούς, γράφεται αριστερά εκείνο, το οποίο δηλώνει τον μεγαλύτερο.

Εξαίρεση, για λόγους οικονομίας, γίνεται μόνο προκειμένου για τα βασικά σύμβολα, δηλαδή: Ένα βασικό σύμβολο μπορεί να γραφεί αριστερά ενός βασικού συμβόλου "μικρότερης αξίας".

Π.χ. για τον 9 γράφομε VIIII (=5 + 4), αλλά και IX. Εδώ όμως νοείται IX = 10 – 1 = 9 .

Επί πλέον, στο σύστημα αυτό, αριστερά βασικού συμβόλου επιτρέπεται να γραφεί το πολύ ένα επίσης βασικό μικρότερης αξίας, αλλά ποτέ βοηθητικό.
Π.χ. 950 = CML = (1000 – 100) + 50 και όχι: LM
1959 = MCMLIX = 1000 + (1000 – 100) + 50 + (10 – 1).

Το ρωμαϊκό σύστημα, και γενικότερα, η γραφή με οιοδήποτε
προσθετικό σύστημα, των φυσικών αριθμών μειονεκτεί, διότι, προκειμένου περί "αρκετά" μεγάλων αριθμών, έχομε πολύ επιμήκεις παραστάσεις (για τη ρωμαϊκή γραφή αυτό συμβαίνει για φυσικούς αριθμούς μεγαλύτερους του 10000).

2) Παράσταση των αριθμών με Συστήματα θέσεως:

Το δεκαδικό σύστημα:
Εντελώς διαφορετικός είναι ο τρόπος γραφής των φυσικών αριθμών,
στα λεγόμενα, συστήματα θέσεως.

Ένα σύστημα αυτού του είδους είναι και αυτό που χρησιμοποιείται σήμερα.

Το σύστημα αυτό μετέδωσαν στην Ευρώπη οι Άραβες, οι οποίοι το παρέλαβαν από τους Ινδούς. Στο σύστημα αυτό οι φυσικοί αριθμοί (καθώς και οι λεγόμενοι δεκαδικοί) γράφονται με την χρήση των εξής 10 συμβόλων ("ψηφίων"):

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9

Ο τρόπος γραφής των φυσικών αριθμών κατά το ανωτέρω σύστημα θέσεως είναι γνωστός σε όλους, π.χ., ο 321 σημαίνει:
3 εκατοντάδες + 2 δεκάδες + 1 μονάδα

Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιείται σαν βάση (όπως λέγεται) ο 10.
Ο παριστάμενος αριθμός νοείται ως άθροισμα μονάδων διαφόρων βαθμίδων:

Μονάδων , δεκάδων , εκατοντάδων , χιλιάδων κ.ο.κ.

Ακριβώς διότι η βάση του συστήματος αυτού είναι ο 10, ονομάζεται δεκαδικό.

Το δυαδικό σύστημα:
Αυτό είναι το σύστημα θέσεως με βάση το 2.
Τα απαιτούμενα ψηφία για την γραφή των φυσικών αριθμών στο σύστημα αυτό είναι δύο τα: 0 , 1 .

Οι τιμές θέσεως των ψηφίων ενός φυσικού αριθμού, γραμμένου στο δυαδικό σύστημα είναι οι δυνάμεις του 2, δηλαδή:
20 = 1 , 21 = 2 , 22 = 4 , 23 = 8 , 24 = 16 κ.ο.κ.
(μονάδες , δυάδες , τετράδες , οκτάδες κτλ.) .

(Προσοχή: Εδώ υπάρχει μία δυσκολία που οφείλεται στην γραφή με τον υπολογιστή στο πρόγραμμα γραφής του forum. Ο αριθμός που βρίσκεται δεξιά του 2, είναι ο εκθέτης της δυνάμεως).

π.χ. 20=1 δηλ. δύο στην μηδενική ίσον ένα.
21=2 δηλ. δύο στην πρώτη ίσον δύο.
22=4 δηλ. δύο στο τετράγωνο (στην δευτέρα) ίσον τέσσερα.
23=8 δηλ. δύο στον κύβο (στην τρίτη) ίσον οκτώ.
24=8 δηλ. δύο στην τετάρτη ίσον δεκαέξη.

Βεβαίως ο συμβολισμός ενός φυσικού αριθμού στο δυαδικό σύστημα είναι, σχετικά, αρκετά επιμήκης ,

π.χ. ο 7 στο δυαδικό σύστημα γράφεται:
1 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 ( = 4 + 2 + 1 = 7 ) και συμβολίζεται:
(111)2 είτε και: LLL, επειδή στο δυαδικό σύστημα το 1 παρίσταται και με το L.

Επίσης είναι: 9 = 1 . 23 + 0 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20 =L00L,
και 22 = 1 . 24 + 0 . 23 + 1 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20 =L0LL0.

Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιείται στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές.

ΥΓ.: Η αιτία καθυστερήσεως αποστολής άλλων μηνυμάτων οφείλεται στην παραπάνω δυσκολία γραφής των δυνάμεων, των κλασμάτων, των ριζών κ.τ.λ. Το Σαββατοκύριακο θα κάνω κάτι δοκιμές, αν μπορέσω να περάσω από το Word στην γραφή του forum. Εάν δεν βρούμε τρόπο θα είναι δύσκολη έως αδύνατη η γραφή εξισώσεων και διαφόρων άλλων παραστάσεων.

Φιλικά

Κηφεύς

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

Στο δεύτερο μήνυμά μου, ανέφερα το τι ήταν αυτό που οδήγησε τον άνθρωπο στο να εφεύρει ή ανακαλύψει τα Μαθηματικά:

quote:

---

Βασικές ανάγκες της ζωής οδήγησαν τους απομακρυσμένους προγόνους μας στον δρόμο για την δημιουργία των "αντικειμένων" τα οποία σήμερα ονομάζουμε αριθμούς.
Το πρώτο στάδιο της πορείας της ανθρώπινης δραστηριότητας
χαρακτηρίζεται από τη δημιουργία των λεγόμενων:
Απόλυτων αριθμών ή αριθμών πλήθους ή πληθάριθμων.

---

Ας δούμε πρώτα την πρώτη (χρονολογικά) περίοδο των Μαθηματικών στην Ελλάδα. Αυτή είναι από τον Θαλή μέχρι τον Πυθαγόρα.

Μέχρι την εποχή αυτή, η μαθηματική γνώση, ανεξάρτητα από την προέλευσή της, μεταδίδεται από τους ιερείς της Αιγύπτου, τους μαθηματιούς της Βαβυλώνος, της Φοινίκης και άλλων.

Ο Ηρόδοτος αναφέρει ότι από τον 7ο π.Χ. αιώνα οι Έλληνες επισκέπτονται την Χαλδαία: "Οι μεν, ως εικός κατ'εμπορίην, οι δε στρατευόμενοι, οι δε τινες και αυτής της χώρης θεηταί", (Ηρόδοτος ΙΙΙ, 139, Ι).

Όλοι οι διάσημοι επιστήμονες, φιλόσοφοι και μαθηματικοί, κατά την περίοδο αυτή, σπούδασαν, ως επί το πλείστον, στην Αίγυπτο.

Ο Πρόκλος αναφερόμενος στην Γεωμετρία λέγει:
"Θαλής δε το πρώτον εις Αίγυπτον ελθών μετήγαγεν εις την Ελλάδα την θεωρίαν ταύτην"

Ο Ιάμβλιχος στην Εισαγωγή του στην Αριθμητική Νικομάχου μιλάει περί αναλογίας: "Εύρημα δε αυτήν φασιν είναι Βαβυλωνίων και δια Πυθαγόρου πρώτου εις Έλληνας ελθείν".

Ο Διόφαντος γράφει: "...απογράψαι τοιούτον αριθμόν κατά τάξιν της Ινδικής μεθόδου".

Πρώτος μαθηματικός αυτής της περιόδου φέρεται ο Θαλής (624-546π.Χ.).
Κατά την παράδοση αυτός χρησιμοποίησε την απόδειξη και έθεσε μαθηματικές προτάσεις, ώστε να θεωρείται ο θεμελιωτής της ελληνικής Μαθηματικής επιστήμης. Ο βιογράφος του Διογένης Λαέρτιος δεν αναφέρει ότι ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά, όμως, λέγει ότι ασχολήθηκε με τους αστρονομικούς υπολογισμούς.

Εκτός όμως από τις έμμεσες αυτές ενδείξεις, για το ότι ασχολήθηκε σοβαρά με τον αριθμητικό λογισμό, έχομε και την μαρτυρία του Ιάμβλιχου, ο οποίος στην Εσαγωγή του περί της Αριθμητικής του Νικομάχου λέγει: "Το δη ποσόν, όπερ εστίν τον αριθμόν, Θαλής μεν μονάδων σύστημα ωρίσατο, κατά το Αιγυπτιακόν αρέσκον, όπου εφιλομάθησεν".

Έτσι ο θαλής, ο οποίος φέρεται κυρίως ως Γεωμέτρης, είναι και ο δάσκαλος της Αριθμητικής και Λογιστικής στην Ιωνία και με αυτόν τον τρόπο δημιουργούνται από τους μαθητές του Θαλή, ειδικοί στην Λογιστική και Αριθμητική.

Οι μαθηματικοί μαθητές του Θαλή αγνοούνται, διότι διατηρήθηκαν μόνο τα ονόματα των φιλοσόφων. Αλλά και αυτοί, όπως ο Αναξίμανδρος ο Μιλήσιος, ο μαθητής του Αναξιμένης ο Μιλήσιος, ο μαθητής του Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος, αν και τίποτα το νέο δεν αναφέρεται ότι πρόσθεσαν, όμως, ήταν μελετητές και δάσκαλοι των Μαθηματικών.

Ο Αναξαγόρας μάλιστα φαίνεται ότι έφθασε πρώτος στην έννοια του συνεχούς και ασυνεχούς. Λέγεται ότι δίδασκε ότι στη φύση δεν υπάρχει ούτε απείρως μέγα ούτε απείρως μικρό, αλλά από το μεγάλο υπάρχει μεγαλύτερο και από το μικρό υπάρχει μικρότερο.

Κατά την εποχή που οι Ίωνες δίδασκαν τον λογισμό του Θαλή και των μαθητών του, στην Αθήνα τον γνώριζαν.

Ο Διογένης Λαέρτιος γράφει: "Έλεγε δε (Σόλων) τους παρά τοις τυράννοις δυναμένους, παραπλησίους είναι ταις ψήφοις ταις επί των λογισμών".

Φιλικά

Κηφεύς

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.